Системы координат и высот в геодезии

Системы координат и высот в геодезии Лекция № 5 Оглавление Высоты в геодезии 3 Местные системы координат 20 Литература 35 Высоты в геодезии Общие положения [1]. Высота точек земной поверхности — одна из координат, определяющих фигуру Земли и отдельные ее точки относительно исходной отсчетной поверхности. Если геодезические координаты и определяют положение проекции точки на референц-эллипсоиде, то высота определяет отстояние точки от эллипсоида по нормали к нему. Тем самым высоты всех точек Земли определяют фигуру физической поверхности Земли относительно принятого референц-эллипсоида. Кроме того, высоты необходимы для определения работы, совершающейся при движении в гравитационном поле Земли. Разности высот точек земной поверхности, получаемые из нивелирования, определяют разность потенциалов силы тяжести между этими точками. Если известно значение потенциала в исходном футштоке, то в результате нивелирования легко вычислить значения потенциалов силы тяжести в соответствующих точках поверхности Земли. Практическая роль, которую играют высоты, заключается в следующем. Высоты точек земной поверхности определяют рельеф, который необходимо изобразить на топографических картах. Точное значение разностей высот отдельных точек поверхности Земли совершенно необходимо для проектирования и строительства различных сооружений, для различных расчетов, в которых надо учитывать положение точек в пространстве. Знание высот необходимо для вычисления редукций в непосредственно измеренные на земной поверхности величины (углы, базисы) при переходе на поверхность относимости, без чего не может осуществляться строгая математическая обработка геодезических измерений на эллипсоиде. Из непосредственных измерений получаются разности высот точек Земли. Поэтому для вычисления высот необходимо знать высоту точки, принимаемую за начальную или исходную. Примем, что высота начальной точки известна. Геодезические высоты принято получать из измерений как сумму двух слагаемых: расстояния от референц-эллипсопда до поверхности геоида, или квазигеоида и расстояния от одной из этих поверхностей до соответствующей точки поверхности Земли. Оба указанных выше слагаемых должны быть отрезками нормали к поверхности референц-эллипсоида. Поясним это геометрически (рис. 1) и приведем главные и заключительные выводы, а подробное рассмотрение и доказательства этих выводов дадим в последующих параграфах этой главы. Из Рис. 1 для геодезической высоты точки имеем: (1) (2) В формуле (1) — ортометрическая высота и — высота точки над поверхностью геоида. Именно при помощи этих величин до последнего времени вычислялись геодезические высоты. Исследования Молоденского показали, что принципиально строго, без привлечения гипотез о внутреннем строении Земли, оба слагаемых правой части выражения (1) не могут быть вычислены. Зато могут быть вычислены точно оба слагаемых выражения (2) — нормальная высота и — аномалия высоты, высота квазигеоида над поверхностью референц-эллипсоида. Поэтому для вычисления геодезических высот в России в настоящее время применяется формула (2), предусматривающая использование системы нормальных высот и аномалий высот . Расчленение высоты на два слагаемых вызывается практической необходимостью иметь высоты от уровня моря. В системе ортометрических высот поверхностью уровня моря служит поверхность геоида; в системе нормальных высот роль поверхности моря играет вспомогательная поверхность квазигеоида. Рис. 1 Высоты Принятие поверхности «уровня моря» в качестве отсчетной поверхности для высот, используемых на практике, имеет определенный физический смысл который заключается в том, что за исходную поверхность принимается уровенная или горизонтальная поверхность или поверхность, весьма близкая к ней. Если не принимать во внимание непараллельность уровенных поверхностей (а это всегда возможно при изображении рельефа на топографических картах и во многих случаях использования высотных данных для практических расчетов), то поверхность, проходящая через точки, имеющие одинаковые высоты или , будет горизонтальной. Это вполне согласуется с общепринятыми представлениями о высотах точек Земли и рельефе ее поверхности. Например, в пределах некоторой области (при таком выборе рабочей отсчетной поверхности для высот) точки, имеющие одинаковые высоты, могут практически считаться находящимися на одной водной поверхности (при ее спокойном состоянии). Преимущество такого выбора отсчетной поверхности практически состоит также в независимости определения высот от референц-эллипсоида — его размеров и ориентировки. По указанным соображениям, в публикуемых каталогах приводятся нормальные высоты реперов и центров триангуляции (до введения системы нормальных высот приводились ортометрические высоты). Из сказанного следует, что при вычислении высот практически приходится иметь дело с двумя отсчетными поверхностями: 1) референц-эллипсоида для вычисления геодезических высот , определяющих по высоте точки земной поверхности относительно поверхности относимости, и 2) квазигеоида для вычисления . нормальных высот, используемых в практических расчетах и показываемых на картах при изображении топографического рельефа. Для решения научных и практических задач геодезии необходимо знать высоту , как сумму двух слагаемых и , с непременным выделением значений каждого из них для любой точки Земли. Теперь укажем способы их определения. Точно высоту определяют методом геометрического нивелирования. Влияние непараллельности уровенных поверхностей поверхности квазигеоида учитывается по гравиметрическим данным. Метод тригонометрического нивелирования практически для точного определения высот непригоден вследствие незнания коэффициента земного преломления в моменты измерений. Поэтому аномалии высот определяют иначе — путем последовательного вычисления малых разностей аномалий высот по выбранным профилям, аналогично тому как определяют высоты при геометрическом нивелировании. Эти разности определяют особыми методами астрономического и астрономо-гравиметрического нивелирования. Наилучшее решение задачи по определению аномалий высот дает метод астрономо-гравиметрического нивелирования, основанный на совместном использовании результатов астрономо-геодезических и гравиметрических измерений. Геодезические высоты без выделения слагаемых и можно получить геометрически только по астрономо-геодезическим измерениям. Действительно, пусть