Приведение направлений к центрам пунктов триангуляции.

По дисциплине: «Высшая геодезия и основы координатно-временных систем» для студентов 3-го курса ПРИВЕДЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЙ К ЦЕНТРАМ ПУНКТОВ ТРИАНГУЛЯЦИИ. Все измеренные в сет триангуляции углы должны быть отнесены к центрам знаков. Поскольку центры столиков знаков и оси визирных цилиндров не совпадают с отвесной линией, проходящей через центр пункта, возникает задача приведения измеренных направлений к центрам знаков путем введения соответствующих поправок. Рис.1 Поправка за центрировку – поправка из-за несовпадения вертикальной оси прибора с отвесной линией, проходящей через центр пункта. Поправка за редукцию – поправка за несовпадение оси симметрии визир-ной цели с центром пункта. Процесс введения в измеренные направления поправок за центрировку и редукцию называется приведением направлений к центрам пунктов и исправленные направления – приведенными направлениями. Для вычисления поправок необходимо определить взаимное положение в одной горизонтальной плоскости проекции: - центра пункта С; - вертикальной оси инструмента I; - оси визирного цилиндра – V и их ориентировку относительно сторон триангуляции. Взаимное положение точек C, I, V и их ориентировка относительно сторон сети определяются значениями отрезков l и l1 и углов θ и θ1, называемых элементами приведения: l – линейный элемент центрировки. l1 – линейный элемент редукции. θ - угловой элемент центрировки. θ1 – угловой элемент редукции. Угловые элементы θ и θ1 измеряются при проекциях оси инструмента I и оси визирной цели V от направления на центр пункта C по часовой стрелке до начального направления на пункт триангуляции. Вычисление поправки за центрировку. В результате внецентренной установки прибора в точке I, в направление М должна быть введена поправка с. Ее значение может быть найдено из ∆ CIA (рис.2): Рис.2 Вследствие малости угла с получим: где S – длина стороны триангуляции между пунктами С и А. Поправка за центрировку вводится в направления, измеренные на данном пункте. Вычисление поправки за редукцию. Из-за редукции на пункте С в измеренное направление М1 на точке А должна быть введена поправка r (рис.3) Рис.3 Поправки за редукцию вводят в противоположные направления. При принятом правиле отсчета углов θ и θ1 поправки с’’ и r’’ всегда алгебраически суммируются с измеренными направлениями. Введение поправок в измеренные направления за центрировку и редукцию не должно понижать точности измерения самих направлений. Очевидно, что по-грешности в определении поправок не должны превышать 0,″1. Поэтому определение элементов приведения должно производиться весьма тщательно. Величина же S может быть известна приближенно с точностью до 10 м, значения измеренных направлений при вычислениях поправок за центрировку и редукцию округляются до целых минут. Элементы приведения могут быть определены одним из трех способов: - графическим; - аналитическим; - непосредственным измерением. Графический способ определения элементов приведения. Способ является самым распространенным. Для его осуществления необходим вспомогательный теодолит (обычно 30-секундный), центрировочный столик или мензула. Способ применяется тогда, когда линейные элементы приведения невелики (т.е. меньше 0,3-0,5 м), и если можно спроектировать на одну горизонтальную плоскость визирный цилиндр, ось вращения теодолита и центр пункта. Порядок работы: 1. Центрировочный столик устанавливают над центром пункта. Стараются, чтобы его поверхность была горизонтальна. Накалывают лист бумаги (центрировочный лист), стороны которого ориентируют при помощи буссоли. 2. С трех установок теодолита (располагаемых примерно под углом 1200 или 600) последовательно наводя зрительную трубу на центр пункта, ось инструмента и ось визирной цели, отмечают на центрировочном листе следы проектирующих плоскостей. Проектирование осуществляют при 2-х положениях вертикального круга. 3. Усредняют результаты 2-х кратного проектирования и на пересечении следов проектирующих плоскостей находят искомые точки I, V, C. Стороны треугольников, полученных на центрировочном листе не должны превышать 5 мм для I и C и 10 мм для V. 4. Из точек I и V на центрировочном листе прочерчивают направления на 2 пункта триангуляции (желательно, чтобы один из них был начальным). Измеряют угол между этими направлениями транспортиром с точностью до 0,50. Сравнивают его значение с углом, измеренным при наблюдениях. Допустимые расхождения составляют: 5. Измеряют элементы приведения на центрировочном листе: - линейные элементы l и l1 линейкой с точностью до 1 мм - угловые элементы θ и θ1 транспортиром с точностью до 15′. 