Для того чтобы понять, как осуществляется интегрирование по частям, для начала необходимо вспомнить правило дифференцирования произведения.
Пусть даны две функции от x, u=f(x) и v=g(x), каждая из которых имеет производную: u′=f′(x) и v′=g′(x).
Тогда, если рассмотреть произведение этих функций, по правилу дифференцирования для произведения получается:
d(uv)=u⋅dv+v⋅du;
Иначе это можно записать как udv=d(uv)–v⋅du. Выразим первообразную от udv:
∫udv=uv−∫vdu(1).
Приведённая формула (1) объясняет, как брать интеграл по частям, а всё, что нужно для её использования — это таблица элементарных интегралов.
Эта формула позволяет вместо вычисления подынтегрального значения выражения u⋅dv=u⋅v′dx осуществлять вычисление неопределённого интеграла от выражения v⋅du=vu′dx, что обычно проще.
При проведении интегрирования по частям несколько раз, полезна также формула для обобщённого метода интегрирования по частям.
Она может применяться только если рассматриваемые функции u и v имеют производные всех порядков, включая (n+1).
Проведём замену в равенстве (1) v на v(n), в результате получим:
∫u⋅v(n+1)dx=∫u⋅dv(n)=u⋅v(n)−∫v(n)du=u⋅v(n)−∫u′⋅v(n)dx.
Теперь для ∫u′⋅v(n)dx:
∫u′⋅v(n)dx=u′v(n−1)−∫u″⋅v(n−1)dx и так далее.
После умножения этих равенств по очереди на +1 и −1 и упрощения, получается формула обобщённого интегрирования по частям:
∫u⋅v(n+1)dx=uv(n)–u′v(n−1)+u″v(n+1)−...+(−1)nu(n)v+(−1)n+1⋅∫u(n+1)vdx
Данная формула очень удобна если под знаком интеграла присутствует умножение на какой-либо многочлен.
Разберём с вами подробный пример решения интеграла.
Найти первообразную от функции x4lnx.
Решение:
Пусть lnx=u, a dv=x4dx, тогда получается, что du=dxx,v=15x5.
Получаем:
∫x4lnxdx=15x5lnx−15∫x4dx=15x5lnx−125x5+c.