заданы как исходные два пункта: и - указанные в скобках координаты определяют положение двух пунктов относительно поверхности референц-эллипсоида. Представим себе, что земная поверхность покрыта пунктами триангуляции, на которых произведены измерения горизонтальных направлений и зенитных расстояний на смежные пункты. Допустим, что на каждом пункте также определены астрономические координаты и . Тогда для пунктов триангуляции легко получить составляющие уклонений отвесных линий и . Теперь от измеренных зенитных расстояний перейдем к геодезическим по формуле . Поправка . Вычисляя превышения пунктов триангуляции по полученным таким образом (по формулам тригонометрического нивелирования) и используя известную высоту начальной точки , получаем геодезические высоты всех пунктов триангуляции. Иначе говоря, на основании измерений только геометрических элементов определится поверхность Земли относительно принятого референц-эллипсоида. Практически такой путь изучения фигуры Земли неосуществим с достаточной точностью вследствие ошибок в измерении вертикальных углов, вызванных действием вертикальной рефракции. Могут быть предложены и другие схемы геометрического метода изучения физической земной поверхности. Однако практически все они уступают по точности, или по затратам труда методу, основанному на использовании формулы Для точного определения разности высот точек поверхности Земли применяется метод геометрического нивелирования, основанный на использовании горизонтального луча визирования, т. е. луча, направленного по касательной к уровенной поверхности в точке наблюдения. Положение этого луча определится при помощи уровня, фиксирующего касательную как перпендикулярную к направлению силы тяжести, т. е. отвесной линии в данной точке. Разность высот Рис. 2 между заданными точками в геометрическом нивелировании определяется как сумма превышений между близкими точками по ходу нивелирования. В дальнейшем будем считать, что методы точного нивелирования известны, а ошибки полевых измерений отсутствуют. Лишь при рассмотрении вопросов о достаточной точности формул и необходимости учета малых поправочных членов и редукций будут приниматься во внимание средние квадратические ошибки измерений. Рис. 2 Разности высот Вследствие непараллельности уровенных поверхностей идеальная и простая схема геометрического нивелирования, употребляемая на первой стадии изучения этого метода и иллюстрируемая рис. 2, нарушается и становится сравнительно сложной, требующей учета на каждой станции наблюдений влияний эллипсоидальности Земли и неравномерного распределения плотности внутри ее. Действительная схема геометрического нивелирования показана на Рис. 3, на котором приведены обозначения: — отсчетная поверхность, которую примем за эллипсоид вращения; — нормаль к этой поверхности, — прямая, Рис. 3 Геометрическое нивелирование параллельная касательной к поверхности . Пусть — уровенная поверхность нормального подя Земли, проходящая через точку нивелирования (горизонт инструмента), и — нормаль к этой поверхности. Если бы действительное гравитационное поле Земли совпадало с нормальным, то направление отвесной линии совпадало бы с нормалью , а визирный луч представлял бы касательную к поверхности ; в этом случае непараллельность уровенных поверхностей выразилась бы в отсчете по рейке влиянием угла между и . Но вследствие влияния аномальных масс действительное направление отвесной линии представляется направлением отрезка , перпендикулярным к реальной уровенной поверхности ; тогда действительное направление визирного луча с нивелирной станции определится направлением отрезка . как касательной к поверхности , проходящей через станцию наблюдений. Если влияние непараллельности уровенных поверхностей и , т. е. угол между нормалями к ним и , может быть учтено сравнительно просто, по одной из формул теории нормального потенциала силы тяжести, то влияние отклонения уровенной поверхности действительного потенциала, выражающееся в отклонении действительного направления отвесной линии от нормалей или , таким простым способом учтено быть не может, так как оно зависит от аномального распределения масс внутри Земли. Природа этого отклонения требует дополнительных измерений на каждой установке нивелира для учета действительного направления визирного луча - измерения силы тяжести. В принципе можно представить себе и другой путь определения угла между касательными к уровенным поверхностям, проходящим через начальную точку и точку наблюдения: если на каждой станции нивелирования получить астрономические и геодезические координаты, то надлежаще вычисленные уклонения отвесной линии и будут углом между названными касательными; однако такой путь вычисления поправок нереален. Следовательно, процесс геометрического нивелирования, простой по идее в первом приближении, существенно осложняется при более строгом его рассмотрении. Непосредственно измеряемые превышения нивелированием при помощи горизонтального визирного луча, перпендикулярного направлению отвесной линии, представляют собой превышения относительно плоскости, касательной к уровенной поверхности, проходящей через горизонт инструмента. Для получения превышения относительно отсчетной поверхности должна быть введена поправка за непараллельность этой уровенной поверхности и поверхности относимости, представляющая собой влияние угла между касательными к этим поверхностям по линии нивелирования; эта поправка определяется по данным гравиметрических измерений. Таким образом, при определении разности высот точек земной поверхности производятся измерения превышений при помощи горизонтального визирного луча и измерения силы тяжести вдоль нивелирного хода. Пусть на Рис. 4 изображен профиль земной поверхности, пересекающий точку , служащую началом счета высот. Из геометрического нивелирования необходимо определить высоту точки . Пусть отрезки — превышения, полученные из наблюдений на последовательных нивелирных станциях вдоль нивелируемой линии . Тогда сумма вдоль выбранной линии даст некоторую величину, которую обозначим через , т. е. (3) или, приняв за элементарное превышение , (4) зависит от пути нивелирования. Действительно, пусть от к нивелирование выполняется по двум путям: 1) от точки до и от точки по уровенной поверхности к точке и 2) от точки вдоль поверхности геоида к точке и от точки к точке . Нетрудно видеть, что в первом пути нивелирования величина определится отрезком , а во втором — отрезком , причем вследствие непараллельности уровенных поверхностей . Выбирая какой-либо иной путь нивелирного хода, получаем третье значение величины , не равное двум предыдущим. Рис. 4 Профиль рельефа Если бы уровенные поверхности были параллельны, т. е. представляли собой концентрические сферы, то величина представляла бы высоту точки как расстояние от до геоида по нормали к последнему, т.