Подземная гидромеханика

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет ПОДЗЕМНАЯ ГИДРОМЕХАНИКА Учебно-методическое пособие Электронное издание Красноярск СФУ 2015 УДК 622:532(07) ББК 30.123я73 П442 Составитель: Квеско Бронислав Брониславович П442 Подземная гидромеханика : учеб.-метод. пособие [Электронный ресурс] / сост. : Б.Б. Квеско – Электрон. дан. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2015. – Систем. требования : PC не ниже класса Pentium 1 ; 128 Mb RAM ; Windows 98/XP/7 ; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана. Электронное издание является пособием по дисциплине Подземная гидромеханика. В пособии рассмотрены потенциал, одномерные течения, плоские течения, многофазные потоки, нестационарные течения. Предназначено для студентов напрвлений подготовки Нефтегазовое дело и Нефтегазовое дело. УДК 622:532(07) ББК 30.123я73 © Сибирский федеральный университет, 2015 Электронное учебное издание Подготовлено к публикации издательством Библиотечно-издательского комплекса Подписано в свет 07.12.2015. Заказ № 2872 Тиражируется на машиночитаемых носителях Библиотечно-издательский комплекс Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел. (391) 206-26-67; http://bik.sfu-kras.ru E-mail: publishing_house@sfu-kras.ru 2 СОДЕРЖАНИЕ Обозначения и размерности Введение 1. Физические основы подземной гидромеханики 1.1. Понятие о моделировании 1.2. Модели фильтрационного течения, флюидов и коллекторов 1.2.1. Модели фильтрационного течения 1.2.2. Модели флюидов 1.2.3. Модели коллекторов 2. Дифференциальные уравнения фильтрации 2.1. Скорость фильтрации 2.2. Общая система уравнений подземной гидромеханики 2.3. Закон Дарси (линейный закон фильтрации) 2.3.1. Пористая среда 2.3.2. Трещинная среда 2.4. Уравнения потенциального движения для пористой среды 2.6. Начальные и граничные условия 2.6.1. Начальные условия 2.6.2. Граничные условия 2.7. Замыкающие соотношения 2.7.1. Зависимость плотности от давления 2.7.2. Зависимость вязкости от давления 2.7.3. Зависимость пористости от давления 2.7.4. Зависимость проницаемости от давления 3. Установившаяся потенциальная одномерная фильтрация 3.1. Виды одномерных потоков 3.1.1. Прямолинейно-параллельный поток 3.1.2. Плоскорадиальный поток 3.1.3. Радиально-сферический поток 3.2. Исследование одномерных течений 3.2.1. Задача исследования 3.2.2. Общее дифференциальное уравнение 3.2.3. Потенциальные функции 3.2.4. Анализ основных видов одномерного течения 3.2.5. Анализ одномерных потоков при нелинейных законах фильтрации 3.3. Фильтрация в неоднородных средах 3.4. Приток к несовершенным скважинам 3.4.1. Виды и параметры несовершенств скважин 3 6 10 11 11 12 12 13 13 18 18 19 21 21 24 25 27 27 27 28 28 29 29 29 31 31 31 32 33 33 33 33 36 37 46 49 51 51 3.4.2. Исследования притока жидкости к несовершенной скважине 3.5. Влияние радиуса скважины на её производительность 4. Нестационарная фильтрация упругой жидкости и газа 4.1. Упругая жидкость 4.1.1. Понятия об упругом режиме пласта 4.1.2. Основные параметры теории упругого режима 4.1.3. Уравнение пьезопроводности 4.1.4. Приток к скважине в пласте неограниченных размеров 4.1.5. Периодически работающая скважина 4.1.6. Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин нестационарными методами 4.2. Неустановившаяся фильтрация газа в пористой среде 4.3. Приближенные методы решения задач теории упругого режима 4.3.1 Метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС) 4.3.2. Метод А.М. Пирвердяна 4.3.3. Метод интегральных соотношений 4.3.4. Метод «усреднения» 5. Основы теории фильтрации многофазных систем 5.1. Связь с проблемой нефтегазоотдачи пластов 5.2. Основные характеристики многофазной фильтрации 5.3. Исходные уравнения многофазной фильтрации 5.4. Потенциальное движение газированной жидкости 5.5. Фильтрация водонефтяной смеси и многофазной жидкости 5.6. Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей 5.6.1. Задача Баклея−Леверетта и ее обобщения 5.6.2. Задача рапопорта–лиса 6. Основы фильтрации неньютоновских жидкостей 6.1. Реологические модели фильтрующихся жидкостей и нелинейные законы фильтрации 6.2. Одномерные задачи фильтрации вязкопластичной жидкости 6.3. Образование застойных зон при вытеснении нефти водой 7. Установившаяся потенциальная плоская (двухмерная) фильтрация 7.1. Метод суперпозиции (потенциалов) 7.1.1. Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной 4 53 53 56 56 56 56 58 58 62 63 64 66 66 70 72 74 77 77 77 81 83 88 89 92 94 96 96 99 101 103 104 105 7.1.2. Приток к группе скважин с удаленным контуром питания 7.1.3. Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания 7.1.4. Приток к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы 7.1.5. Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания 7.1.6. Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин 7.2. Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений (метод Борисова) 7.3. Интерференция несовершенных скважин 7.3.1. Взаимодействие скважин 7.3.2. Взаимодействие скважин при нестационарных процессах 7.4. Решение плоских задач фильтрации методами теории функций комплексного переменного 7.4.1. Общие положения теории функций комплексного переменного 7.4.2. Характеристическая функция, потенциал и функция тока 7.4.3. Характеристические функции некоторых основных типов плоского потока 7.4.4. Характеристическая функция течения при совместном действии источника и стока 7.4.5. Характеристическая функция течения для кольцевой батареи скважин 8. Основы численного моделирования 8.1. Сущность математического моделирования 8.2. Основные проблемы гидродинамического моделирования Библиографический список 5 107 109 110 110 111 117 120 121 122 123 123 124 126 130 132 135 135 139 145 ОБОЗНАЧЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ СИ – международная метрическая система единиц; ТС – техническая (промысловая) система единиц. Обозначение Размерности Название B СИ ТС ширина пласта м см dэ эффективный диаметр м см g ускорение свободного падения м/с2 см/с2 G массовый расход (дебит) кг/с кГ/с fo параметр Фурье для призабойной зоны fo = κt rc2 Fo параметр Фурье для пласта Fo = κt rk2 Ei(-u) интегральнопоказательная функция h эффективная толщина пласта м см k абсолютная проницаемость м2=106мк м2 д (дарси) kf фазовая проницаемость м2=106мк м2 д (дарси) ⎯k относительная 1м=100см G=Q*ρ − Ei(−u) = ∞ ∫ r2 4æt %; доли единицы 6 e−u du u 1д≈1 мкм2=10-12м2 проницаемость Обозначение Размерности Название К коэффициент продуктивности J(σ) безразмерная функция Леверетта m пористость %; доли единицы mт трещиноватость %; доли единицы ms просветность %; доли единицы СИ м3 c Па ТС см3 c атм . р давление Па (паскаль) =н/м2 rk радиус контура м см м см м2/м3 см2/см3 rc радиус скважины Re параметр Рейнольдса Sуд удельная поверхность t время T температура с (секунда) о К атм. (атмосфера) Q Δ pê 1 атм.=105Па 1 м2/м3=10-2 см2/см3 с о К Q объёмный расход (дебит) м3/с см3/с u скорость фильтрации м/с см/с w действительная скорость жидкости м/с см/с 7 K= 1оК=1оС+276 u=w m Обозначение Размерности Название СИ ТС βf коэффициент объёмной упругости жидкости 1/Па 1/атм. βc коэффициент объёмной упругости пласта 1/Па 1/атм. β коэффициент упругоёмкости пласта 1/Па 1/атм. * σi β*=m0βf +βc насыщенность порового пространства i –й фазой ϕ=∫ kρ dp + C μ ϕ потенциал δт раскрытость (ширина трещины) м см δрк= р2-р1 капиллярное давление Па атм. 1 атм.=105Па Δрк= депрессия Па атм. 1 атм.=105Па Δτз упругий запас м3 см3 Δτз=β* Vп Δрк ; Vп – объём пласта μ коэффициент динамической вязкости Па*с спз (сантипуаз) 1спз=0,01пз= =10-3 Па*с ρ плотность кг/м3 γ удельный вес =рk-рc кГ(кг-сила) кГ/см3 8 γ=ρg κ τ Гт индекс c коэффициент пьезопроводности пласта касательное напряжение густота трещин м2/с см2/с Па атм. 1/м 1/см параметры забоя скважины индекс параметры контура k параметры при индекс стандартных физических условиях – st р=1 атм., Т=0оС индекс f индекс сг индекс гр k – упругая * μβ жидкость: kp κ/= k – газ mμ κ= жидкость свободный газ газ в растворе 9 ВВЕДЕНИЕ Подземная нефтегазовая гидромеханика (ПГМ) – наука о движении нефти, воды, газа и их смесей по коллекторам. Коллектора – это горные породы, которые могут служить хранилищами нефти, газа, воды и отдавать их при разработке. Жидкость, газ, смесь жидкости и газа, то есть всякая текучая среда, часто именуется общим термином флюид, если не ставится задача выделить характерные особенности движения данной среды. 10 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОМЕХАНИКИ 1.1. Понятие о моделировании Особенностью подземной гидромеханики является одновременное рассмотрение процессов в областях, характерные размеры которых различаются на порядки – от микрометров (размеры пор и трещин) до десятков и сотен километров (протяженность месторождений). Кроме того, неоднородность пластов (по толщине и площади) имеет характерные размеры практически любого масштаба. Указанные неоднородности по строению залежей, а также значительная широта фациального состава коллекторов и сложный нерегулярный характер структуры порового пространства обуславливают ограниченность и приближенность сведений о пласте и флюидах, полученных в результате геологических и геофизических исследований. Таким образом, исследование пластов невозможно без абстрактного (математического) и физического (лабораторного) моделирования. При абстрактном моделировании реальные процессы описываются некоторой математической моделью, полученной на основе осреднения характерных параметров по времени, пространству и статистической выборке. Это осреднение позволяет перейти от дискретных распределений к непрерывным и, следовательно, использовать хорошо разработанные методы механики сплошных сред и дифференциального исчисления. Математическое моделирование предполагает использование целого ряда зависимостей, позволяющих в той или иной мере отожествить математическую модель с реальными физическими средами и процессами. В силу разнообразия реальных сред, процессов и огромного числа взаимосвязанных факторов для получения данных зависимостей в подземной гидромеханике широко используется физическое моделирование, основанное на теории подобия. При моделировании пластов и фильтрационных процессов необходимо помнить о принципиальной невозможности достижения точного количественного описания, и, следовательно, основная задача исследования заключается в установлении качественных закономерностей, устойчивых тенденций, а также количественных соотношений, устойчивых к вариации исходных данных. Целью моделирования является не столько точное определение всех характеристик процесса, сколько расширение той совокупности сведений, которые учитываются при выборе системы разработки или метода воздействия на пласт. При этом уточнение и коррекция данных сведений возможны только на основе анализа последующего поведения пласта. Следует иметь в виду, что усложнение модели путем увеличения признаков сверх определяющих основные законо11 мерности может привести не к увеличению точности, а к получению качественно неверных результатов. 