6. Для каждого центрировочного листа вычисляют средние значения угловых элементов, приведенных к начальному направлению где МАВ – измеренный инструментом угол. 7. Определение элементов приведения производят дважды, как правило, до измерений и после измерений на пункте. Расхождение линейных элементов из двукратных определений не должно превышать 10 мм. Пример центрировочного листа, на котором определены элементы редукции и центрировки, показан на рис.4. Непосредственное измерение элементов приведения. Если элементы l и l1 так велики, что точки C, I и V нельзя получить на одном листе бумаги, то производится непосредственное измерение элементов приведения. При этом следы проектирующих плоскостей отмечают колышками с гвоздями, на которые затем натягивают шнуры, дающие в пересечении между собой искомые проекции центра пункта, оси инструмента и оси визирной цели. Линейные элементы измеряют рулеткой, а угловые – теодолитом. Рис.4 Аналитический способ определения элементов приведения. Способ применяют тогда, когда точки C, I, V не удается спроектировать на одну плоскость. Необходимость в этом способе возникает, как правило, когда в качестве пунктов триангуляции используются местные предметы (башни, церкви и другие сооружения). Если координаты пункта относят к объекту визирования, что имеет место при использовании в качестве пунктов местных предметов, например, к яблоку (шару) под крестом колокольни церкви, штилю башни и т.п., то необходимо определить только элементы центрировки. Для аналитического определения элементов приведения разбивают базис – d (рис.5). Длину базиса и его удаление от пункта выбирают таким образом, чтобы ∆12С и ∆12I были по возможности близкими к равносторонним. Базис выбирается на ровном месте. Концы базиса закрепляют колышками с вбитыми гвоздями. Длину базиса d измеряют стальной рулеткой с точностью отсчитывания – 1 мм. Рис. 5 В точках 1 и 2 измеряют 2-мя приемами углы β1, δ1, β2, δ2, в точке I угол ϕ между направлением на пункт триангуляции (начальное направление) и точку 2. Введем систему координат. Начало совместим с точкой 1, а ось y направим по линии 1-2. По схеме найдем координаты точек C и I: Для точки C можно записать: Отсюда: Аналогично для точки I: φ1 Вычислим значения дирекционных углов: Находим элементы приведения: φ1 Для контроля и повышения точности результатов элементы приведения определяются с 2-х самостоятельных базисов различной длины. Изображение визирной цели (визирного цилиндра, яблока под крестом) с близкого расстояния не вмещается в биссектор сетки нитей, и наведение на их оси симметрии становится неуверенным. Поэтому при измерении углов δ и β наведение и отсчеты по лимбу делают как на левый, так и на правый край яблока (цилиндра). Для вывода углов β и δ берут среднее значение из отсчетов по двум краям визирной цели. Для грубого контроля величину l желательно, если это возможно, хотя бы приближенно измерить непосредственно. Необходимая точность определения элементов приведения. Точность определения элементов приведения должна быть такой, чтобы их ошибки существенно не снижали точности измеренных направлений, и чтобы ошибки определения поправок c и r, по крайней мере, были в 10 меньше, чем ошибки измеренных направлений. Таким образом, mc = mr ≤ 0.1mн . Рассмотрим, от чего зависит ошибка определения поправки за центрировку. Для этого исходя из формулы: выразим ошибку mс взяв предварительно частные производные: Ошибка mс зависит от трех составляющих. Применив принцип равного влияния можно записать: Следовательно, каждое слагаемое в формуле (а) должно определяться с ошибкой m=0,05mн. Рассмотрим на примере триангуляции 3 класса, где mβ=1,″5, m=1,″06∗0,05=0,″053. Рассмотрим составляющие ошибки при экстремальных значениях sin (M+θ) и cos(M+θ): Например, для 3 класса S3 клас = 5-8 км, тогда Из таблицы следует, что величина l должна определяться с ошибкой 2-3 мм, а при коротких сторонах (до 5 км) – 1,0 мм. Поэтому, для триангуляции 3-4 классов иногда выполняют 3-х кратное определение элементов приведения. примем l = 0,2м, тогда при S=8 км: Из вышеизложенного следует, что чем больше l, тем точнее должен определяться угол θ. Из этого следует, что длины сторон триангуляции вполне достаточно вычислять до 1 м. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ТРИАНГУЛЯЦИИ. Цель – получение направлений и углов, приведенных к центрам пунктов и редуцированных на плоскость проекции Гаусса, а также контроль и оценка качества произведенных измерений. В предварительные вычисления сети триангуляции входят: 1) проверка полевых журналов и центрировочных листов; 2) составление сводок результатов измерения горизонтальных направлений (углов) на пунктах и сводок элементов приведения; 3) составление рабочей схемы сети; 4) подготовка исходных данных; 5) приближенное решение треугольников; 6) вычисление приближенных координат пунктов; 7) вычисление поправок за центрировку и редукцию; 8) вычисление поправок за кривизну изображения геодезических линий; 9) вычисление направлений, приведенных