Напряженное состояние в точке материала
Напряженное состояние – это совокупность напряжений в точке на всех площадках, которые проведены через нее.
Точка материала – это малый объем материала, который находится вблизи геометрической точки, внутри которого напряжения изменяются дифференциально мало.
Напряженное состояние задается тремя векторами напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках. Данные площадки выбираются произвольно. Точку материала принято изображать в виде параллелепипеда, который строится на трех вышеупомянутых площадках. Допустим, что введена прямоугольная система координат и три площадки, которые перпендикулярны ее осям: x, у и z. Векторы напряжений на данных площадках будут заданы своими проекциями на оси координат и обозначены Рx, Ру и Рz. Проекции, которые являются перпендикулярными по отношению к площадкам - нормальные напряжения, обозначенные jx, jy, jz. Индекс в обозначении нормального напряжения указывает направление нормали к площадке. Проекции, которые лежат в плоскостях площадок называют касательными напряжениями и обозначаются следующим образом: тxy, тxz, тyx, тyz, тzx и тzy. Первым индексом касательного напряжения определяется площадка, на которой действует напряжение, а второй индекс - указывает ось в том направлении, в котором действует напряжение. Согласно условию равновесия элементарного объема тела является закон парности касательных напряжений, то есть |тxy|=|тyx|, |тxz|=|тzx| и т.д. С учетом данного закона, чтобы задать напряженное состояние в точке материала, необходимо указать:
- Три касательных напряжения.
- Три нормальных напряжения.
В точке всегда можно подобрать три взаимно перпендикулярные площадкам, на которые действуют исключительно нормальные напряжения, а касательные отсутствуют, то есть равны нулю. Данные площадки называются главными, напряжения действующие на них - главными напряжениями. Для этих напряжений применяется специальное обозначение - j1, j2 и j3, при этом j1 >= j2 >= j3. Главным напряжениям присуще такое свойство, как экстремальность. То есть одно из трех напряжений максимально среди нормальных на площадках с произвольной нормалью, а другое минимально.
Основными направлениями напряженного состояния являются направления нормалей к главным площадкам, которые обозначаются цифрами 1, 2, 3. Если ни одно из главных напряжений не равно нулю, то напряженное состояние является объемным. Если одно из них равняется нулю, то напряженное состояние - плоское. Если нулю не равняется только одно из главных напряжений, то напряженное состояние является линейным.
Деформированное состояние материала. Виды напряженно-деформированного состояния
Деформированное состояние в точке – это совокупность относительных линейных деформаций и углов сдвига для любых направлений, которые проведены через рассматриваемую точку.
Имеет место быть следующее утверждение - деформированное состояние в точке определено в том случае, когда задан тензор деформации для этой точки.
Как и в случае с напряженным состоянием можно задать три ортогональных направления с индексами 1, 2, 3 - главные оси деформации, для которых угловые деформации равняются нулю и при этом линейные деформации принимают экстремальные значения по следующей алгебраической величине: Е1 >= E2 >= E3. Деформации Е1, Е2, Е3 для которых отсутствуют углы деформации называются главными деформациями в рассматриваемой точке. Для главных направлений тензор имеет следующий удобный вид:
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Составляющие тензора деформаций в случае поворота осей меняются также, как и тензоры напряжений. Например, при плоском напряженном состоянии деформации некоторых плоскостей на наклонной произвольной площадке могут быть выражены через главные деформации и угол наклона - а следующим образом:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Еще один способ выражения главных деформаций - выражение через произвольные деформации по двум взаимно перпендикулярным площадкам следующим образом:
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В данном случае положение главных площадок задается углом а, который определяется следующим образом:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Напряженно-деформированное состояние – это совокупность деформаций и напряжений, которые возникают в результате действия температурных полей, внешних нагрузок и прочих факторов на материальное тело.
Основными видами напряженно-деформированного состояния являются:
- Сжатие. Данный вид деформации представляет собой продольную деформацию, которая возникает в случае приложения к телу нагрузки по его продольной оси.
- Растяжение. При данном виде деформации нагрузка прикладывается продольно от объекта, то есть параллельно или соосно точек его крепления.
- Плоский чистый сдвиг. Данный вид состояние представляет собой напряженное состояние, в результате которого по граням объекта появляются только касательные напряжения.
В случае сжатия и растяжения осевая деформация может быть определена при помощи закона Гука. Поперечные деформации определяются при помощи закона Пуассона. В случае плоского чистого сдвига деформация сдвига определяется при помощи следующей формулы:
$у = т/G$
где: т - касательное напряжение, которое действуют по граням параллелепипеда; G - площадь грани.