1.2. Модели фильтрационного течения, флюидов и коллекторов 1.2.1. Модели фильтрационного течения Теория фильтрации строится на представлении породы и заполняющего ее флюида сплошной средой. Это означает необходимость осреднения кинематических и динамических параметров по пространству, которое требует малости элементов системы флюид – порода, но при этом они должны быть достаточно большими по сравнению с размерами пустот и зерен породы. При этом предполагается, что в одном и том же элементарном объеме содержатся одновременно порода и флюид. При исследовании фильтрационного течения в подземной гидромеханике изменением температуры флюида пренебрегается по причине малых скоростей течения и значительного теплообмена со скелетом пород, вследствие значительной поверхности контакта и значительного превышения теплоёмкости горных пород над теплоёмкостью флюида. Таким образом, процесс течения предполагается изотермическим. Необходимо отметить, что в отдельных случаях (тщательное изучение призабойной зоны, использование термических методов интенсификации добычи флюидов) используют и общую постановку – с учётом изменения температуры не только флюида, но и породы. Для процессов, происходящих в нефтегазовых пластах при разработке, характерно наличие периодов изменения параметров течения во времени (пуск и остановка скважин, проведение работ по интенсификации притока). Такие процессы называют неустановившимися (нестационарными), а сами модели течения нестационарными. Те же модели, которые описывают процессы, не зависящими от времени, называют стационарными (установившимися). При этом в данных моделях, по причине малости изменения скорости и значительного преобладания сил сопротивления над инерционными силами, уравнение количества движения используется, не зависящим от времени, и пренебрегается изменением импульса по пространству. Моделирование фильтрационного течения по отношению к пространственному изменению параметров может проводиться в одномерной, плоской и пространственной постановках. Одномерная постановка рассматривается в том случае, когда параметры являются функцией только одной переменной – это течение по прямой или кривой. 12 1.2.2. Модели флюидов По степени сжимаемости. Природный газ способен значительно изменять свой объём при изменении давления, вода и нефть в довольно значительном диапазоне давлений (приблизительно до 20МПа) практически несжимаемы, а при высоких давлениях обладают упругими свойствами. В связи с указанными факторами различают модели сжимаемой, несжимаемой и упругой среды. Построение каждой из указанной модели требует привлечения эмпирических уравнений состояния – соотношений, связывающих изменение объёма с изменением давления. Гомогенные и многофазные модели. В области контакта флюидов при вытеснении одного другим или при выделении одного флюида из другого в каждом микрообъёме содержится два или больше флюидов, занимающих отдельные четко различимые объёмы (пузырьки газа в жидкости, капли или плёнки в газе) и взаимодействующих на поверхностях раздела. Такие системы называют многофазными (двух, трёх и т.д.), в отличие от многокомпонентных смесей (природный газ, нефть), в которых взаимодействие происходит на молекулярном уровне, и поверхности раздела выделить нельзя. В гидродинамике такие среды называют однофазными или гомогенными. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. В процессе движения флюиды испытывают различные деформации при изменении нагрузки (трение соседних объёмов, внешние силы), которая, отнесённая к единице площади, получила название напряжения. Само соотношение, связывающее деформацию или скорость изменения деформации с напряжением, называется реологическим соотношением или законом. Наиболее часто, применительно к жидкостям, для описания действия касательных напряжений τxy на сдвиговую деформацию ∂ ux применяют соотношение Ньютона τ xy = μ ∂ y , где ux – скорость в направлении х; у – направление, перпендикулярное х. Довольно часто движение флюидов не подчиняется данному закону, например, при страгивании пластовой нефти требуется некоторое, отличное от нулевого, напряжение, чтобы разорвать образованные пластовой водой коллоидные структуры. Такие среды называются неньютоновскими, а модель – моделью неньютоновского течения. 1.2.3. Модели коллекторов Моделирование коллекторов и, соответственно, классификация их параметров проводится по трём направлениям: геометрическое, механическое и связанное с наличием жидкости. Геометрические модели. С геометрической точки зрения, все коллектора можно подразделить на две большие группы: гранулярные (поровые) (рис. 1.1) и 13 трещинные (рис.1.2). Ёмкость и фильтрация в пористом коллекторе определяется структурой порового пространства между зёрнами породы. Для второй группы характерно наличие развитой системы трещин, густота которых зависит от состава пород, степени уплотнения, мощности, структурных условий и так далее. Чаще всего имеют место коллектора смешанного типа, для которых ёмкостью служат трещины, каверны, поровые пространства, а ведущая роль в фильтрации флюидов принадлежит развитой системе микротрещин, сообщающих эти пустоты между собой. В зависимости от вида путей фильтрации или главных вместилищ флюида различают коллектора: трещинно-пористые, трещинно-каверновые и т.д. При этом первая часть в названии определяет вид пустот, по которым происходит фильтрация. Рис. 1.1. Шлиф-пористого коллектора: 4 – поровое пространство; 2– цемент (кальцит); 3 – глина; блоки; 1– зерна (частицы) Рис. 1.2. Схема трещиннопористого коллектора 1 – трещины; 2 – пористые С целью количественного описания фильтрационно-ёмкостных параметров реальные сложные породы заменяют идеализированными моделями. Рис. 1.3. Слепок поровых каналов сцементированного песчаника 14 Идеализированные модели пористых сред. Реальные горные породы имеют очень сложную геометрию (рис.1.3) порового пространства или трещин. Кроме того, размеры частиц гранулярных коллекторов или трещин в трещиноватых породах меняются в очень широких пределах – от микрометров до сантиметров. Естественно, что математическое описание тече- ния череез столь хаотическ х кую струкктуру неввозможноо и, следоовательно, необхо-дима неккоторая идеализаци ия структтуры. Рис. 1.4.1. Элеемент фикт тивного груунта Фикктивный грунт г – среда, с сосстоящая из и шарикоов одногоо размера,, уложен-ных во всем объ ъёме пори истой среды один наковым образом по элементам изз восьми шаров ш в углах у ром мбоэдра (ррис.1.4.1.). Острый й угол рааствора ро омбоэдраа о о α меняеттся от 60 до 90 . Наиболее Н плотная укладка частиц ч прри α=60 и наиме-о нее плоттная при α=90 α (куб б) Рис. 1.4.2. Идеалььный грунт т Идееальный гррунт – срреда, состтоящая изз трубочеек одногоо размера,, уложен-ных оди инаковым образом м по элем ментам изз четырехх трубочек в углаах ромбаа (рис. 1.4.2.). Плоттность уклладки мен няется от угла расттвора ром мба. Идееализировванные модели трещин нно-пори истых ссред. Тр рещинно-пористые коллектторы расссматривааются какк совокуп пность двуух разном масштаб-ных пори истых среед (рис.1.2): систем мы трещи ин (среда 1), где поористые блоки б иг-рают ролль “зёрен н”, а трещ щины – роль р изви илистых “пор” “ и ссистемы пористых п х блоков (ссреда 2). В прростейшеем случаее трещинн ный пласт модели ируется од дной сетккой гори-зонтальн ных трещ щин некотторой проотяженно ости (рис..1.5), при ичём все трещины ы одинаковво раскры ыты и равно отстояят друг отт друга (оодномерны ый случай й). 15 Рис.1..5. Схема одномерной о й модели тррещинной среды Рис.1 1.6 Схема пространст пр твенной модели трещинной среды В боольшинсттве случааев трещи инный пласт харакктеризуеттся наличи ием двухх взаимно--перпенди икулярны ых систем м вертикальных трещин т ((плоский случай). Такая поорода мож жет быть представвлена в виде модеели коллеектора, раасчленён-ного двуумя взаим мно-перпеендикуляярными си истемами и трещин с равны ыми вели-чинами раскрыти р ия δ и лин нейного размера р бл лока порооды l. В п пространсственном м случае использую и ют систем му трёх взаимно--перпенди икулярны ых систем м трещин н (рис.1.6). Мехханическ кие модел ли. Реолоогическиее модели горных п пород. Вссякое из-менение сил, дей йствующи их на горрные пор роды, вызывает и их деформ мацию, а также иззменение внутренн них усили ий – напр ряжений. Таким об бразом, ди инамиче-ское состтояние гоорных поррод, как и флюидо ов, описы ывается рееологичесскими со-отношен ниями. Об бычно реоологическкие зависсимости получают п в резулььтате ана-лиза эксп перименттальных данных, д н натурных исследовваний или и физичесского мо-делироваания. Еслли объём пустот нее изменяеется или изменяетс и ся так, чтто его из-менением м можно пренебреечь, то таккую сред ду можно назвать ннедеформ мируемой. Если прооисходит линейноое изменен ние объём ма от нап пряженияя, то такаяя среда – упругая, иначе ещ щё её назы ывают куллоновско ой. К таки им средам м относятся песча-ники, известняки, базальты ы. В упругих телаах при сн нятии наггрузки об бъём вос-станавли ивается полностью п ю и лини ия нагруззки совпаадает с ллинией разгрузки. Многие породы деформир д руются с остаточн ным измеенением ообъёма, т.е. т линияя нагрузки и не совпаадает с ли инией раззгрузки. Такие Т порроды назы ываются пластич-ными (гллины), теекучими (н несцементируемыее пески) или и разруушаемыми и. Моддели по ориентир о рованноссти в про остранст тве. Горн ные породы необ-ходимо разделять р ь по ори иентироваанности изменени и ия их хараактеристи ик в про-странствве. С этой й позици ии выделяяют изотр ропные и анизотрропные теела. Изо-тропия – этоРис. незаависимост ть измене ения ических параметро п ов от напр равления,, 1 1.4.2. Идеаальный гру унт физи анизотропия – различные р е изменения по отдельны о м направвлениям. Понятиее ориентиррованностти, примеенительноо к коллеекторам, связано с геометр рией рас-положен ния частиц ц, трещин н. Частиц цы горной й породы ы могут ррасполагатться хао-тически и упоряядочно (и иметь гееометричеескую орриентацию ю). Упор рядочныее структурры – анизоотропны по поверххностным м параметтрам. 16 Вопросы для самопроверки 1. На чем базируются построения математических и физических моделей? 2. Основные требования адекватности моделей реальным процессам. 3. Основное требование осреднения параметров по пространству, дающее право считать их непрерывным. 4. Почему в нефтяной гидромеханике процесс фильтрации флюидов можно считать изотермическим? 5. Назовите примеры нестационарных и стационарных процессов в нефтегазовой гидродинамике. 6. Модели флюидов по степени сжимаемости. 7. В чем отличие многофазной модели от гомогенной? Приведите примеры. 8. Определение ньютоновской и неньютоновских жидкостей. Примеры. 9. Виды моделей коллекторов с геометрической точки зрения. 10. Идеализированные модели пористых коллекторов. 11. Трещинно-пористые коллектора и их идеализация. 