При анализе функционирования различных объектов, и не только случайных, обычно, рассматривают две группы показателей:
а) характеризующих поведение объекта с общих позиций, в среднем,
б) анализирующих его детально, по всем возможным состояниям.
Ясно что, если показатели группы б) определены, то весь набор интегральных показателей (из группы а)) можно выразить через них. Однако, при построении вероятностного пространства, даже с конечным, но очень большим числом состояний (например, прогноз развития региона, насчитывающего сотни тысяч позиций) возникают трудности, связанные с построением распределения вероятностей (даже, если предполагать независимость позиций, что не всегда оправдано). В тоже время, рассмотрение интегральных показателей, в силу их общности, не только существенно упрощает путь к конечной цели, но и может оказаться единственным способом ее достижения.
В теории вероятностей и смежных с ней теориях самыми популярными из интегральных показателей является математическое ожидание, ассоциируемое со средним. Оно обладает важными свойствами: удобством к аналитическим преобразованиям, около него группируются наиболее важные значения случайной величины (имеющие наибольшую вероятность), наконец оно обладает устойчивостью к колебаниям статистических данных.
Рассмотрим произвольное вероятностное пространство $(\Omega ,{\rm F},F(x))$, где $F(x)$ - функция распределения случайной величины $\xi =\varphi (\omega )$.
Математическим ожиданием случайной величины $\xi =\varphi (\omega )$ называется действительное число
$M\xi =\int \limits _{\omega \in \Omega }\varphi (\omega ) P(d\omega )$, (1)
где
\[\int \limits _{\omega \in \Omega }P (d\omega )=1.\]Математическое ожидание существует, если существует интеграл в (1), который называется интегралом Лебега (для его существования достаточно задать случайную величину и меру Лебега).
Если случайная величина дискретна, то интеграл (1) сводится к сумме
$\int \limits _{\omega \in \Omega }\varphi (\omega ) P(d\omega )=\sum \limits _{\omega \in \Omega }\varphi (\omega ) P(\omega )$, ($\sum \limits _{\omega \in \Omega }P(\omega ) =1$),
в предположении, что ряд сходится абсолютно. В противном случае говорят, что интеграл и, тем самым, математическое ожидание не существует.
Таким образом, если дискретная случайная величина $\xi$ задается рядом распределения, то ее математическое ожидание вычисляется по формуле
$M\xi =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i} \cdot p_{i} $ или $M\xi =\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i} \cdot p_{i} $
Модой $M_{o} $ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, непрерывной -- значение, при котором плотность распределения вероятностей максимальна.
Медианой $M_{e} $ случайной величины $\xi$ называется такое ее значение, для которого одинаково вероятно окажется ли случайная величина меньше или больше этого значения, то есть,
\[P(\xi M_{e} ).\]Отклонением случайной величины $\xi$ от ее среднего значения называется случайная величина $\eta =\xi -M\xi $.
Математическое ожидание отклонения любой случайной величины равно нулю, то есть,
\[M(\xi -M\xi )=0.\]В самом деле, по свойствам математического ожидания имеем
\[M(\xi -M\xi )\mathop{=}\limits^{} M\xi -M(M\xi )\mathop{=}\limits^{} M\xi -M\xi =0.\]Дисперсией $D\xi $ случайной величины $\xi$ называется математическое ожидание квадрата ее отклонения, то есть:
\[D\xi =M(\xi -M\xi )^{2} \](если соответствующее математическое ожидание существует).
Воспользуемся свойствами математического ожидания случайной величины и преобразуем формулу, определяющую дисперсию:
то есть, получаем
Определение. Средним квадратическим отклонением $\sigma \xi $ случайной величины $\xi$ называется арифметический корень из ее дисперсии, то есть,
Математическое ожидание случайной величины есть характеристика ее среднего значения, дисперсия -- мера рассеивания ее значений вокруг среднего.
Начальным моментом $k-го$ порядка $\nu _{k} $ случайной величины $\xi$ называется математическое ожидание $k-ой$ степени этой случайной величины, то есть
\[\nu _{k} =M(\xi ^{k} ), k\in N.\]Центральным моментом $k-го$ порядка $\mu _{k} $ случайной величины $\xi$ называется математическое ожидание $k-ой$ степени отклонения этой случайной величины, то есть
\[\mu _{k} =M(\xi -M\xi )^{k} , k\in N.\]Отметим, что начальный момент 1-го порядка случайной величины есть математическое ожидание, центральный момент 2-го порядка -- дисперсия.
Применение на практике
Производится $10$ независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0,4$. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попадания.
РЕШЕНИЕ:
\[n=10,p=0,4,q=1-p=1-0,4=0,6.\] \[\begin{array}{l} {D\left(X\right)=n\cdot p\cdot q=10\cdot 0,4\cdot 0,6=2,4;} \\ {\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)} =\sqrt{2,4} .} \end{array}\]