е. до точки . Такое допущение возможно только в работах малой точности (техническое нивелирование, нивелирование IV и III классов) или в точных нивелировках при очень малой протяженности нивелирного хода. Указанная выше неопределенность в выводе высоты , т. е. зависимость значения высоты точки от пути нивелирования, недопустима в точных нивелирных работах на значительной территории. Дальнейшая наша задача — изложение теории определения высот, учитывающей непараллельность уровенных поверхностей нормального поля Земли, влияния аномальных масс Земли и позволяющей однозначно определить значения высот независимо от пути нивелирования. (5) откуда для нашего случая (см. Рис. 4), используя принятые обозначения, (6) Напишем, как исходную, одну из основных формул, т. е. где и — значения потенциалов силы тяжести для уроненных поверхностей, проходящих через точку и через точку ; g - значения силы тяжести в пунктах нивелирного хода; - элементарное превышение. Потенциалы и постоянны для каждой уровенной поверхности, поэтому постоянно и . Отсюда следует, что значение не зависит от пути нивелирования, а только от положения начальной и конечной его точек. Можем написать (7) где — некоторое значение силы тяжести. Приращение потенциала силы тяжести в данной точке относительно начального футштока, взятое с обратным знаком, называется геопотенциалом. Геопотенциал для точки относительно точки будет (8) Следует иметь в виду, что главной характеристикой высоты репера является именно геопотенциал, как непосредственно измеренная величина, а не какие-либо расстояния от данной точки до некоторых воображаемых поверхностей. Если высота начальной точки не равна нулю, например, если начальным пунктом нивелирного хода является точка , имеющая высоту , то будем иметь (9) где — по-прежнему некоторое значение силы тяжести. Существуют четыре системы геопотенциальных высот: приближенные, ортометрические, нормальные и динамические. Рассмотрим последовательно теории этих систем и получим формулы для их вычислений. Приближенные высоты Приближенные высоты получатся, если не принимать во внимание реальное гравитационное поле силы тяжести Земли. К вычислению приближенных высот приходится прибегать в том случае, если вдоль линии нивелирования не производились измерения силы тяжести, выявляющие влияние действительного поля силы тяжести Земли; вычисление приближенных высот используется и как промежуточный этап при вычислении высот в других системах. Из определения приближенных высот следует, что измеренные величины следует исправить только за непараллельность уровенных поверхностей нормального поля. Обозначая - разность потенциалов уровенных поверхностей, т. е. исходной и проходящей через данную точку; — силу тяжести нормального потенциала а — искомую высоту,напишем где — среднее значение нормальной силы тяжести на отвесной линии . Ортометрические высоты Ортометрическими высотами называются расстояния от поверхности геоида до точек земной поверхности, считаемые по отвесным линиям, проходящим через эти точки. Для точки (Рис. 4) ортометрическая высота выразится расстоянием . Определим разность потенциалов . Так как точки и лежат на одной уровенной поверхности, то Применив теорему Лагранжа о среднем значении функции, напишем где - среднее значение действительной силы тяжести на отрезке отвесной линии , а , согласно определению, — ортометрическая высота точки . Тогда для ортометрической высоты hm получим Ортометрические высоты не зависят от пути нивелирования и ортометрические высоты точек, расположенные на одной уровенной поверхности, будут иметь разные значения, так как расстояния от геоида до уровенной поверхности точки не остаются постоянными и будут зависеть от , значения которых будут различными в разных точках. Ортометрические высоты имеют крупный недостаток принципиального характера — они не могут быть вычислены точно, так как входящая в формулу для величина сложным образом зависит от распределения плотностей внутри Земли, которые в настоящее время неизвестны. Величину можно вычислить, задаваясь той или иной гипотезой распределения масс Земли. В этом случае точность вычисления будет зависеть от степени достоверности примененной гипотезы строения Земли. Вследствие этого не представляется возможным в полной мере оценить точность получаемых высот . Если применять ортометрическую систему высот, то геодезическая высота точки , показанная на Рис. 1 отрезком определится В формуле — ортометрическая высота; — высота геоида над поверхностью относимости, которая, также не может быть вычислена точно. Поэтому при применении системы ортометрических высот задача по вычислению геодезических высот не получает точного и строгого решения. Нормальные высоты Рис. 5 Нормальные высоты Пусть основная уровенная поверхность - геоид определяется уравнением , и за поверхность относимости принят уровенный эллипсоид нормального потенциала, для которого . Потенциал на уровенной поверхности силы тяжести (действительной), проходящей через данную точку земной поверхности , обозначим через . Изобразим сечение уровенной поверхности нормального потенциала, для которой пусть это будет кривая , тогда (10) Обозначая через элементарное превышение между уроненными поверхностями нормального поля на отвесной линии и имея в виду, что (11) можем написать (12) где — среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке отвесной линии . Из (12) получим основную формулу для нормальной высоты (13) Эта формула была получена В. Ф. Еремеевым. Значение т. е. нормальной силы тяжести на высоте от эллипсоида, т. е. (14) где - нормальная сила тяжести на поверхности относимости, вычисленная по нормальной формуле как функция широты . Нормальная высота однозначно определяется независимо от пути нивелирования. Точки, расположенные на одной уровенной поверхности, в общем случае будут иметь различные высоты, так как постоянно, но изменяется с изменением широты; в частном случае при расположении точек на одной параллели высоты будут одинаковыми. Выражение (13) для нормальной высоты позволяет установить и