12. Реологические модели горных пород. 13. Какие среды называются изотропными и анизотропными? 17 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ Аналитическое и численное исследование задач гидрогазодинамики связано с применением основных законов сохранения (массы, импульса и энергии) в дифференциальной форме. Ранее уже говорилось, что для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров. Таким образом, для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиться уравнениями баланса массы (неразрывности) и количества движения (импульса). Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны, где из-за значительных перепадов давления значительно влияние дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефтегазоотдачи. Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, определяющих зависимость силы трения, пористости и ряда других параметров от давления и скорости фаз. Кроме того, для получения однозначного решения, необходимо задание граничных и начальных условий. В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамики требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного и плоского течений удаётся получить аналитическое решение. 2.1. Скорость фильтрации При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы. Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида Q=⎯w Fп, (2.1) где ⎯w – действительная средняя скорость жидкости; Fп – площадь пор. Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для сред неупорядочной структуры справедливо допущение о равенстве просветности и пористости. Следовательно, Q=⎯w m F. (2.2) Величина u= ⎯w m (2.3) называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то скорость фильтрации всегда меньше средней. Физический смысл скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором: • расход через любое сечение равен реальному расходу, 18 • поле давлений идентично реальному потоку, • сила гидравлического сопротивления равна силе сопротивления реального потока. Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (2.3). 2.2. Общая система уравнений подземной гидромеханики Каждое из дифференциальных уравнений гидродинамики выражает определенный закон сохранения, в котором в качестве зависимой переменной используется некоторая физическая величина и отражен баланс между различными факторами, влияющими на эту переменную. Зависимыми переменными являются удельные свойства, т.е. свойства, отнесенные к единице массы, примерами являются: массовая концентрация, скорость (т.е. количество движения единицы массы), удельная энергия. Члены дифференциального уравнения такого типа выражают воздействия на единицу объема, а сумма — баланс этих воздействий. Иными словами, скорость изменения соответствующего свойства в единице объема при ∂(ρФ ) ∂t отсутствии внутренних источников этой величины равна чистому Рис. 2.1. Схема чистого перетока перетоку на единицу объема (рис. 2.1) ∂J x ∂J y ∂J z + + = divJ, J = uФ. ∂x ∂y ∂z Таким образом, для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем: • уравнение неразрывности ∂ρm r + divρu = 0 ; ∂t (2.4) • уравнение сохранения количества движения ∂ρu + divρu 2 + m ⋅ gradp* = Fc . ∂t (2.5) В уравнении (2.5): • в виду незначительности изменения количества движения во времени первым членом можно пренебречь; 19 • разница в перетоках количества движения через границы контрольных объёмов также составляют величины второй малости по сравнению со скоростями и, следовательно, вторым членом тоже можно пренебречь; • силу сопротивления Fc по аналогии с трубной гидравликой или задачами обтекания можно представить в виде c ρu 2 μ Fc = ⋅ = u. Re a c Таким образом, уравнение (2.5) вырождается в следующее gradp* = μ u, c2 то есть, получаем уравнение, линейно связывающее скорость фильтрации с градиентом давления. Уравнение такого вида широко используется в подземной гидродинамике и носит название уравнения фильтрации в форме Дарси: k r u = − gradp * , (2.6) μ где р*=р+zρg, z – вертикальная координата. Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным). При установившемся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации и так далее) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Таким образом, для установившейся ∂ρm фильтрации = 0 и уравнение неразрывности принимает вид ∂t r divρ u = 0 . (2.7) В вышеприведенных уравнениях: ⎧ ∂f x ∂f y ∂f z + + ⎪ ∂y ∂z ⎪ ∂x r ⎪⎪ 1 ∂ r 2 f r 1 ∂f ϕ 1 ∂ (f Θ sin Θ ) + + divf = ⎨ 2 ∂r ∂Θ r sin Θ ∂ϕ r sin Θ ⎪r ⎪1 ∂ (rf ) 1 ∂f ϕ ∂f r + + z ⎪ r ∂ϕ ∂z ⎪⎩ r ∂r ⎧ ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r ⎪ ∂x i + ∂y j + ∂z k ⎪ 1 ∂ϕ r ∂ϕ r ⎪1 ∂ϕ r gradϕ = ⎨ eΘ + eϕ + er r Θ r sin Θ r ∂ ∂ϕ ∂ ⎪ ⎪ 1 ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r eϕ + er + ez ⎪ ∂r ∂z ⎩ r sin Θ ∂ϕ ( ) 20 (a) (b) ; (c) (a) (b) ; (c) (a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты; i, j, k – единичные векторы по осям декартовой системы координат; eΘ , eϕ , er, ez – по осям сферической системы; Θ, ϕ, r и z – по осям цилиндрической системы; в сферических координатах – угол Θ определяет изменение меридианного угла, а угол ϕ – широтного. Для несжимаемой жидкости (ρ=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде r (2.8) div u = 0 . 2.3. Закон Дарси (линейный закон фильтрации) 2.3.1. Пористая среда В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации – закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н1-Н2 на единицу длины и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой. Закон Дарси имеет вид H − H2 (2.9) Q=c 1 F, L где с – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости; Í = z + p – гидравлический напор γ при пренебрежении скоростным напором; р/γ – пьезометрическая высота. Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F, ∂.H u = −c (2.10) ∂.s или в векторной форме r (2.11) u = − c ⋅ gradH , где s – расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока. Коэффициент фильтрации «с» характеризует среду и жидкость одновременно. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде u=− или 21 k γ ∂H μ ∂s (2.12) k ∂p* u=− . μ ∂s Из сравнения (2.10) и (2.12) имеем (2.13) kγ . (2.14) μ Границы применимости закона Дарси. Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий: a) скорость фильтрации и градиент давления малы; b) изменение скорости фильтрации и градиента давления малы. При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается изза увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница. Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=waρ/μ с его критическим значением Reкр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w –характерная скорость течения: а – характерный геометрический размер пористой среды; ρ – плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Наиболее часто в нефтегазопромысловой практике применяется зависимость Щелкачёва: 10uρ k Re = , (2.15) m 2 , 3μ где а = 10 k 2,3 ; w=u. m Критическое число Рейнольдса Reкр=1–12. Скорость фильтрации uкр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>uкр соизмеримы с силами трения. При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси c= 22 uμ k = uμL , (2.16) Δ.p kΔp L представляющим собой отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения. Da = Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления τн, называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой из них является модель с предельным градиентом dp μ = u + τн , u > 0, dl k . dp − ≤ τн , u = 0. dl − (2.17) Законы фильтрации при Re > Reкр. От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи с этим, в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение нелинейных законов фильтрации. Данные законы могут быть: одночленными и двухчленными. Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида 1 ⎛ dp ⎞ n u = C⎜ − ⎟ , (2.18) ⎝ dl ⎠ где C, n – постоянные, 1≤ n ≤ 2. Данные зависимости неудобны, так как параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим, наибольшее употребление нашли двучленные зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному закону Краснопольского: dp − = Au + Bu 2 . (2.19) dl Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае 23 μ ρ (2.20) ; B=β , k k где β – структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением 12 ⋅ 10−5 d 2э (2.21) . β= mk A= Соотношения для расчета притока нефти и газа к скважине. Уравнения Дарси (2.13) и двухчленное уравнение(2.19) можно решить при задании постоянными давление на контуре при r=rк (пластовое давление рк) и давление на стенке скважины при r=rс (забойное давление рс). В результате получим соотношения связывающие величину дебита и с разницей между пластовым и забойным давлениями (депрессией): ¾ Уравнение притока в форме Дюпюи для течения по закону Дарси Q= 2π hk (р − р с ) -- для нефтяной скважины; rк к μ ln rc πhk (р к2 − р с2 ) Q ст = -- для газовой скважины; μ zp ст ln rк Здесь⎯z = (zc+zк) / 2;⎯μ = (μc+μк) / 2; zс =z(pс), μс =μ (pс), zк =z(pк), μк =μ (pк). ¾ Уравнения притока для двухчленного, нелинейного закона фильтрации rк Qμ Q2b ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ рк − рс = ln − 2πkh rс (2πh )2 ⎜⎝ rс rк ⎟⎠ -- для нефтяной скважины; р к2 − р с2 = μ p ст rк ρ p β 2 ln Q ст + 2ст 2 ст Q ст π kh rc -- для газовой скважины; 2π h rc k 2.3.2. Трещинная среда Линейный закон фильтрации. В трещинных пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью через трещиноватость u=mтw. (2.22) Средняя скорость выражается через градиент давления по формуле Буссинеска при представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами 24 δ 2т dp w=− . 12μ dl (2.23) Если использовать зависимости (2.23), (1.12), то получаем линейный закон фильтрации в трещинных средах α т Г т δ3т dp u=− ⋅ . (2.24) 12μ dl Проницаемость трещинных сред равна α т Г т δ 3т (2.25) kт = . 12 Для трещинно-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма пористой и трещинной проницаемостей. Трещинно-пористую среду следует считать деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет изменяться с изменением давления, а именно: [ ] (2.26) k т = k 0m 1 − β* (p 0 − p ) . Данная зависимость справедлива при небольших изменениях давления. В общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением. 3 Границы применимости линейного закона фильтрации. Так же, как и в пористых средах, в трещинных породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Reкр=500, а для шероховатых трещин – 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь. Для трещинной среды выражение для числа Рейнольдса получается аналитически и равно Re = 4ρu 3k т , а Reкр=0,4. μ mт mт (2.27) 2.4. Уравнения потенциального движения для пористой среды Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей. Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция 25 kρ dp + C . μ Равенство (2.28) можно переписать в виде kρ dϕ = dp μ или, учитывая закон Дарси, ϕ=∫ (2.28) (2.29) r ρ u = − grad ϕ . (2.30) Здесь ρ⎯u – вектор массовой скорости фильтрации; gradϕ – градиент ϕ, направленный в сторону быстрейшего возрастания ϕ. Уравнение (2.30) – это закон Дарси, записанный для потенциального течения. Подставляя (2.30) в (2.4), получаем ∂ρm = Δϕ , ∂t (2.31) а для установившегося течения (2.32) Δϕ = 0 . Уравнения (2.31) и (2.32) являются основными уравнениями потенциального фильтрационного течения и называются уравнениями Лапласа относительно функции ϕ, а оператор Δϕ оператором Лапласа. В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид ⎧ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ⎪ 2 + 2 + 2 ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪ ∂ 2 ϕ 2 ∂ϕ ∂ 2ϕ 1 + + + ⎪ 2 r ∂r r 2 sin 2 Θ ∂ϕ 2 ⎪ ∂r Δϕ = div gradϕ = ⎨ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ 1 ⎪ + + Θ ctg 2 2 2 ⎪ ∂Θ r ∂Θ r ⎪ 2 2 ⎪1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ 1 ∂ ϕ ∂ ϕ ⎪ r ∂r ⎜⎝ r ∂r ⎟⎠ + r 2 ∂ϕ 2 + ∂z 2 ⎩ (a) , (b) (c) где (a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты. Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства: • сумма частных решений является решением уравнения Лапласа; • произведение частного решения на константу – также решение. Данные свойства приводят к принципу суперпозиции – сложения фильтрационных течений. 26 2.6. Начальные и граничные условия Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для данного уравнения. 2.6.1. Начальные условия ϕ = ϕо(x,y,z) при t = 0, если при t = 0 пласт не возмущён, то ϕ = ϕо = const. 2.6.2. Граничные условия Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние). А) Внешняя граница Г 1)постоянный потенциал ϕ(Г,t)=ϕк=const, т.е. граница является контуром питания; 2) постоянный переток массы через границу G = Fρ⎯u = const, т.е. используя уравнение (2.30), ∂ϕ = const; ∂n ∂ϕ = f1 ( t ); 3) переменный поток массы через границу ∂n ∂ϕ = 0; 4) замкнутая внешняя граница ∂n 5) бесконечный пласт limx→∞ ϕ(Г,t) = ϕк = const. у→∞ В) Внутренняя граница 1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса rc ϕ(rc , t)=ϕc=const; 2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси) ∂ϕ G ∂ϕ G = ρuf c = 2πrc h = const или r = при r=rc; ∂r ∂r 2πh 3) переменный потенциал на забое 27 ϕ(rc ,t)=f2(t) при r=rc; 4) переменный массовый дебит ∂ϕ r = f 3 (t) при r=rc; ∂r 5) неработающая скважина ∂ϕ r = 0 при r=rc. ∂r 2.7. Замыкающие соотношения Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей ρ, m, k, μ от давления. 2.7.1. Зависимость плотности от давления Различают жидкости: а) Несжимаемую – ρ=соnst. (2.33) в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах за счёт расширения объёма нефти и воды при снижении давления ρ = ρ 0 eβ f ( р − р 0 ) , (2.34) где βс = − 1 Vf ⎛ dVf ⎜⎜ ⎝ dp ⎞ 1 dρ ⎟⎟ = – коэффициент объёмного расширения ⎠Т ρ dp жидкости, Vf – объём жидкости; βс= (7–30)10-10 Па-1 – для нефти и (2,7–5)10-10Па-1 – для пластовой воды. с) Сжимаемую – газ. До рпл < 9 МПа и Δ р < 1 МПа можно использовать уравнение состояния совершенного газа р=ρ R T, (2.35) где R – газовая постоянная. Совершенный газ – это газ, молекулы которого не имеют объёма и не взаимодействуют между собой. При изотермическом процессе (Т= const) используют соотношение ρ = ρ ст p р ст . (2.36) Если рпл > 9 МПа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа p=zρ R T или двухпараметрические уравнения состояния, типа Редлиха–Квонга. 28 (2.37) В уравнении (2.53): z – коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении. 2.7.2. Зависимость вязкости от давления При давлениях меньше давления насыщения можно считать, что вязкость не зависит от давления, а при больших значениях давления − a (р − р ) μ = μ 0e μ 0 . (2.38) 2.7.3. Зависимость пористости от давления Пористость связана, в первую очередь, с давлением между частицами пористой среды – эффективным давлением σэф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается, что σэф + рпл = ргорн = const. (2.39) Здесь рпл – пластовое давление; ргорн= ρгорн g H –горное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности ρгорн; Н – глубина залегания пласта. При разработке рпл падает и, согласно (2.55), растёт σэф. Увеличение σэф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что m = m0 − β m (р − р0 ) , (2.40) где βт – коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 – 2)10-10Па-1. 2.7.4. Зависимость проницаемости от давления В связи с уменьшением пористости при увеличении давления, также по аналогичному закону уменьшается проницаемость (2.41) k = k 0 e − a k (р − р 0 ) . При Δ р < 10 МПа показатель в (2.27, 2.33 –2.34) меньше 1 и, следовательно, данные экспоненциальные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получаем (2.42) ϕ = ϕ 0 [1 + a ϕ (р − р 0 )], где ϕ – общее обозначение вышеприведённых параметров. 29 Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. Скорость фильтрации, физический смысл и связь с истинной скоростью. Уравнение неразрывности. Его физический смысл. Уравнение сохранения количества движения. Объяснение закона Дарси из общего уравнения сохранения количества движения. 5. Градиент: вид данной функции в декартовой системе координат и объяснение составляющих данного представления, тип (векторный или скалярный), тип аргумента (векторный или скалярный). 6. Дивергенция: вид данной функции в декартовой системе координат и объяснение составляющих данного представления, тип (векторный или скалярный), тип аргумента (векторный или скалярный). 7. Вид закона Дарси. 8. Коэффициент фильтрации, его отличие от коэффициента проницаемости. Связь данных коэффициентов и их размерности. 9. Нижняя граница применимости закона Дарси для пористой среды. Закон фильтрации для нижней области. 10. Верхняя граница применимости закона Дарси для пористой среды. Законы фильтрации для верхней области. 11. Критерии применимости закона Дарси для пористой среды. 12. Верхняя граница применимости закона Дарси для трещинной среды. Критерии применимости закона Дарси для трещинной среды. 13. Связь трещинной проницаемости с раскрытостью трещин и давлением. 14. Что такое потенциальное течение? 15. Потенциал поля скоростей и выражение для закона Дарси через потенциал. 16. Вывод основного уравнения потенциального фильтрационного течения. 17. Оператор Лапласа: вид данной функции в декартовой системе координат, тип (векторный или скалярный), тип аргумента (векторный или скалярный). 18. Свойства уравнения Лапласа. 19. Система дифференциальных уравнений для трещинно-пористой среды. 20. Связь пластового давления с эффективным. Что такое эффективное давление? 30 3. УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ При данных условиях ∂ / ∂ t=0 и Δϕ=0. (3.1) 3.1. Виды одномерных потоков Одномерным называется поток, в котором параметры являются функцией только одной пространственной координаты, направленной по линии тока. К одномерным потокам относятся: 1) прямолинейно-параллельный: 2) плоскорадиальный; 3) радиально-сферический. 3.1.1. Прямолинейно-параллельный поток Траектории всех частиц жидкости – параллельные прямые, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока равны между собой, поверхности равных потенциалов (эквипотенциРис. 3.1. Схема прямолинейноальные поверхности) и поверхности равпараллельного течения ных скоростей (изотахи) являются плоскими поверхностями, перпендикулярными траекториям. Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока идентичны, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат – ось х. Примеры а) Пласт (рис.3.1) имеет в плане полосообразную форму шириной B и длиной L, толщина пласта h постоянна, граничный контур непроницаем и непроницаемы кровля и подошва пласта. Батарея эксплуатационных скважин расположена параллельно начальному контуру нефтеносности. Приближение тем лучше, чем меньше расстояние между скважинами и если заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой – галереей, то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно–параллельным. б) Поток между круговыми батареями нагнетательных и эксплуатационных скважин в случае больших радиусов батарей (угол схождения векторов скорости бесконечно мал). При этом толщина пласта постоянна, а его кровля и подошва непроницаемы. 31 в) В лаборатторных уссловиях при п течен нии через цилиндррический керн или и прямую трубу поостоянного сечени ия, запол лненную пористой й или тр рещинной й средой. 3.1.2 2. Плоско орадиал льный по оток Траеектории всех в часттиц жидкоости – пр рямолинейные горризонталььные пря-мые, рад диально схходящиесся к центрру скважи ины, а скоорости фи ильтрации во всехх точках любого пооперечногго (перпен ндикуляр рного к ли иниям токка) сечени ия потокаа параллелльны и раавны меж жду собой; изотахи и и эквипоотенциалььные поверхности и перпенди икулярны ы траекторриям и об бразуют цилиндри ц ческие оккружностти с осью,, совпадаю ющей с осью о скваажины. Схемы С ли иний токаа в любой горизон нтальной й плоскостти потокаа будут ид дентичны ыми и дляя характерристики п потока до остаточноо рассмотрреть движ жение жид дкости в одной о гор ризонталььной плосскости. При имеры а) Горизонт Г тальный пласт п по-стоянноой толщин ны h и неогранин ченной протяжен нности, по одошва и кровля пласта непрон ницаемы. Пласт вскрыт в ед динственной гид-родинам мически совеершенной й скважин ной (рис.3.2), то т есть,, вскрыт на всю ттолщину,, и забой й a b полносттью открыт. Для эксплуа-Рис. 3.22. Схема пллоскорадиаального тационн ной скваж жины потток – ра-теченияя:a – гориззонтальноее сечение; диальноо-сходящи ийся, а дл ля нагне-b –верт тикальное сечение тательноой – раадиально-расходяящийся. Плоско орадиаль-ным потооком будет занята вся зона от стенки и скважин ны до кон нтура питтания. б) Гидродин Г намически и несоверршенная скважинаа (скважи ина с пер рфориро-ванным забоем – несоверршенство по харакктеру всккрытия и или не по олностью ю вскрывш шая пластт – несовершенствво по стеепени всккрытия). В Вблизи скважины с ы линии тоока искри ивляютсяя, и потокк можно считать плоскораадиальным м толькоо при некоотором уд далении от о скважин ны. в) Круговая К батарея эксплуата э ационных х скважин н – поток плоскорадиален н на некоттором уд далении, так как жидкость ж ь движетсся как бы ы к укру упнённой й скважине радиусаа, равногоо радиусуу окружно ости батарреи. 32 3.1.3. Радиальн Р но-сфер рический й поток Траеектории всех в часттиц жидкоости – пр рямолинейные горризонталььные пря-м мые, ради иально схходящиесся к центтру полу-с сферическ кого забооя; эквипоотенциал льные по-в верхности и перпенд дикулярн ны траектториям и о образуют сферические пооверхностти. Ско-р рость фил льтрации в любой й точке по отока яв-л ляется функцией ф только расстоян ния этой й т точки от центра забоя. з Следователььно, этотт в фильттрационн вид ного потокка также являетсяя о одномерн ным. Такой й поток может реализоввываться,, Р 3.3. Схеема радиалльноРис. сферическкого теченния к когда сквважина вскрываетт только плоскую ю г горизонта альную, непрони ицаемую кровлю ю пласта (ррис.3.3). Пласт П прри этом должен бы ыть неогрраниченноой толщи ины, а за-бой иметть полусф ферическуую формуу. Прибли ижение к данномуу виду по отока тем м лучше, чем ч глуби ина вскрыттия меньш ше толщи ины пластта. Опи исанные три т вида одномерн о ного потока играют большуую роль при п реше-нии мноогих задаач нефтеггазопромы ысловой практики и. Естестввенно, мо оделируяя реальноее течениее одним из и трёх укказанных х видов, мы м прибеегаем к некоторой й схематиззации реаальных плластов и течений жидкостти. Тем не менее, рассмот-ренные схемы с не только воспроизв в водят, хоття и приб ближенноо простей йшие слу-чаи течеения жидккости в реальном р пласте, но н и помоогают изуучать бол лее слож-ные вид ды потокоов пластоовой жид дкости в тех случ чаях, в ккоторых сложный й фильтрац ционный поток уд добно преедставить себе состтоящим и из простей йших ви-дов потоока. 