к центрам пунктов и редуцированных на плоскость проекции; 10) уравнивание направлений на станции, если измерения выполнялись с делением направлений на группы; 11) составление треугольников, подсчет их невязок и оценка точности измерения углов; 12) составление уравнений полюсов, базисов и азимутов, возникающих в сети, и подсчет их невязок. В полевых журналах проверяют все вычисления, начиная с нахождения среднего арифметического из отсчетов и кончая выводом приведенных к нулю направлений из отдельных приемов. Ошибки, исправляют путем аккуратного зачеркивания неверных цифр и надписи верных над ними. В центрировочных листах проверяют значения элементов приведения и контрольного угла. О результатах проверки делают соответствующие отметки. В сводку результатов измерений направлений на пункте выписывают результаты измерений всеми приемами. Находят средние значения направлений из всех приемов и отклонения от среднего значения. По отклонениям производят оценку точности. Формулы для оценки точности рассмотрены ранее. Исходные данные выписывают в отдельную ведомость, содержащую ко-ординаты твердых пунктов. При необходимости вычисляют длины и дирекционные углы исходных сторон. Приближенное решение треугольников производят по теореме синусов с округлением углов до 10″ или 0,′1. Длины сторон треугольников вычисляют с точностью до 1 м. Одновременно с решением треугольников вычисляют сферические избытки, необходимые для подсчета невязок в треугольниках, а также для контроля вычисления поправок за кривизну изображения геодезических линий в проекции Гаусса-Крюгера. Сферические избытки вычисляются по одной из формул: Значение f для всей территории нашей страны принимается равным 0,00253, а длины сторон выражаются в километрах. Сферический избыток всегда величина положительная. Приближенные координаты, необходимые для нахождения поправок δ за кривизну изображения геодезических линий, вычисляют с точностью до 0,01 км. Поправки δ вычисляют по формулам: где х, у – приближенные координаты на плоскости, выраженные в км. 1/3f = 0,000845. При вычислениях используются ординаты у, отсчитываемые от осевого меридиана 60(30) зоны. Т.е. надо опустить номер зоны и вычесть 500 км. Поправка в угол за кривизну изображения геодезической линии вычисляется как разность поправок в направления, которые образуют угол. δ1 = δ13 − δ12 δ2 = δ 21 − δ23 δ 3 = δ 32 − δ31 Сумма поправок в углы замкнутой фигуры должна равняться сферическому избытку, взятому с обратным знаком: Направления Мi, приведенные к центрам знаков и редуцированные на плоскость проекции, находят по формуле: где Мi′ – измеренное (сфероидическое) направление; ci, ri, δi – поправки за центрировку, редукцию и кривизну изображения геодезической линии для направления Mi. c0, r0, δ0 – то же для начального направления. Вычисление значений измеренных, а также плоских приведенных направлений во 2 классе выполняют с точностью 0,″01, а в триангуляции 3 и 4 классов – до 0,″1. Вычисление поправок производят с удержанием цифр на порядок больше. Качество измерений в сети триангуляции оценивается по значениям невязок условных уравнений и величине средней квадратической ошибки измерения углов треугольников, которые должны удовлетворять допускам «Инструкции». Средняя квадратическая погрешность измерения углов вычисляется по формуле Ферреро: w – невязка в треугольниках; n – число треугольников. Инструкцией установлены следующие величины: Формула Ферреро является вполне строгой лишь в случае независимого измерения углов. В случае измерения направлений строгость несколько нарушается, но на оценку это не оказывает существенного влияния. На точность формулы оказывает влияние то, что в процессе наблюдений отбраковывают измерения, не удовлетворяющие установленным допускам. В результате этого значение µ может быть преуменьшено до 15%. Чем больше количество невязок, тем надежнее вычисляется m. Принято считать, что удовлетворительные результаты оценки точности могут быть получены при числе треугольников не менее 15. Второй контроль качества измерений углов осуществляют по величинам свободных членов условных уравнений. Свободные члены уравнений полюса не должны превышать: µ - установленная инструкцией средняя квадратическая ошибка измерения угла для данного класса. βi - углы, входящие в полюсное условное уравнение. Свободные члены уравнений базиса и дирекционных углов не должны превышать: - базисного условия (в метрах) - дирекционных углов где b2 – длина базиса на втором конце ряда треугольников. mb и mα — средние квадратические ошибки базисных сторон и дирекционных углов (азимутов). n – число углов, участвующих в вычислении невязки уравнения дирекционных углов. При наличии нескольких вариантов для базисного условия берут треугольники, дающие наилучшую передачу расстояния, а передача азимута про-изводится по кратчайшей ходовой линии.