физический смысл его: из непосредственных измерений получается значение , равное т. е. разности потенциалов; по измеренной разности действительных потенциалов силы тяжести вычисляют высоты, но в нормальном гравитационном поле Земли, не принимая во внимание возмущающего потенциала и связанных с ним величин аномалий силы тяжести или уклонений отвесной линии. Следствием этого получается несовпадение геодезической высоты с нормальной величину (15) которая, таким образом, получает смысл аномалии высоты. Нормальная высота точки на Рис. 5 изображается отрезком отвесной линии , аномалия высоты , а геодезическая высота как расстояние , определится (16) Оба слагаемых в правой части последнего выражения для могут быть вычислены совершенно точно, не прибегая к использованию каких-либо гипотез; ошибка вычислений и зависит только от ошибок непосредственных измерений. В этом состоит главное и важное преимущество нормальных высот перед ортометрическими. Если аномалии высоты в каждой точке уровенного эллипсоида отложить от его поверхности вверх по нормалям, то геометрическим местом концов этих отрезков будет некоторая вспомогательная поверхность, которую Молоденский назвал квазигеоидом. Тогда нормальные высоты _можно рассматривать как отрезки нормалей к эллипсоиду, отложенные от поверхности квазигеоида до физической земной поверхности (на Рис. 5 для точки - расстояние ). Для поверхности океанов в формуле (72.15) выражение и, следовательно, . Поэтому геодезические высоты океанической поверхности равны аномалиям высот, т. е. (17) Иначе говоря, на поверхности океанов геоид и квазигеоид совпадают, а аномалии высот выражают высоту геоида или квазигеоида над поверхностью уровенного эллипсоида. Квазигеоид совпадает с геоидом и на суше, в местах, где значения и окажутся равными. Нетрудно заключить, что квазигеоид приближенно выражает фигуру геоида. Если ход нивелирования представляет замкнутый полигон , то должно соблюдаться равенство (18) Если под суммой превышений понимать непосредственно получаемую сумму превышений , то в этом случае теоретическая невязка полигона определится криволинейным интегралом, т.е. (19) Следовательно, при вычислении невязок замкнутого нивелирного полигона за теоретическую сумму превышений в них следует принимать не нуль, а величину . Динамические высоты Нормальные высоты точек (так же как и ортометрические) одной и той же уровенной поверхности будут в общем случае в разных местах отличаться одна от другой, что в практике инженерно-геодезических работ может вызвать затруднения, а иногда и просчеты, если инженер-строитель при использовании геодезических данных для проектирования крупных инженерных сооружений не будет учитывать этого обстоятельства. Инженеры-строители разных специальностей, не имеющие специального геодезического образования, обычно считают, например, что точки земной поверхности, имеющие одинаковые отметки, находятся «на одном уровне» и соответственно ведут свои расчеты при разработке проектов тех или иных строительств. Приведем простейшие примеры. Допустим, что инженер, проектирующий железную дорогу, задается целью проложить ее в данном участке пути без уклонов, с тем, чтобы сила локомотива не тратилась на их преодоление, а расходовалась только для преодоления тормозящих сил трения. Для этого, очевидно, трасса дороги должна располагаться на одной уровенной поверхности, для которой потенциал силы тяжести ; расположение дороги на разных уровенных поверхностях не соответствует условиям поставленной задачи, однако проектировщик, сохраняющий одинаковые высоты трассы (нормальные, ортометрические), получит проект дороги на разных уровенных поверхностях. Для достижения поставленной цели было бы необходимо предварительно вычислить нормальные высоты точек на той уровенной поверхности, на которой намечено проложить проектируемый путь железной дороги. Рассмотрим частный пример из практики гидротехнического строительства. Необходимо запроектировать по данным нивелирования границу затопления при создании нового большого водоема. Не учитывая непараллельности уровенных поверхностей, можно сделать ошибочный вывод, что такой границей будет горизонталь, соответствующая единому числовому значению нормальной высоты. В действительности граница затопления будет представлять на земной поверхности контур, имеющий в разных частях различные нормальные (или ортометрические) высоты. Ошибочно также принимать, что уровень какого-либо водного бассейна в спокойном состоянии имеет одинаковые нормальные высоты, и урезы воды на берегах везде имеют равные высоты. Можно предположить, что влияние непараллельности уровенных поверхностей мало, а потому пренебрегаемо. Это, конечно, справедливо во многих случаях и, например, при топографических съемках непараллельность уровенных поверхностей не учитывается. Но когда точность определения высот имеет важное значение (например, при строительстве больших гидротехнических комплексов) и для проектирования используются числовые данные (в отличие от графических), то эти обстоятельства в необходимых случаях следует учитывать. Приведем, например, разности нормальных высот северных и южных точек некоторых водоемов и средние квадратические ошибки нивелирных ходов 1 класса, соединяющих реперы, расположенные на севере и юге этих водоемов. Таблица Наименование объектов в мм Средняя квадратическая ошибка нивелирного хода в мм уреза воды (средние) Рыбинское водохранилище 8,4  6 100 Озеро Севан 88 4 1900 Озеро Байкал 165 25 450 Озеро Кукунор 190 10 3200 Такие примеры можно распространить на другие виды строительств. Изложенные выше соображения должны учитываться при строительстве сооружений, больших по размеру используемой территории или предъявляющих особо высокие требования к точности геодезических данных. В подобных случаях выгодно использовать динамические высоты. Эквипотенциальная поверхность будет иметь постоянную высоту, если счисление высот выполнить по формуле: , (20) где – нормальная сила тяжести для средней широты района. Системы высот, счисляемые по формуле (20), называются динамическими и применяются во всех расчетах для проектирования крупных инженерных объектов, включая расчеты зон затопления. При вычислении материалов государственных геодезических сетей динамические высоты не применяются. Основные характеристики Государственной геодезической сети по положениям 1954 и 1961 г.