3 Иссл 3.2. ледование одно омерных х течений 3.2 2.1. Зада ача иссл ледован ния Задаача исслеедования установи ившегося фильтрац ционногоо потока заключа-ется в оп пределени ии дебитаа (расхода), давлен ния, гради иента даввления и скорости и фильтрац ции в лю юбой точкке потокаа, а такжее в устан новлении закона движения д я частиц жидкости ж (или газа) вдоль их траектторий и в определлении среедневзве-шенногоо по объём му поровоого просттранства пластовог п го давлени ия. 3.2 2.2. Обще ее дифф ференци иальное уравнен ние При и условии и вытеснения флюи ида из пл ласта или его нагнеетания в пласт че-рез галеррею или скважинуу условим мся прин нимать за координ нату прои извольной й точки плласта рассстояние r до этой точки: т 33 1) от галереи (для прямолинейно-параллельного потока); 2) от центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы • • • • • • пласта) фильтрации (для плоскорадиального потока); 3) от центра полусферического забоя скважины (для сферическирадиального потока). В случае одномерного потока пласт представляется укрупнённой трубкой тока. Из условия неразрывности потока (уравнение 2.3) следует, что при установившейся одномерной фильтрации массовый расход G через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r=const, в трубке тока будет один и тот же. Таким образом ρ u= G /F( r ), (3.2) где F=F(r) – площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r. Отметим, в данном случае средняя скорость фильтрации на некоторой эквипотенциальной поверхности совпадает со скоростью фильтрации в любой точке этой поверхности. Определим величину площади F для различных видов одномерных потоков: прямолинейно-параллельный поток – F( r ) =Bh; плоскорадиальный поток – F( r ) =2π h r; радиально-сферический поток – F( r ) = 2π r2. Обратившись к уравнению (2.7) следует отметить, что положительный массовый дебит будет в тех случаях, когда r отсчитывается от стока, то есть галерея или скважина – эксплуатационная. Приравнивая правые части (2.7) и (3.2), получаем общее дифференциальное уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока: dϕ G = , (3.3) dr Ar j где А и j имеют следующие значения: прямолинейно-параллельный поток – A = Bh, j = 0; плоскорадиальный поток – A = 2π h, j = 1; радиально-сферический поток – A = 2π, j = 2. Параметр j получил название показателя формы потока, так как характеризует вид одномерного течения. Разделив в (3.3) переменные и проинтегрировав, получим: G r 1− j (3.4) ϕ= ⋅ + C, A 1− j где С – произвольная постоянная, определяемая из граничных условий. Из формулы (3.4) следует, что она верна при значениях j=0;2. При j=1 (плоскорадиальный поток) интегрирование (3.3) даёт 34 G ln r + C . (3.5) 2πh Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, т.е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи: 1. Известны постоянный массовый дебит G и значение потенциала ϕ на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины (G=G0 = const, ϕ = ϕk при r=rk). Подставляя данные значения в (3.4), получаем: G r1− j − r1− j . (3.6) ϕ = ϕk − ⋅ k A 1− j Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита G = G0 = const. 2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на границе пласта с областью питания (на контуре питания). Таким образом, ϕ = ϕ с при r = rc ; ϕ= ϕk при r = rk. Подставляя в равенство (3.4) один раз значения rk и ϕk, а другой раз значения ϕ с и rc, и исключая из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G : (1 − j)(ϕ k − ϕc ) , (3.7) G=A rk1− j − rc1− j где значения А и j приведены выше. Исключая из (3.6) величину G/A, при помощи формулы (3.7) получаем: ϕ = ϕk − a ϕ rk1− j − r1− j , (3.8) ϕ −ϕ где a ϕ = 1−кkj 1−с j . rk − rс По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит неизвестен. В случае плоскорадиального потока (j = 1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства: ϕ − ϕс G = 2πh k , (3.9) rk ln rc G r ln k , ϕ = ϕk − (3.10) 2πh r Таким образом, формулы (3.9), (3.10) действительны только для плоскорадиального потенциального потока любой жидкости. Для других видов одноϕ= ( 35 ) мерного движения имеем формулы (3.7), (3.8). Распределение градиента потенциала описывается зависимостью (3.3). 3.2.3. Потенциальные функции В предыдущем разделе были получены соотношения, определяющие распределения потенциала (3.8, 3.10) и градиента потенциала (3.3). В то же время потенциал величина абстрактная и не имеет физического смысла, а для практических задач исследования необходимо определение физических величин, таких как давление и скорость фильтрации. В связи с этим, определим выражения потенциальной функции (табл. 3.2) ϕ=∫ kρ dp + C η (2.5) для случаев флюидов (табл.3.1) различной физической природы (жидкость или газ), а также различных типов коллекторов (пористые или трещиноватые). № п/п 1 2 3 4 5 Вид коллектора Характеристики пласта k=const Вид флюида Таблица 3.1 Характеристики флюида Недеформируемый (пористый) пласт Трещиноватый (де- смотри 1* формируемый) пласт Несжимаемая жидкость Несжимаемая жидкость ρ=const; μ=const Недеформируемый (пористый) пласт Недеформируемый (пористый) пласт Недеформируемый (пористый) пласт Упругая жидкость Совершенный газ Реальный газ μ =const; [ k=const k=const k=const ] смотри 2* ρ = ρcт р/ рст; μ =const смотри 3* 1* – k = k 0m 1 − β* (р 0 − р ) , где β* ≈ 0,01.10-5 –0,006.10-5 м2/н.; 3 2* – ρ=const; μ =const ρ = ρ 0 e β ж (р − р 0 ) 3* – р=zρ R T –; μ =const; ρ = ρст ; βж = р 1 . рст z(p) 36 dρ ; ρ dp Таблица 3.2 № п/п 1 2 3 4 5 Потенциал ϕ= kρ p+C μ [ ] 4 k 0mρ * ( ) ϕ= 1 − β р − р +C 4 μ β* ϕ= k ρ+С μ βж ϕ= k ρст 2 р +С 2 μ pст ϕ= k ρ ст −1 f ( p) + C , где f ( p ) = ∫ [μ ( p ) z ( p )] pdp ; p ст p2 для средних μ и z – f = +C 2μ z Проанализировав вышеприведенную таблицу, можно получить следующие зависимости потенциала от давления: № Вид коллектора п/п 1 Недеформируемый (пористый) пласт 2 Трещинный (деформируемый) пласт 3 Недеформируемый (пористый) пласт 4 Недеформируемый (пористый) пласт Вид флюида Таблица 3.3 Потенциал Несжимаемая жидкость ϕ≈p Несжимаемая жидкость ϕ ≈ p4 Упругая жидкость ϕ≈ρ Совершенный газ ϕ ≈ р2 3.2.4. Анализ основных видов одномерного течения Для практического исследования фильтрационных потоков необходимо знать распределение не абстрактной функции – потенциала, а конкретных физических параметров – давления, скорости, закона движения и так далее. Следовательно, необходим переход от зависимостей (3.3, 3.7–3.10) к соотношениям, определяющим вышеперечисленные параметры при использовании приведенных в разделе 3.2.3. выражений для потенциальной функции. При этом рас37 смотрим только случай плоскорадиального течения, так как оно имеет наибольший практический интерес. Течение несжимаемой жидкости через недеформируемый (пористый) пласт. Выражение для потенциала (2.5) запишется в виде kρ ϕ= p +C. μ Выпишем ранее выведенные соотношения в случае плоскорадиального течения для: ∆ к к • распределения потенциала ; к к • распределения градиента потенциала • дебита G = 2 πh Δϕ к ; ln r к 1 р= • средневзвешенного давления ~ Vпор dϕ 1 Δϕк = ; dr r ln rк ∫ р dVпор . В вышеприведенных соотношениях: Δϕ к = ϕ к − ϕ с ; rк = rк rс . Для определения закона движения частиц жидкости проинтегрируем уравнение движения dr Q по времени от 0 до t и по расстоянию от r0 до r, где r0 – на= dt Fm чальное положение частицы флюида. Переходя в вышеприведенных соотношениях от потенциала к давлению, получим искомые выражения, позволяющие провести исследование в физических переменных (табл. 3.3). Закон фильтрации Дарси r ρ u = − grad ϕ Распределение давления р = р к − a1 ⋅ ln где a1 = Градиент давления d р а1 = dr r Уравнение притока Q= 38 Таблица 3.3 rк , r Δ рк r ; rк = к ln rк rc 2 π hk a1 μ Закон фильтрации Дарси r ρ u = − grad ϕ Уравнение движения t= Окончание табл. 3.3 ( π mh r02 − r 2 Q ) ~ р = р к − а1 / 2 , т.к. Средневзвешенное давление ( ) Vпор = π rк2 − rc2 ⋅ h ⋅ m; dVпор = 2π h ⋅ m ⋅ r ⋅ dr Примечание. При выводе соотношения для средневзвешенного давления интеграл не берется в конечном виде. Поэтому подынтегральное выражение приводится к виду 1 − х и раскладывается в ряд Тейлора. Беря первые два члена ряда, а именно, 1 –х/2, получаем выражение, которое можно интегрировать по частям. После пренебрежения членами с r2c получаем вышеприведенное соотношение. Уравнение притока в случае плоскорадиального течения получило название – соотношение Дюпюи. Анализ Δрк Рис. 3.4. Индикаторная диаграмма в случае плоскорадиального течения несжимаемой жидкости в недеформируемом пласте по закону Дарси 1. Дебит Q не зависит от r, а только от депрессии Δрк. График зависимости Q от Δр (рис.3.4) называется индикаторной диаграммой, а сама зависимость – индикаторной. Отношение дебита к депрессии называется коэффициентом продуктивности скважины ⎡ м3 Q ⎢ c K = Δ pк ⎢ Па ⎢⎣ ⎤ ⎥. ⎥ ⎥⎦ (3.11) dp и, следоваdr тельно, скорость u обратно пропорциональны расстоянию (рис.3.5) и образуют гиперболу с резким возрастанием значений при приближении к забою. 2. Градиент давления 39 Рис. 3.5. Зависиимость граадиента давления и скоррости от расстояр ния Ри ис. 3.6. Расппределениее давления по п радиуусу 3. Графиком м зависи имости р=р(r) р является я логариф фмическаяя криваяя (рис.3.6), вращени ием которрой вокрууг оси сквважины образуется о я поверхн ность, на-зываемаяя воронкоой депресссии. Отссюда, осн новное вллияние наа дебит оказывает о т состояни ие призаб бойной зооны, что и обеспечивает эф ффективн ность меттодов ин-тенсификкации при итока. 4. Изобары И – конценттрическиее, цилинд дрическиее поверхн ности, орттогональ-ные траеекториям. 5. Дебит Д слаабо зависсит от величины радиуса р к контура rк для до остаточноо большихх значений й rк /rc, т.