Метод конечных элементов

Метод конечных элементов используется для решения задач из области механики, гидродинамики и электродинамики.

Метод конечных элементов

Строительная механика, которая изучается студентами на 2-3 курсе, состоит из теоретического и практического курсов. Основным методов, который предстоит освоить будущим строителям является метод конечных элементов, который они будут активно использовать в дальнейших расчётах.

Суть самого метода очень проста – чтобы решить дифференциальное уравнение, ту область, в которой необходимо найти решение, разбивают на конечное, определенное (что следует из названия) количество элементов. За счет замены дифференциальных уравнений системой алгебраических, задача становится решаемой. В результате дискретизации определяется количество конечных элементов, из которых состоит система:

• в стержневых системах конечным элементом будут участки стержней;
• для плоских оболочек конечными элементами будут треугольные и прямоугольные элементы;
• при расчетах для трехмерных систем конечными элементами будут тетраэдры и параллелепипеды.

В дискретной модели, которая используется для решения задачи, элементы связаны друг с другом только в узлах. Искомые значения, возникающие в конечном элементе, определяются через узловые точки, а принятая произвольная нагрузка сменяется на систему эквивалентных сил. Для каждого узла может быть определено число перемещений, то есть степень его свободы. При этом число всех перемещений во всех узлах задает степень свободы конечного элемента.

Рисунок 1. Метод конечных элементов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Метод получил большое распространение за рубежом, где вытеснил другие методы расчета. Его первое применение было зафиксировано в начале пятидесятых годов двадцатого века, он основывался на принципах строительной механики, что сужало сферу его применения, но, когда были сформулированы основы метода и возможности его адаптации к другим наукам, он получил широкое распространение. В России данный метод начал активно и повсеместно использоваться 20 лет назад.

Виды метода

К преимуществам метода относится его гибкость при описании геометрии систем и условий в исследуемой области. Он является наглядным и универсальным и это определило его широкое применение.

Рассмотрим виды методов, которые применяются при расчетах:

• прямой метод является самым простым и наглядным, соотношения для конечных элементов выстраиваются на базе 3 групп уравнений, статики, геометрии и физики. Этот метод подходит для конечных элементов, обладающих простой геометрий и малым числом степеней свободы в узле;
• вариационный метод применяется для разных по сложности задач. Он базируется на том, что некоторая переменная может быть стационарной и зависеть от одной или ряда функций. Через постановку искомых функций в систему алгебраических уравнений могут быть найдены значения искомых узловых неизвестных;
• метод невязок подходит в том случае, когда вариационное уравнение не может быть сформировано. За счет введения отклонения решения от его точного значения, то есть невязки удается прийти к алгебраическим уравнениям;
• метод энергетического баланса использует значения баланса различных видов энергии, которые записаны в интегральной форме. Используется для динамических и нелинейных задач.

Рисунок 2. Ошибки метода конечных элементов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Строительная механика позволяет сформировать правильное представление о работе отдельных элементов в единой системе. Метод конечных элементов является основой для дальнейших расчетов. За счет аппроксимации сплошной среды задача перестаёт быть нерешаемой и трудно описываемой. Некая, рассматривая в задаче область разбивается на конечные элементы, которые образуют сетку конечных элементов. Эти элементы соединены друг с другом в узлах, которые размещены по контуру каждого элемента Искомые значения выражаются через узловые значения, которые и являются основными неизвестными. Получившаяся дискретная система подчиняется всем принципам и методам, применяемым для любых дискретных систем.

Среди ошибок, которые могут быть допущены при применении метода можно назвать ошибки дискретизации, возникающие при замене реальной геометрии ее аппроксимацией, а также ошибки аппроксимации.