г. Класс сети Длина стороны, км Средняя квадратическая ошибка углов, угл. сек. Относительная ошибка стороны в слабом месте сети, Ошибка взаимного положения смежных пунктов, м ГГС 1 класса 20-25 0,7 1/150000 0,15 ГГС 2 класса 7-20 1,0 1/200000 0,06 ГГС 3 класса 5-8 1,5 1/120000 0,06 ГГС 4 класса 2-5 2,0 1/70000 0,06 Основные характеристики Государственной геодезической сети по положению 2003 г. Класс сети Длина стороны, км Средняя квадратическая ошибка абсолютного положения, м Средняя квадратическая ошибка взаимного положения смежных пунктов, м Средняя квадратическая ошибка связи с другими элементами ГГС, м ФАГС 650...1000 0.10-0.15 0.02 в плане, 0.03 по высоте с АГС ≤ 0.02 в плане по каждой плановой координате, определения нормальной высоты производится нивелированием не ниже II класса точности ВГС 150...300 - 3 мм+5х10-8D (где D - расстояние между пунктами) по каждой из плановых координат и 5 мм+7х10-8D по геодезической высоте с АГС ≤ 0.02 в плане по каждой плановой координате Для связи с главной высотной основой пункты ВГС привязываются к реперам нивелирной сети I ... II классов СГС-1 25…35 - 3мм+1х10-7D по каждой из плановых координат и 5мм+2х10-7D по геодезической высоте с ВГС и ФАГС ≤ 1…2 см в районах с сейсмической активностью 7 и более баллов, ≤ 2…3 см в остальных регионах страны с АГС ≤ 0.02 в плане, Нормальные высоты должны определяться на всех пунктах СГС-1, либо из геометрического нивелирования с точностью, соответствующей требованиям к нивелирным сетям II…III классов, либо из спутникового нивелирования как разности геодезических высот, определяемых относительными методами космической геодезии, и высот квазигеоида Местные системы координат Местной системой координат называется система плоских прямоугольных координат с местной координатной сеткой. Местные системы создаются: в государственной геодезической системе координат в проекции Гаусса-Крюгера с элементами эллипсоида Красовского; условная система координат не в проекции Гаусса-Крюгера без связи с эллипсоидом [2] . Плоские прямоугольные координаты хм, yм в местной системе и х, у в проекции Гаусса — Крюгера могут различаться. На картах, составленных в местной системе и в государственной системе, координаты B, L контуров одни и те же. Плоские прямоугольные координаты х, у в проекции Гаусса зависят от координатной сетки. К параметрам координатной сетки относятся: — долгота осевого меридиана первой зоны L10; — координаты условного начала х0, у0; — ширина координатной зоны L; — масштаб на осевом меридиане m. Выписка из [Error: Reference source not found]: Под местной системой координат понимается условная система координат, устанавливаемая в отношении ограниченной территории, не превышающей территорию субъекта Российской Федерации, начало отсчета координат и ориентировка осей координат которой смещены по отношению к началу отсчета координат и ориентировке осей координат единой государственной системы координат, используемой при осуществлении геодезических и картографических работ (далее - государственная система координат). Местные системы координат устанавливаются для проведения геодезических и топографических работ при инженерных изысканиях, строительстве и эксплуатации зданий и сооружений, межевании земель, ведении кадастров и осуществлении иных специальных работ. При установлении местных систем координат обеспечивают возможность перехода от местной системы координат к государственной системе координат, который осуществляется с использованием параметров перехода (ключей). Местная система координат устанавливается на основании положения об этой системе. В целях установления местной системы координат заказчик направляет проект положения об этой системе в Федеральное агентство геодезии и картографии (его территориальный орган). Исходные данные для определения параметров перехода (ключей) от местной системы координат к государственной системе координат предоставляются заказчику федеральным картографо-геодезическим фондом в установленном порядке. В проекте положения о местной системе координат указываются: а) цель установления местной системы координат; б) местоположение и площадь территории, в отношении которой устанавливается местная система координат; в) перечень параметров перехода (ключи) от местной системы координат к государственной системе координат (координаты начала местной системы координат в государственной системе координат; координаты начала местной системы координат в местной системе координат; долгота осевого меридиана, проходящего через начало местной системы координат; угол поворота осей координат местной системы координат в точке начала местной системы координат; высота поверхности относимости местной системы координат; система высот. Выписка из [Error: Reference source not found]: Основные положения по созданию и обновлению опорной геодезической сети г. Москвы ГКИНП (ОНТА) - 01-268-02 (Введены в действие приказом Москомархитектуры от 20 января 2003 г. N 13) 3.2. ОГС Москвы предназначена для решения следующих основных задач, имеющих хозяйственное и научное значение. 1) Установление и распространение московской городской системы геодезических координат на территории г. Москвы. 2) Создание геодезической основы для производства инженерно-геодезических изысканий на территории г. Москвы, в том числе выполняемых в период строительства, эксплуатации и ликвидации объектов. 3) Геодезическое изучение локальных геодинамических природных и техногенных процессов и явлений на территории города. 4) Навигация наземного транспорта. 3.3. ОГС Москвы является достоянием г. Москвы. Комплекс научных, производственных, организационных, материально-технических, финансовых и других мер по ее созданию и поддержанию на уровне современных требований осуществляет ГУП "Мосгоргеотрест". 4. Система отсчета координат 4.1. На территории г. Москвы используется частная система отсчета координат, параметры которой приведены в таблице 1. Таблица 1 Эллипсоид Бесселя, 1841 Большая полуось 6377397 Сжатие 1/299,15 Картографическая проекция поперечно-циллиндрическая Гаусса-Крюгера (Transvertse Mercator) Географические координаты в точке начала отсчета плановых координат Широта 55 40' Долгота 37 30' Значения плановых координат в точке начала отсчета Х=0,000 м Y=0,000 м Масштабный к-т 1,000000 Система высот Балтийская со смещением + 92 мм 5. Требования к плотности пунктов ОГС Москвы и точности определения их координат 5.1. В соответствии с п. 5.2 СП 11-104-97 "Точность определения планово-высотного положения, плотность и условия закрепления пунктов (точек) геодезической основы должны удовлетворять требованиям производства крупномасштабных топографических съемок (обновления инженерно-топографических планов), в том числе для разработки проектной и рабочей документации предприятий, сооружений и жилищно-гражданских объектов, выноса проекта в натуру, выполнения специальных инженерно-геодезических работ и стационарных наблюдений за опасными природными и техноприродными процессами, а также обеспечения строительства, эксплуатации и ликвидации объектов". 