Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Метод интегрирования по частям

Для того чтобы понять, как осуществляется интегрирование по частям, для начала необходимо вспомнить правило дифференцирования произведения.

Пусть даны две функции от x, u=f(x) и v=g(x), каждая из которых имеет производную: u=f(x) и v=g(x).

Тогда, если рассмотреть произведение этих функций, по правилу дифференцирования для произведения получается:

d(uv)=udv+vdu;

Иначе это можно записать как udv=d(uv)vdu. Выразим первообразную от udv:

udv=uvvdu(1).

Замечание 1

Приведённая формула (1) объясняет, как брать интеграл по частям, а всё, что нужно для её использования — это таблица элементарных интегралов.

Эта формула позволяет вместо вычисления подынтегрального значения выражения udv=uvdx осуществлять вычисление неопределённого интеграла от выражения vdu=vudx, что обычно проще.

При проведении интегрирования по частям несколько раз, полезна также формула для обобщённого метода интегрирования по частям.

Она может применяться только если рассматриваемые функции u и v имеют производные всех порядков, включая (n+1).

Проведём замену в равенстве (1) v на v(n), в результате получим:

uv(n+1)dx=udv(n)=uv(n)v(n)du=uv(n)uv(n)dx.

Теперь для uv(n)dx:

uv(n)dx=uv(n1)uv(n1)dx и так далее.

После умножения этих равенств по очереди на +1 и 1 и упрощения, получается формула обобщённого интегрирования по частям:

uv(n+1)dx=uv(n)uv(n1)+uv(n+1)...+(1)nu(n)v+(1)n+1u(n+1)vdx

Замечание 2

Данная формула очень удобна если под знаком интеграла присутствует умножение на какой-либо многочлен.

Разберём с вами подробный пример решения интеграла.

Пример 1

Найти первообразную от функции x4lnx.

Решение:

Пусть lnx=u, a dv=x4dx, тогда получается, что du=dxx,v=15x5.

Получаем:

x4lnxdx=15x5lnx15x4dx=15x5lnx125x5+c.

Дата последнего обновления статьи: 16.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Метод интегрирования по частям"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant