Плоская рама
Для решения задач в курсе «Сопротивления материалов» использует три метода:
- метод сил. В этом методе в качестве неизвестных выступают реакции связей или внутренние силы в заданных сечениях;
- метод перемещений применяется для статически неопределимых систем, в качестве неизвестных в данном методе выступают перемещения сечений или узлов;
- метод конечных элементов.
Метол перемещений является предшественником метода конечных элементов и позволяет подготовиться к применению метода конечных элементов для решения более сложных задачах. Плоская рама представляет собой наиболее подходящий объект для использования метода перемещений. В конструкциях часто используют стальные и железобетонные каркасы, которые по схеме своей работы представляют собой рамы. Эти геометрически неизменяемые системы состоят из элементов, которые работают на изгиб, растяжение и сжатие, и при этом жестко соединены в узлах.
В качестве допущений принимается, что стержни являются нерастяжимыми и их длинна остается неизменной. Эти допущения такие же, как и в методе сил. Так же, как и в методе сил, в этом случае используется основная система, заменяющая реальную конструкцию. Принимается, что продольные и поперечные деформации малы, в рамки, где используются несмещающиеся узлы, рассматривают только угловые перемещения. Если концы находятся в одном узле, то они перемещаются на один и тот же угол. Количество жестких узлов равно количеству угловых перемещений.
Типовым элементом конструкции выступает балка с защемленными концами, она может испытывать четыре вида деформации, которые можно описать через уравнение изгибающего момента, кривизны изогнутой оси, углов поворота поперечных сечений и прогибов.
Трудоемкость расчета напрямую зависит от количества перемещений в системе.
Эпюра – это вид графика, который показывается как распределяется величина нагрузки на оцениваемом элементе, например, для стержней расчет эпюр напряжения считается одной из базовых задач.
Рисунок 1. Для расчетов плоских рам используются метод сил и метод пермещений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Расчет плоских рам методом перемещений
Сам метод перемещений имеет широкое распространение, он применяется для сложных конструкций, статически неопределимых систем, в которых расположены лишние связи, обладающие малоподвижными узлами. Применяют одну из двух форм, метода – развернутую или каноническую. Более распространенной является каноническая, она ближе к методу сил.
Расчет ведется с помощью использования вспомогательной системы, которая называется основной системой, ее собирают путем введения связей, которые будут препятствовать перемещениям. Из вводимых связей степень статической неопределимости не уменьшается, а растет. В качестве внешних воздействий выступают силовые факторы, линейные смещения заделок и опор, повороты заделок.
Алгоритм расчета выглядит следующим образом:
- находим степень кинематической неопределимости системы, равную сумме неизвестных независимых угловых смещений и независимых неизвестных линейных смещений;
- находим число степеней свободы;
- формируем основную систему, вводя дополнительные связи, которые будут препятствовать перемещениям;
- определяем неизвестные, нумеруем на схеме стержни и показывает направления смещений;
- определяем погонные жесткости стержней через отношение жесткости к длине;
- записываем канонические уравнения;
- строим в основной системе эпюры изгибающих моментов, возникающих от поочередного смещения введенных связей на 1;
- вычисляем реактивные моменты в защемляющих связях;
- проводим проверку значений коэффициентов, строя суммарную единичную эпюру;
- умножаем единичную эпюру на грузовую;
- проверяем правильность окончательной эпюры и поверки равновесия.
Рисунок 2. Пример расчета рамы методом перемещений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В основе теории перемещений лежат теорема Максвелла, теорема Бэтти и универсальная формула Максвелла – Мора.
Решая задачу расчета плоских рам методом перемещений, мы за неизвестные принимаем угловые и линейные перемещения узлов. При этом перемещения узлов равны перемещениям стержней, деформации определяются перемещениями узлов и концов стержней. Оценив деформированный вид системы, можно определить распределение внутренних сил. Используя систему допущений, мы определяем искомое количество неизвестных и степень кинематической неопределимости.