5.2. Плотность пунктов ОГС Москвы должна обеспечивать возможность построения ходов съемочного обоснования длиной не более 300-350 метров. Для этого плотность пунктов ОГС Москвы должна составлять 16-20 пунктов на 1 кв.км. 5.3. В соответствии с п. 5.9 СП 11-104-97 "Предельная погрешность взаимного планового положения смежных пунктов опорной геодезической сети после ее уравнивания не должна превышать 5 см." 5.4. В перспективе ОГС Москвы должна обеспечивать требования к точности создания топографических материалов с точностью и подробностью масштаба 1:200. 6. Основные принципы развития ОГС Москвы 6.1. Задание, поддержание и воспроизведение московской городской системы геодезических координат на уровне требований, обеспечивающих решение современных и перспективных задач в области геодезии, строительства, земельных отношений, геодинамики и навигации обуславливает необходимость создания ОГС Москвы на качественно новом, более высоком по сравнению с существующей сетью уровне точности. 6.2. ОГС Москвы, создаваемая в соответствии с настоящими основными положениями, структурно формируется по принципу перехода от общего к частному и включает в себя геодезические построения следующих классов точности. 1) Каркасная спутниковая геодезическая сеть (далее по тексту КСГС). 2) Спутниковая геодезическая сеть сгущения (далее по тексту СГСС). 3) Сеть наземных измерений (далее по тексту СНИ). 6.3. По мере развития КСГС, СГСС и СНИ выполняется уравнивание ОГС Москвы и уточняются параметры связи городской системы геодезических координат с общеземной геоцентрической системой координат, реализуемой спутниковыми навигационными системами, и государственной геодезической системой координат. 7. Каркасная спутниковая геодезическая сеть 7.1. Высший уровень в структуре ОГС Москвы занимает каркасная спутниковая геодезическая сеть. КСГС практически реализует геоцентрическую систему координат в рамках решения задач геодезического обеспечения территории г. Москвы, входит в состав государственной геодезической сети и по своему назначению и параметрам точности соответствует спутниковой геодезической сети 1 класса (СГС-1). КСГС представляет собой единую высокоточную спутниковую геодезическую сеть, равномерно покрывающую территорию г. Москвы и ее окрестности. Среднее расстояние между смежными пунктами КСГС 5-10 км. Все пункты КСГС должны быть фундаментально закреплены на местности с обеспечением долговременной стабильности их положения как в плане, так и по высоте. 7.2. Пространственное положение пунктов КСГС определяется спутниковым методом в геоцентрической системе координат со средней квадратической погрешностью 2-3 см. Средняя квадратическая погрешность взаимного положения смежных пунктов КСГС в системе координат г. Москвы должна быть не более 0,5-1,0 см в плановом положении и 1-2 см по высоте. 7.3. На пунктах КСГС, как правило, выполняется определение нормальных высот спутниковыми методами с использованием детальной карты высот квазигеоида. Если пункты КСГС находятся на поверхности земли, нормальные высоты определяются методом геометрического нивелирования II класса. 7.4. На основании КСГС определяются параметры связи городской геодезической системы координат с государственной геодезической системой координат СК-95, для чего КСГС должна быть связана с государственной высокоточной геодезической сетью (ВГС) и часть пунктов КСГС должны быть совмещены с пунктами государственной государственной геодезической сети 1-4 классов. 7.5. Повторные наблюдения КСГС в полном объеме выполняются не реже, чем один раз в 10 лет. Между циклами наблюдений КСГС в полном объеме в нее допускается включать новые пункты. Преимущество при выборе включаемых в КСГС пунктов следует отдавать существующим пунктам триангуляции 1-4 классов, закрепленных надстройками. 7.6. Расширение КСГС осуществляется фрагментами. Фрагмент КСГС представляет собой геодезическое построение, опирающееся не менее чем на пять существующих пунктов КСГС. Каждый вновь определяемый пункт в фрагменте КСГС должен быть связан не менее чем тремя базовыми линиями со смежными существующими или вновь определяемыми пунктами КСГС. 7.7. После включения в состав КСГС даже одного нового фрагмента выполняется ее уравнивание в полном объеме. 8. Спутниковая геодезическая сеть сгущения 8.1. Второй уровень в современной структуре ОГС Москвы занимает спутниковая геодезическая сеть сгущения, основной функцией которой является дальнейшее распространение на территорию г. Москвы геоцентрической системы координат и уточнение параметров связи городской геодезической системы координат с геоцентрической системой координат и государственной системой геодезических координат. СГСС, наряду с КСГС, служит основой для развития сети наземных измерений. 8.2. СГСС представляет собой опирающееся на пункты КСГС однородное по точности пространственное геодезическое построение, состоящее из системы пунктов, удаленных один от другого не более чем на 3 км. Пункты СГСС определяются спутниковыми методами. Средняя квадратическая погрешность взаимного положения смежных пунктов СГСС в системе координат г. Москвы должна быть не более 1,0-1,5 см. 8.3. На пунктах СГСС, как правило, выполняется определение нормальных высот геометрическим нивелированием III класса. Если пункты СГСС располагаются в местах, не позволяющих определять их высоты методом геометрического нивелирования, определение нормальных высот разрешается выполнять спутниковыми методами с использованием детальной карты высот квазигеоида. 8.4. Развитие СГСС осуществляется фрагментами. Фрагмент СГСС представляет собой геодезическое построение, опирающееся не менее чем на три пункта КСГС. Каждый пункт СГСС должен быть связан не менее чем двумя базовыми линиями с пунктами КСГС или смежными пунктами СГСС. Количество пунктов в фрагменте и их расположение должны обеспечивать развитие СНИ в соответствии с требованиями, предъявляемыми СП 11-104-97 к сетям полигонометрии 1-го разряда. 