кк. rк /rc вхходят в фо ормулу под знаком м логариф фма. Теч чение сов вершенноого газа через ч нед деформир руемый п пласт. Вы ыражениее для потенциала (22.5) запиш шется в ви иде ϕ= k ρст k ρст 2 р +С= Р +С. 2 μ p ст 2 μ p ст Вып пишем соотношени ия для: Δϕк rк ln ; ln rк r d ϕ 1 Δϕ к = ¾ распределения гррадиента потенциаала ; dr r ln rк Δϕк ¾ дебита G = 2πh ; ln n rк 1 р= р dV Vпор . ¾ средневззвешенногго давлен ния ~ Vпор ∫ ¾ распредееления поотенциалаа ϕ = ϕк − В вышеп приведенн ных соотн ношенияхх: Δϕк = ϕк − ϕс ; rк = 40 rк rс . Для опрееделения закона дввижения частиц жидкости ж п проинтегр рируем уравнениее dr р ст Q ст движени ия по времени в о 0 до t и по рассстоянию оот r0 до r, от r где r0 – = dt рFm р начальноое положеение часттицы флю юида. Перреходя в вышепри в иведенныхх соотнош шениях от о потенц циала к давлению,, получим м искомыее выражеения, позвволяющиее провестти исслед дование в физиче-ских перременных (табл. 3.33). r ρ u = − graad ϕ Закоон фильтрации P = Pк − a1 ⋅ ln Расп пределениее давления я Р =р2 где a1 = rк , r ΔPк r ; rк = к lnn rк rc ddр а1 = dr 2pr π hk h Q cт = a1 μр ст с Град диент давления Урав внение притока ( π mhh r02 − r 2 t= Q ст Урав внение дви ижения Таблица Т 3.44 ) Анали из Расп пределен ние давлен ния. Если и сравнитть распределения д давления в случаее потока газа г с сооттветствую ющим расспределен нием для однород дной несж жимаемой й жидкости и (рис. 3..7), то уви идим, чтоо для газаа давлени ие вблизи стенок скважины с ы изменяеттся болеее резко, чем ч для несжимааемой жи идкости. П Пьезометтрическаяя кривая для д газа имеет, слеедовательно, болеее пологий й характерр на большем сво-ём протяяжении, чем ч криваая несжим маемой жидкости; ж однако у неё болеее резкий й изгиб у стенки с сквважины, чем у кри ивой несж жимаемой й жидкостти. Рис. 3.7. Распрееделение даавления прии плоскора адиальном течении в недеформируемом пласте: 1 – газ; 2 – несжимаем н мая жидкость 41 Ураавнение притока п ( (уравнени ие индик каторной й линии). Индикаторная за-висимостть для гааза описы ывает парааболическкую зави исимость дебита Qст от де-прессии Δрk (рисс.3.8) и линейную л ю зависим мость деб бита от раазницы квадратов к в пластовоого и забоойного даавлений в отличиее от инди икаторной й зависим мости дляя несжимааемой жид дкости, где г устанаавливаетсся линейн ная связьь дебита с депрес-сией. Урравнение притока устанавли у ивает лин нейную сввязь межд ду дебито ом и раз-ностью квадратов к в контурн ного и заб бойного давлений, д поэтомуу для просстоты ис-следован ний индиккаторная диаграмм ма при фи ильтраци ии идеальн ного газаа по зако-2 2 ну Дарси и строитсся в кооррдинатах Qст ∼(рk -р - с ). В эттом случчае имеем м прямую ю линию (ррис.3.9), проходящ п щую череез начало координаат с угловым коэф ффициен-том πhk 1 . (3.12)) α= μ р ст ln l rк Ри ис. 3.9. Индикаторнаяя зависимо ость при фиильтрациии газа по закон ну Дарси в переменнных Q – Δp2 Рисс. 3.8. Индикаторнаяя зависим мость при фильтрацции газа по закону Дарси Д Запи ишем урравнение притокаа в коор рдинатах Qст ∼ (рк-рс). Так какк 2 2 2 2 Qcт=α(рк -рс ), а разность р к квадратов в рк -рс =2р = кΔрс – (Δрс)2, где Δрс= рк – рс , то 2 Q ст = α 2р к Δ р к − (Δ р к ) . Таки им образоом, для случая с фи ильтрации и совершеенного гааза по заккону Дар-си, имеем парабоолу с осью ю, паралллельной оси о дебитов (рис.3.8). Ветвьь парабо-лы, изобрраженнаяя пунктирром, физи ического смысла с нее имеет. Расп пределен ние градиеента даввления. Градиент давления д вблизи забоя рез-ко возрастает какк за счёт уменьшен у ния r, такк и за счёёт падени ия давлени ия р, вы-званногоо сжимаем мостью гааза. Изм менение скорости с и фильтрации пол лучим из закона з Даарси 2 1 1 kΔ p к u= . (3.13)) r p 2μ ln rк [ ] 42 Из (3.13) видно, что скорость фильтрации слабо меняется вдали от скважины и резко возрастает в призабойной зоне. Реальный газ и недеформируемый пласт. Следует использовать при давлении рпл>10МПа и депрессии на пласт рс/рк<0.9. Как и в предыдущем случае, полагаем k=const. Уравнение состояния реального газа имеет вид р = zρ R T. (2.37) или для изотермического течения газа р 1 , (3.14) ρ = ρст р ст z ( p) Потенциальная функция имеет вид k ρст р 2 ϕ= + C. (3.15) p ст 2μ z где ⎯z = (zc+zк) / 2; ⎯μ = (μc+μк) / 2; zс =z(pс), μс =μ (pс), zк =z(pк), μк =μ (pк). Подставив в (3.9) выражение потенциала (3.15) и перейдя от массового дебита к объёмному, приведённому к стандартным условиям, получим уравнение притока: πhk Δр к2 Q ст = . (3.16) μ zp ст ln rк Полученное выражение для дебита реального газа отличается от выражения для совершенного газа среднепластовыми множителями ⎯η и ⎯z. Если сравнить расчётные значения, то можно заметить, что дебиты реального газа ниже дебитов совершенного при тех же условиях. Для тяжелых углеводородов дебит природного газа может составлять всего лишь 72 % дебита совершенного. Течение несжимаемой жидкости в трещиноватом (деформируемом) пласте. Для данных условий потенциал 4 k 0ρ (3.17) ϕ = т * 1 − β* (р к − р ) + C 4μβ и основные зависимости имеют вид • распределение давления 1− 4 Λ р = рк − , β (3.18) 4 а2 rк * где Λ = 1 − ln , а 2 = 1 − 1 − β Δр к lnrк r [ [ ] ( )] 43 • градиент давления dр а2 1 = ⋅ ; dr 4r lnr 1 − β* (p − р ) 3 к к • объёмный дебит (3.19) π hk 0т Q=± a2 , 2μβ* ln rк (3.20) [ ] где знаки перед выражением в правой части зависят от того, является ли скважина эксплуатационной или нагнетательной; • скорость фильтрации k 1 (3.21) u=Q = a . 2π hr 4μβ* 2 r При малых депрессиях на пласт из-за малости β* можно считать, что [1 − β (р [1 − β (р * * ] к − р ) ≈ 1 − 4β* (рк − р ) ; к − рс ) ≈ 1 − 4β* (рк − рс ) , 4 ] 4 и тогда зависимость для давления (3.18) переходит в вид, аналогичный распределению давления в недеформируемом пласте. При β*=0, т.е. для недеформируемого трещиноватого пласта, после раскрытия неопределённости в формуле (3.20) получаем формулу Дюпюи. Анализ 1. Воронка депрессии для деформируемого пласта более крутая, чем для недеформируемого (пористого) пласта (рис. 3.10). Указанный характер графиков подтверждает, что в деформируемом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные Рис. 3.10. Кривые распределения фильтрационные сопротивления, вызыдавления: 1– недеформируемый вающие резкое понижение давления на пласт; 2 – трещинный пласт сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим β*. 2. Из формулы для объёмного дебита (3.20) следует, что индикаторная кривая – парабола четвёртого порядка с координатами вершины: π hk 0т 1 Q= ; Δ р = . с β 2μβ* ln rк 44 (3.21) Парабола проходит через начало координат, симметрична относительно оси, параллельной оси дебитов; вторая ветвь смысла не имеет (рис. 3.11). Однако если учесть реальные пластовые условия (полного смыкания трещин не происходит, так как не учитываются факторы, Рис. 3.11. Вид индикаторной кривой связанные с изменением характеристик при фильтрации несжимаемой жидтечения из-за изменения раскрытия трекости в трещиноватом пласте щин в направлении потока), то можно говорить только о приближённом выполнении экстремальных условий (3.21). Потенциальное движение упругой жидкости через недеформируемый пласт. При данном виде течения k (3.23) ϕ= ρ + С. μ βf Подобно тому, как в случае однородной несжимаемой жидкости существует линейная зависимость между потенциалом ϕ и давлением р, так и в установившимся потоке малосжимаемой жидкости существует линейная зависимость между ϕ и плотностью ρ. Это означает, что для упругой жидкости зависимость между ρ и координатой r выражается точно теми же формулами, какими выражается зависимость между р и r при однородной несжимаемой жидкости. Массовый дебит для упругой жидкости определяется из (3.5) при подстановке ϕ из (3.23) 2π h Δ ρ к G= . (3.25) μ β f ln rк Приближенная формула массового дебита получается при использовании линейного уравнения состояния 2π hkρст Δ р к G= . (3.26) μ ln rк Пренебрегать сжимаемостью жидкости в установившемся потоке можно только при условии достаточно малой величины коэффициента βf и не очень большого перепада давления Δ рс = рк – рс. В этом случае можно, как для несжимаемой жидкости, считать постоянным вдоль потока не только массовый дебит, но и объёмный. 45 3.2.5. Анализ одномерных потоков при нелинейных законах фильтрации • • В области нарушения верхней границы закона Дарси необходимо использовать степенной или двухчленный законы фильтрации. В целях общности рассмотрим фильтрацию при двухчленном законе для случая плоскорадиального течения dp μ = u + bu 2 , (3.27) dr k где b = β ρ . k Несжимаемая жидкость в недеформируемом пласте. Выразим скорость фильтрации через дебит Q: u=Q / (2π rh) и перепишем выражение (3.27) в виде dp μ Q Q2 . (3.28) = +b dr k 2 πrh (2πrh )2 Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, в первом случае, по радиусу от r до Rк и по давлению от р до рк, а, во втором случае, по радиусу от rс до Rк и по давлению от рс до рк, получаем: распределение давления в пласте R Qμ Q2b ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟; р = рк − ln к − (3.29) 2πkh r (2πh )2 ⎜⎝ r R к ⎟⎠ дебит скважины R Q2b ⎛ 1 1 ⎞ Qμ ⎜ ⎟. − ln к − (3.30) rс (2πh )2 ⎜⎝ rс R к ⎟⎠ 2πkh Дебит находится как положительный корень квадратного уравнения (3.29). Из данного уравнения видно, что индикаторная линия – парабола. Кривая распределения давления (3.29) – гипербола и воронка депрессии – гипербола вращения. Крутизна воронки депрессии у стенки скважины будет больше, чем у чисто логарифмической кривой при течении по закону Дарси. рк − рс = Идеальный газ в недеформируемом пласте. Найдём распределение давления в круговом пласте и выведем формулу притока газа к скважине. С этой целью выразим скорость через приведённый объёмный расход ρст Q ст Q p G (3.30) = ст ст . = u= ρ f ρ p 2πrh 2πrhp ст p ст Подставим выражение (3.30) в (3.27) и, заменив плотность по уравнению состояния (3.14), получим: 46 μ p ст ρ p β dp 2 . (3.31) = Q ст + 2 ст2 ст 2 Q ст dr 2π khpr 4π h k pr Разделив переменные и проинтегрировав в пределах р – рс и r – rc получим: r μ p ст ρ p β 2 ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ . р 2 = р с2 + Q ст ln + ст2 2ст Q ст (3.32) rc 2π h k π kh ⎝ rc r ⎠ Распределение давления по (3.32) отличается от распределения давления по закону Дарси наличием последнего члена, что диктует более резкое изменение давления в призабойной зоне. Интегрируя уравнение(3.31) в пределах рк – рс и rк – rc, получаем выражение для притока при пренебрежении 1/rк по сравнению с 1/rc: ρ p β μ p ст r 2 , (3.33) Q ст ln к + 2ст 2 ст Q ст р к2 − р с2 = π kh rc 2π h rc k или в общепринятом виде 2 . (3.34) р к2 − р с2 = АQ ст + ВQ ст Уравнение (3.34) – основное уравнение, используемое при разработке газовых и газоконденсатных месторождений, так как определяет приток газа к скважине. Коэффициенты А и В определяют по данным исследования газовых скважин при установившихся режимах. Однородная несжимаемая жидкость в деформируемом (трещиноватом) пласте. Для трещиноватой среды двухчленный закон записывается в виде Δр = aμ u + bρ u 2 , (1.46) Δl 1,69lбл где a = 1 ; b = ; lбл – средний линейный размер блока. kт 120(1 − m т )k т Умножим все члены (1.46) на плотность ρ и вынесем за скобки вязкость μ. Тогда применительно к плоскорадиальному потоку получим: 1,69 l бл dϕ т G G2 , (3.35) = + dr 2 π hr 120μ (1 − m т ) (2 π hr )2 где ϕт = ∫ k тρ dp + C . μ После разделения переменных и интегрирования (3.35) в пределах rc – rк ; ϕс – ϕк получим ϕ тк − ϕ тс = 1,69 l бл r G G2 ln к + 2π h rc 120 μ (1 − m т ) (2π h )2 ⎛1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ , ⎝ rc rк ⎠ (3.36) Если в (3.36) подставим выражение для трещинной проницаемости и выразим массовый дебит через объёмный, то будем иметь окончательное выражение 47 [1 − (1 − β Δ р ) ] = 2πμβhkQ ln rr 4 к к + 1,69β l бл ρ 120μ k 0т Q 2 (1 − m т ) (π h ) 2 m (3.37) + c ⎛1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ rc rк ⎠ Как видно из (3.37), индикаторная кривая в этом случае определяется в результате сложения двух парабол – параболы четвёртого порядка, симметричной относительно оси, параллельной оси дебитов, и параболы второго порядка (относительно дебита Q) симметричной относительно оси, параллельной оси депрессий (Δрс). Идеальный газ в деформируемом (трещиноватом) пласте. Из (3.37) при подстановке выражений для плотности, проницаемости и приведённого к стандартным условиям объёмного дебита можно получить следующее выражение: [ ] ⎧⎛ p к ⎫ Δ рк 1 ⎞ ⎟ 1 − (1 − β Δ р к )4 + (1 − β Δ р к )4 ⎬ = − ⎨⎜⎜ 2 ⎟ 5β ⎩⎝ 4β 20β ⎠ ⎭ 2 1,69 l бл ρ Q ⎛ 1 1 ⎞ μ Q rк ⎜ − ⎟. ln + = 2π h rc 120(1 − m т ) (π h )2 ⎜⎝ rc rк ⎟⎠ k 0т p ст дебит, см3/с 60 (3.38) y = 0,0972x 2 40 R = 0,9124 y = 0,132x - 12,432 20 2 R = 0,9888 100 200 300 400 500 депрессия, ат ΔР/Q ,ат*сек/cм3 а 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 y = 0,0001x + 0,04 R2 = 0,9998 100 200 300 400 500 Q, cм3/сек б Рис. 3.12. Аппроксимация индикаторной диаграммы различными уравнениями притока: Q=0,0972∆p – линейный закон фильтрации, без скинэффекта; Q=0,132∆p -12,432 – линейный закон фильтрации, со скин-эффектом; ∆p=0,0001Q2+0,04 Q – нелинейный закон фильтрации 48 Зависимость величины проницаемости от метода обработки индикаторной диаграммы. В практике гидродинамических исследований скважин большое значение имеет этап идентификации индикаторных кривых, т.е. определение типов флюида и коллектора, а также закона притока флюида в скважину. Для примера рассмотрим, как изменение аппроксимации одних и тех же экспериментальных данных разными уравнениями притока приводит к значительному различию в значениях определяемой проницаемости (рис. 3.12). Из приведенных рисунков видно, что все аппроксимации находятся в области точности, удовлетворяющей точности, принятой при обработке гидродинамических исследований. В то же время, в первом случае мы имеем расчетную проницаемость k= 0,25 дарси, во втором – 0,19 дарси, а в третьем – 0,61 дарси. Таким образом, получаем, что по одним и тем же промысловым данным мы, если не сделать предварительно анализ вида течения, получим проницаемости пласта отличающие в несколько раз. Следовательно, и в прогнозируемой продуктивности пласта мы ошибемся в несколько раз. Если же, в результате мероприятий по интенсификации притока изменится тип коллектора, то, считая его неизменным, можно получить результаты ещё более отличающие. Отсюда следует, что применение даже совершенных расчетных методик может привести к неправильным результатам без предварительной оценки вида течения и коллектора, так как любая программа подбирает необходимое уравнение притока по заданной точности, а часто отличия могут крыться в области, принятой за достаточно точную. 3.3. Фильтрация в неоднородных средах В продуктивных пластах в различных точках проницаемость неодинакова. При мелкомасштабном хаотичном изменении фильтрационных характеристик по пласту пласт считается в среднем однородно–проницаемым. Пласт называется макронеоднородным, если его фильтрационные характеристики (проницаемость, пористость) значительно, скачкообразно отличаются в разных областях. Различают следующие виды макронеоднородности: а) Слоистая неоднородность (многослойный пласт), т.е. неоднородность по толщине пласта. Предполагается, что пропластки разделены непроницаемыми границами – гидравлически изолированы либо учитываются перетоки между слоями различной проницаемости – гидравлически сообщающиеся; поток в каждом пропластке – прямолинейно-параллельный или плоскорадиальный; в пределах каждого пропластка фильтрационные параметры постоянны, а на границе соседних они претерпевают скачок. Если течение потенциально, то полный дебит пласта определяется как сумма дебитов всех пропластков. При практических расчетах указанный много49 слойный пласт можно заменить квазиоднородным с эффективной проницаемостью kh (3.39) k cp = ∑ i i , i h где ki , hi – проницаемость и эффективная толщина i- го пропластка, h– эффективная толщина всего пласта. В случае слоистой неоднородности распределения давления по пропласткам идентично, а дебиты отличаются – наименьший дебит имеет пропласток минимальной проницаемости. б) Зональная неоднородность – пласт по площади состоит из нескольких зон различных фильтрационных параметров, на границах которых данные параметры меняются скачкообразно. Согласно уравнению неразрывности, массовый дебит постоянен и равен: • при прямолинейно-параллельном потоке ϕ − ϕс ; G = Вh к ∑ li i • (3.40) ki при плоскорадиальном потоке ϕк − ϕс , G = 2π h (3.41) 1 r ∑ k ln r i i i i −1 где li , ri – протяженность i – й зоны или её внешний радиус (r0=rc); ϕ = ∫ μ −1 ρ dp , i=1,...,n; n – число зон. В тоже время распределение давления представляет ломаную кривую с углом наклона обратно-пропорциональным проницаемости. При замене зонально-неоднородного пласта – квазиоднородным пластом следует использовать эффективные средние проницаемости: • при прямолинейно–параллельном потоке L ; (3.42) k = cp ∑ li k i i • при плоскорадиальном потоке k cp = ln Rк (3.43) rc , r 1 ∑ k ln r i i i i −1 где L – расстояние от галереи до контура. 50 В практике важен случай притока к скважине при наличии вокруг забоя кольцевой зоны с проницаемостью, отличной от проницаемости пласта (торпедирование или кислотная обработка, установка гравийного фильтра, глинизация или парафинизация призабойной зоны и т.д.). При данной задаче надо установить влияние различия проницаемостей кольцевой призабойной зоны и остальной части пласта на продуктивность скважины. С этой целью сравним дебит скважины в неоднородном пласте с двумя областями (n = 2 в формуле 3.41) проницаемости с дебитом скважины в однородном пласте (n = 1). Расчеты показывают: 1) Недопустимость постановки прогноза на будущий дебит исходя только из данных о проницаемости призабойной зоны пласта, а следует использовать квазиоднородное приближение (формула 3.43). 2) Ухудшение проницаемости призабойной зоны сильнее влияет на дебит, чем увеличение проницаемости в этой зоне. Если произойдёт заметное ухудшение проницаемости даже в небольшой области пласта, примыкающей к скважине, то дебит скважины резко снизится. 3) В случае фильтрации по закону Дарси увеличивать проницаемость призабойной зоны более чем в 20 раз не имеет смысла, так как дальнейшее увеличение проницаемости практически не ведёт к росту дебита (при условии сохранения типа коллектора, например, в случае проведения кислотной обработки известняков образуются глубокие каналы растворения). 4) Нарушение в пластовых условиях закона Дарси усиливает положительное влияние увеличенной проницаемости призабойной зоны на производительность скважины. 3.4. Приток к несовершенным скважинам 3.4.1. Виды и параметры несовершенств скважин Гидродинамическое несовершенство скважины проявляется в том, что в призабойной зоне пласта с конечной мощностью отсутствует радиальность потока по причине, обусловленной конструкцией забоя или фильтра. Различают два вида несовершенства скважин – несовершенство по степени вскрытия и несовершенство по характеру вскрытия. Несовершенная скважина по степени вскрытия – это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а частично (рис.3.12,а). Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта (рис. 3.12,b). 51 а b Риис. 3.12. Сххема притоока к несовеершенной скважине с а – по степенни вскрытиия; b – по характеру х вскрытия На практике п чаще всеего встреч чаются сккважины несоверш н шенные каак по сте-пени, такк и по харрактеру всскрытия пласта. п Дебит G нессовершеннной скваж жины об бычно менньше дебиита Gс совершен-ной, дейсствующей в тех же ж условииях, что и данная несоверш шенная сккважина. В некотоорых случ чаях (п при торпеедной или и кумуляятивной п перфораци ии, когдаа глубина прострелла достатточно веллика) мож жет наблю юдаться ообратная картина. Отношен ние данны ых дебитоов δ харакктеризуетт степень несоверш шенства скважины с ы и называается парраметром м несоверш шенства G . (3.44)) δ= Gс Парраметр нессовершен нства зави исит от: • оттносителььного вскррытия пласта h = h вс , h (3.45)) где hвс – глубина погружен п ния скваж жины в пласт, h – тоолщина п пласта; • плоотности перфорац п ции (числа отверсттий, прихходящихсяя на 1м фильтра), ф , размеровв и формы ы отверсттий; • гллубины прострела п . При и расчете несоверш шенных скважин с нередко н и использую ют поняти ие приве-денного радиуса несоверш н шенной скважины (3.46)) rпр = rc e − C , где rC – ради иус соверш шенной скважины с ы, С – коэф ффициентт несовер ршенства. Прииведенныйй радиус – это радиус р таакой совершенной скважин ны, дебитт которой равняетсяя дебиту данной несоверше н енной сквважины п при тех жее услови-ях эксплууатации. Таки им образоом, вначаале находятся привведённые радиусы ы rпр и дал льнейший й расчет несовершеенных сквважин вед дется как для совеершенныхх скважин н радиусаа rпр. Таки им образом, дебитт несоверршенной скважины ы можно определи ить, если и известен н параметрр несоверршенства δ или приведённ п ный ради иус rпр, а также т из-вестна сооответстввующая формула ф д дебита со овершенн ной скваж жины. Вли ияние не-совершен нства сквважины на приток при сущеествовани ии законаа фильтраации Дар-си можн но учестьь величин ной коэфф фициентаа С, осноовываясь на электр рической й 52 аналогии. Согласно данной аналогии различие в дебитах совершенной Gc и несовершенной G скважин объясняется наличием добавочного фильтрационного сопротивления несовершенной скважины величиной С/2πh, т.е. дебит несовершенной скважины можно представить в виде: G= ϕк − ϕс . 1 rк (ln + С) 2πh rс (3.47) Учитывая (3.44), получаем зависимость между коэффициентом δ и величиной С: rк rс . δ= = r r ln к + С ln к rс rпр ln rк rс ln (3.48) 3.4.2. Исследования притока жидкости к несовершенной скважине Течение по закону Дарси. Несовершенная скважина по степени вскрытия изучалась В.И. Щуровым путём электролитического моделирования, который построил опытные диаграммы зависимости С от параметра a=h/D (h – мощность пласта, D – диаметр скважины) и относительного вскрытия пласта ⎯h=hвс/h. Таким же методом исследовалась несовершенная по характеру вскрытия скважина Щуровым и независимо от него И.М. Доуэллом и Маскетом, а также Р.А. Ховардом и М.