8.5. В случае примыкания нового фрагмента к существующей СГСС как правило производят повторное наблюдение ранее определявшихся пунктов СГСС, находящихся на границе фрагментов. 8.6. Уравнивание СГСС производится по фрагментам методом наименьших квадратов с учетом погрешностей исходных данных (пунктов КСГС). Измененные координаты пунктов КСГС, полученные в результате уравнивания СГСС с учетом погрешностей исходных данных, в каталоги пунктов ОГС Москвы не вносятся – в них сохраняются координаты, полученные в результате уравнивания КСГС. 8.7. Порядок внесения изменений в каталог существующих пунктов СГСС следующий. 1) Если разности координат повторно наблюдавшихся пунктов СГСС не превышают предельной погрешности их определения, изменения в каталог координат не вносятся. 2) Если разности координат повторно наблюдавшихся пунктов СГСС превысили предельную погрешность их определения, производят дополнительные контрольные определения. Изменения в каталог координат существующих пунктов вносят в том случае, если результаты контрольных определений подтверждают изменение положения существующих пунктов СГСС. 8.8. Повторное уравнивание СГСС в полном объеме выполняется после повторного уравнивания КСГС. 9. Сеть наземных измерений 9.1. Третий уровень в современной структуре ОГС Москвы занимает сеть наземных измерений. Основное назначение СНИ - доведение плотности пунктов ОГС Москвы до 16-20 пунктов на 1 кв.км. 9.2. СНИ создается методом полигонометрии 1 разряда в виде одиночных ходов или систем ходов с опорой на пункты КСГС и СГСС. Пункты СНИ по возможности совмещаются с пунктами старых сетей. Нормальные высоты пунктов СНИ определяются геометрическим нивелированием III класса. 9.3. Развитие СНИ осуществляется фрагментами. Фрагмент СНИ представляет собой геодезическое построение, опирающееся на пункты СГСС и КСГС, расположенные на поверхности земли. Пункты КСГС или СГСС, расположенные на крышах зданий и сооружений, при развитии СНИ допускается использовать в исключительных случаях только в качестве ориентирных. 9.4. Объединение фрагментов СНИ в единую сеть осуществляется через пункты СГСС или КСГС. Общая схема развития СНИ из отдельных фрагментов показана на рис.1 Рис. 6 Схема развития СНИ из отдельных фрагментов 9.5. Уравнивание СНИ производится по фрагментам методом наименьших квадратов с учетом погрешностей исходных данных (пунктов КСГС и СГСС). Измененные координаты пунктов КСГС или СГСС, полученные в результате уравнивания СНИ с учетом погрешностей исходных данных, в каталоги пунктов ОГС Москвы не вносятся - в них сохраняются координаты, полученные в результате уравнивания КСГС или СГСС. 9.6. Пункты СНИ, наблюдавшиеся в одном фрагменте, допускается для контроля неизменности их положения повторно наблюдать при построении смежного фрагмента. Порядок внесения изменений в каталог существующих пунктов СНИ следующий. 1) Если разности координат повторно наблюдавшихся пунктов СНИ не превышают предельной погрешности их определения, изменения в каталог координат не вносятся. 2) Если разности координат повторно наблюдавшихся пунктов СНИ превысили предельную погрешность их определения, производят дополнительные контрольные определения. Изменения в каталог координат существующих пунктов вносят в том случае, если результаты контрольных определений подтверждают изменение положения существующих пунктов СНИ. 9.7. Повторное уравнивание фрагментов СНИ выполняется после повторного уравнивания КСГС и затем СГСС в полном объеме. 10. Организация работ и проектирование сетей 10.1. Производственный цикл построения ОГС Москвы состоит из следующих основных видов работ. 1) Полевое обследование сохранности существующих пунктов и разработка проектов геодезических сетей. 2) Рекогносцировка и закрепление геодезических пунктов. 3) Выполнение измерений. 4) Математическая обработка измерений, составление каталогов координат и высот, технических отчетов, размещение информации в базе данных пунктов ОГС Москвы. 10.2. Проектирование ОГС Москвы должно производиться с учетом всех ранее выполненных работ после обследования сохранности геодезических пунктов. Выбор места расположения геодезического пункта и тип центра должны обеспечивать долговременную сохранность и устойчивость пунктов в плане и по высоте в течение длительного периода времени и удобство его дальнейшего использования. 10.3. Пункты КСГС и СГСС должны располагаться в легко доступных местах с условиями, благоприятными для спутниковых наблюдений и для последующего развития СНИ. Пункты СГСС, как правило, должны располагаться на поверхности земли или иметь пункты-спутники для обеспечения возможности эффективного использования современных электронных тахеометров при развитии сети наземных измерений и съемочного обоснования. При соблюдении указанных требований пункты КСГС и СГСС могут совмещаться с пунктами старой сети. 10.4. Координацию научно-технических и производственных работ по созданию ОГС Москвы осуществляет ГУП "Мосгоргеотрест". 11. Закрепление пунктов сетей 11.1. Пункты СГСС должны закрепляться грунтовыми реперами 6ГР или, при размещении пункта на асфальте или в бетоне, горизонтальными марками (Рис. 7). Рис. 7 Чертеж горизонтальной марки 11.2. Пункты СНИ, как правило, должны закрепляться в стенах зданий и сооружений с помощью стенных знаков (Рис. 8). Рис. 8 Чертеж стенного знака Для закрепления пунктов СНИ допускается использование грунтовых реперов (6ГР), горизонтальных марок (Рис. 7), компактных знаков (Рис. 9) и кернов на анкерных болтах опор ЛЭП, колодцах и других существующих местных предметах, обеспечивающих надежное закрепление пункта. Рис. 9 Чертеж компактного знака Таблица 1. Сравнительная таблица по установлению местных систем координат № п/п Параметр Категория в соответствии с Постановлением правительства РФ от 3 марта 2007 г. N 139 «Об утверждении правил установления местных систем координат» Система отсчета координат г. Москвы [3] цель установления местной системы координат обязательно 1) Установление и распространение московской городской системы геодезических координат на территории г. Москвы. 2) Создание геодезической основы для производства инженерно-геодезических изысканий на территории г. Москвы, в том числе выполняемых в период строительства, эксплуатации и ликвидации объектов. 3) Геодезическое изучение локальных геодинамических природных и техногенных процессов и явлений на территории города. 4) Навигация наземного транспорта. тип условная система координат, устанавливаемая в отношении ограниченной территории, не превышающей территорию субъекта Российской Федерации частная система отсчета координат Отсчетный эллипсоид не определено Бесселя 1841 г. Картографическая проекция не определено Поперечно-циллиндрическая Гаусса-Крюгера, (Transvrtse Mercator) Геодезические координаты начала отсчета координат в государственной СК обязательно ; Плановые координаты начала местной системы координат в местной системе координат обязательно ; ; Масштабный коэффициент не определено ; высота поверхности относимости местной системы координат; система высот обязательно Система высот Балтийская, смещение ; местоположение и площадь территории, в отношении которой устанавливается местная система координат обязательно г. Москва перечень параметров перехода (ключи) от местной системы координат к государственной системе координат (координаты начала местной системы координат в государственной системе координат обязательно не определено, по умолчанию - стандартные формулы перехода с эллипсоида на эллипсоид и дальнейшее преобразование в плоские прямоугольные координаты. долгота осевого меридиана, проходящего через начало местной системы координат; обязательно угол поворота осей координат местной системы координат в точке начала местной системы координат обязательно не определено, По умолчанию: ; Преобразования геодезических координат из одной системы в другую осуществляют и по прямым формулам (21) (22) Формулы (22) обеспечивают вычисление поправок к геодезическим координатам с погрешностью, не превышающей 0,3 м (в линейной мере). Для достижения погрешности не более 0,001 м выполняют вторую итерацию, т.е. учитывают значения поправок к геодезическим координатам по формулам (21) и повторно выполняют вычисления по формулам (22). При этом (23) Формулы (22), (21) и точностные характеристики преобразований по этим формулам справедливы до широт 89. Определение параметров преобразования плоских прямоугольных координат [4] В математике преобразование одной системы (СК1) плоских декартовых прямоугольных координат х,у в другую (СК2) выполняют по правилу , (24) где φ – поворот осей, хо, уо – координаты начала системы СК2 в старой системе координат СК1 (Рис. 10). Чтобы определить параметры φ, хо, уо преобразования, необходимо располагать координатами, по крайней мере, двух пунктов в обеих системах. При сравнении координат Гаусса-Крюгера, вычисленных по результатам различных независимых измерений, кроме величин φ, хо, уо следует учитывать изменение масштаба изображения. Длина S одной и той же линии может оказаться различной в разных системах координат, и масштаб изображения, т.е. отношение , будет отличен от единицы: , (25) и - длина линии в первой и второй системах координат соответственно, - отличие масштаба отображения от единицы. В системе Гаусса-Крюгера масштаб изображения не постоянен и меняется при изменении положения точки, причем это изменение может быть различным в двух системах. Поэтому отношение (36) может оказаться непостоянным. Тем не менее, будем считать величину т постоянной и также рассматривать ее в качестве параметра преобразования. С учетом изменения масштаба уравнение (24)Error: Reference source not found записывают в виде . (26) Уравнение (26)(37) содержит четыре неизвестных параметра – т, φ, хо, уо. Для определения первых двух необходимо иметь в обеих системах координаты двух пунктов; смещение начала координат при известных т, φ можно найти по координатам одного пункта. В локальной области целесообразно разделить определение масштаба и угол разворота от определения смещения начала координат. Например, можно исключить из (37) координаты хо, уо, если сравнивать в двух системах не координаты, а их разности. Напишем уравнение (37) для любых двух пунктов i и j , . (27) Рис. 10 Параметры преобразования прямоугольной системы координат индексы у координат относятся к номеру точки в первой СК, индексы у азимута – номер СК для линии 1-2, индексы у расстояния – к точкам в разных системах координат и образуем разность этих уравнений , (28) Δx = xi - xj, Δy = yi - yj - разности координат пунктов i и j в обеих системах. В уравнении (28) удобнее использовать не разности координат, а длины S и углы А между осями Х и линиями S (см. Рис. 10). Это позволит определять раздельно масштаб и угол разворота. Внесем в (39) выражение (36) и равенства , . Тогда длины S исключатся, и для определения угла φ получим выражение (29) или тогда (30) Таким образом, параметр т определяется по формуле (36) только по длинам линий, а угол φ по формуле (41) только по углам А. После введения S и A уравнение (37) получит вид . Для определения длин Sск1, Sск2 линий, соединяющих два пункта, и углов Аск1, Аск2, образованных этими линиями с осями ОСК1ХСК1 и ОСК2ХСК2, по разностям Δхск1, Δуск1 и Δхск2, Δуск2 координат этих пунктов в обеих системах служат формулы , (31) (32) Получим из (37) уравнение для определения координат , начала преобразованной системы. Разделим обе части этого уравнения на (1+т) и умножим на матрицу ортогонального преобразования: . В результате получим или или . (33) Если параметры т, φ, хо, уо малы, выражение (37) можно упростить. Полагая , и не учитывая квадраты и произведения параметров т, φ, хо, уо, получим , (34) Так как в системе Гаусса – Крюгера координаты не превышают 107 м, при φ = 5” ошибка преобразования не превысит хφ2/2 = 3 мм. Поэтому преобразование (4) можно использовать, если угол поворота φ составляет несколько секунд. Образуем разности координат пунктов в двух системах. Представим их в виде , (35) - известные разности координат (свободные члены), i – порядковый номер пункта, координаты которого известны в обеих системах, п – число таких пунктов, i = 1,2….п, vx, vy - ошибки разностей координат. Рассматривая (5) как условные уравнения, можно найти параметры т, φ, хо, уо по способу наименьших квадратов. После нахождения параметров преобразования координаты любого пункта из одной системы в другую можно перевести по формуле (4). Пусть имеется группа измерений с ковариационной матрицей , которая связывает искомые параметры на состояние линейными уравнениями поправок . (36) Под условием составим нормальные уравнения . (37) Матрица свободных членов (38) Решим относительно искомого параметра и найдем . (39) Причем матрица уравнений поправок имеет полный ранг, равный , и существует обратная матрица . (40) Новое счислимое значение параметров (41) Литература