С. Ватсоном. В результате получены зависимости коэффициента несовершенства от плотности перфорации (числа отверстий на 1 метр) и глубины прострела, которые показали значительную зависимость дебита от плотности перфорации только до значений 16–20 отверстий на 1 метр. 3.5. Влияние радиуса скважины на её производительность Определим дебит в двух крайних случаях: по закону Дарси – первое слагаемое в формуле (3.33) и по закону Краснопольского развитого нелинейного течения – второе слагаемое. То же самое сделаем и в случае радиально– сферического течения. Если примем радиус одной скважины rс, а другой – rc/ = x.rc и, соответственно, дебиты G и G/, а их отношение обозначим через у = G/G/, то получим следующие формулы для вычисления предельных значений у Из таблицы видно, что при сохранении закона Дарси в плоскорадиальном потоке влияние радиуса скважины на дебит невелико (необходимо увеличение радиуса в 10 раз, чтобы дебит вырос на 20 %). Если же фильтрация нелинейна, то влияние rc на G усиливается. Для радиально-сферического потока дебит скважины зависит от радиуса в большей степени, особенно при нелинейном законе фильтрации. При торпедировании забоя, гидравлическом разрыве пласта и 53 других способах воздействия на призабойную зону, образуются и расширяются трещины, что способствует нарушению закона Дарси и, следовательно, усилению влияния радиуса скважины на приток к ней жидкости. Закон фильтрации Дарси Краснопольского плоскорадиальный R ln к rc y= R ln к − ln x rc у= Тип потока радиально-сферический у=х х у = х3 Вопросы для самопроверки 1. Какие потоки называются одномерными? 2. Прямолинейно-параллельный поток. Примеры. 3. Плоскорадиальный поток. Примеры. 4. Радиально-сферический поток. Примеры. 5. Что входит в исследование фильтрационного течения. 6. Общее дифференциальное уравнение потенциального одномерного потока. 7. Показатель формы потока. 8. Получение выражения для потенциала и дебита плоскорадиального течения. 9. Получение выражения для потенциала и дебита прямолинейнопараллельного и радиально-сферического течений. 10. Потенциал несжимаемой жидкости в недеформируемом (пористом) пласте. 11. Потенциал несжимаемой жидкости в деформируемом (трещинном) пласте. 12. Потенциал упругой жидкости в недеформируемом пласте. 13. Потенциал сжимаемой жидкости (газа) в недеформируемом (пористом) пласте. 14. Уравнение Дюпюи. 15. Коэффициент продуктивности. Размерность. 16. Депрессия и воронка депрессии. 17. Методика получения закона движения частиц жидкости. 18. Методика вывода средневзвешенного давления. 19. Индикаторная зависимость и индикаторная диаграмма. 20. Нарисовать и объяснить графики давления, скорости фильтрации для несжимаемой жидкости в пористом и трещинном пластах. 54 21. Нарисовать и объяснить графики давления, скорости фильтрации для несжимаемой жидкости и газа в пористом пласте. 22. Нарисовать и объяснить индикаторные диаграммы для несжимаемой жидкости в пористом и трещинном пластах. В каких координатах надо строить диаграммы, чтобы получить прямолинейные зависимости. 23. Нарисовать и объяснить индикаторные диаграммы для несжимаемой жидкости и газа в пористом пласте. В каких координатах надо строить диаграммы, чтобы получить прямолинейные зависимости. 24. Соотношение дебитов реального и совершенного газов при одинаковых условиях. 25. Принципиальное отличие зависимости для дебита упругой жидкости от несжимаемой. 26. Отличие уравнений притока и дебита для несжимаемой жидкости, текущей по закону Дарси и по двухчленному закону. 27. Зависимость величины проницаемости от метода обработки индикаторной диаграммы. 28. Слоистая неоднородность. Зональная неоднородность. 29. Характер изменения дебита и давления в случаях слоистой и зональной неоднородностях. 30. Виды несовершенств скважины. Совершенная скважина. 31. Приведенный радиус. Относительное вскрытие. 55 4. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА 4.1. Упругая жидкость 4.1.1. Понятия об упругом режиме пласта При разработке нефтегазовых месторождений часто возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском или остановкой скважин, с изменением темпов отбора флюидов из скважин. Характер этих процессов проявляется в перераспределении пластового давления, в изменениях во времени скоростей фильтрации, дебитов скважин и т.д. Особенности данных процессов зависят от упругих свойств пластов и жидкостей, т.е. основная форма пластовой энергии данных упругих режимов – энергия упругой деформации жидкостей и материала пласта. При упругом режиме движение возникает в призабойной зоне в начале эксплуатации скважины за счет использования потенциальной энергии упругой деформации пласта и жидкости и только через некоторое время оно распространяется на более отдалённые области. При снижении пластового давления объём сжатой жидкости увеличивается, а объём порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта. Всё это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину. В ряде случаев приток жидкости поддерживается не только за счет упругих свойств пласта и жидкости, но и за счет напора воды, поступающей извне. Такой режим называется упруговодонапорным. Если залежи нефти ограничены либо зонами выклинивания, либо экранами, то режим называется замкнутоупругим. Если вытеснение жидкости из пласта происходит не под действием преобладающего влияния упругости пласта и жидкости, то упруговодонапорный режим переходит в жестководонапорный режим. При этом режиме влияние упругости пласта и жидкости на фильтрационный поток хотя и не прекращается, но заметно не проявляется. Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта k, и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости μ и коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта. 4.1.2. Основные параметры теории упругого режима Важнейшими параметрами теории упругого режима являются коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта. Коэффициент объёмной упругости жидкости βf характеризует податливость жидкости изменению её объёма и показывает, на какую часть первоначального объёма изменяется объём жидкости при изменении давления на единицу 56 βf = − 1 dVf 1 dρ , = Vf dp ρ dp (4.1) где Vf – объём жидкости; знак минус указывает на то, что объём Vf увеличивается с уменьшением давления; βf нефти находится в пределах (7–30)1010 2 м /н; βf воды находится в пределах (2,7–5)10-10 м2/н. Коэффициент объёмной упругости пласта определяется по формуле βc = 1 dVп dm , = Vп dp dp (4.2) где Vп – объём пласта; βС для слабо и сильно сцементированных горных пород находится в пределах (0,3–2)10-10 м2/н. Большое значение в практике добычи нефти и подсчета её запасов имеет величина упругого запаса выделенной области пласта, соответствующая заданному падению давления. По Щелкачеву упругий запас – это количество жидкости, высвобождающейся в процессе отбора из некоторой области пласта при снижении пластового давления до заданной величины, если высвобождение происходит за счет объёмного расширения жидкости и уменьшения порового пространства пласта. Обозначая упругий запас через Δτз , получаем по определению Δτз = βfV0fΔр + βс Vп Δр, (4.3) где V0f – объём жидкости, насыщающей элемент объёма пласта Vп при начальном давлении р0; Δр – изменение давления. Так как V0f = m0 Vп, то Δτз=β* Vп Δр. (4.4) * Здесь β = m0βж +βс – коэффициент упругоёмкости пласта, показывающий долю объема жидкости от выделенного элемента объема пласта, высвобождающейся из элемента пласта при снижении давления на единицу. Вскрытие пласта и изменение режима работы скважины вызывает возмущение в пласте. От источника возмущения оно передаётся во все стороны пласта с какой – то скоростью. Скорость распространения изменения пластового давления характеризуется коэффициентом пьезопроводности пласта k (4.5) κ= * . μβ В коллекторах – 1000см2/с ≤ æ≤ 50000см2/c или 0.1м2/с ≤ æ ≤5м2/c. Степень нестационарности процессов определяется безразмерными параметрами Фурье: • для призабойной зоны − fo = κ2t (4.6) • для всего пласта – (4.7) rc κt Fo = 2 rk 57 4.1.3. Уравнение пьезопроводности Считаем, что течение происходит по закону Дарси. Для вывода уравнения пьезопроводности используем линеаризованное уравнение состояния упругой жидкости (4.8) ρ = ρ 0 [1 + β f (р − р 0 )] , и соотношение, описывающее изменение пористости в зависимости от давления (4.9) m = m 0 + β c (р − р 0 ) . Из (4.8) и (4.9), при пренебрежении членом, содержащим произведение βжβс, имеем следующее дифференциальное уравнение ∂mρ ∂p = ρ 0 β* . ∂t ∂t (4.10) В то же время из общего уравнения фильтрации (2.8) ∂ρ m = Δϕ . ∂t Подставляя в выражение для потенциала ϕ = ∫ k ρdp + C соотношение для μ плотности (4.8) и считая μ=const, k=const, после интегрирования данного выражения при пренебрежении членом, содержащим (р-р0)2, получим с учетом (2.8) ∂p = κΔp . ∂t (4.11) Уравнение (4.11) называется уравнением пьезопроводности. Коэффициент κ характеризует быстроту изменения давления в пласте и называется коэффициентом пьезопроводности. Само уравнение (4.11) позволяет определить поле давления при нестационарных процессах в пласте с упругим режимом. 4.1.4. Приток к скважине в пласте неограниченных размеров Вывод основного уравнения упругого режима. Считаем пласт упругим, горизонтальным и большой протяженности и в нём имеется одна скважина, тогда движение жидкости в пласте можно считать плоскорадиальным к точечному стоку (эксплуатационная скважина) или от точечного источника (нагнетательная скважина). Рассмотрим процесс перераспределения давления при неустановившемся, плоском радиальном движении жидкости. Для этого запишем уравнение пьезопроводности в цилиндрической системе координат ∂ 2 p 1 ∂p 1 ∂p + = . ∂r 2 r ∂r κ ∂t (4.12) Предположим, что возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t = t/ . Для этого случая решение уравнения (4.12) имеет вид 58 p( r , t ) = C − A e t − t′ − r2 4 κ(t-t′ ) , (4.13) где А и С – некоторые постоянные. Найдём значения постоянных. Для этого будем считать, что в момент времени t = t/ давление в пласте было р = рк = const. Тогда при r> 0 и при t = t/ ⎛1 ⎞ ⎜ x⎟ второй член правой части обращается в неопределённость типа ∞/∞ ⎜ a ⎟ и ⎜ x ⎟ ⎝e ⎠ определяется по правилу Лопиталя, что даёт С = рк. Таким образом, r2 A − 4κ(t-t ′) e p(r , t ) = р к − . (4.14) t − t′ Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением (4.4) для случая кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной h и шириной dr, а также учтем падение давления Δр = p0 – p по (4.14): dτз = β*Δрd Vп = 2πhβ * A e ′ t−t − r2 4 κ(t-t′) rdr . (4.15) После интегрирования (4.15) в пределах от 0 до ∞ получим объём жидкоk сти τ3, выделившейся из всего пласта и, учитывая выражение для κ = * , опμβ ределим коэффициент А: μτз A= . (4.16) 4πhk Таким образом, в случае скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно, изменение давления во времени определяется соотношением: p(r , t ) = р к − μτ 3 − r2 4κ(t-t ′ ) e . (4.17) 4πhk (t − t ′) Если скважина была введена в некоторый момент времени и действовала непрерывно с постоянным дебитом Q = Q0 в течение времени dt/, то за этот промежуток времени через сток выделяется из пласта объём dτз = Qdt и, следовательно, из (4.17) следует r2 μQ0 ∞ − 4κ(t-t ′) dt ′ p(r , t ) = р к − e . (4.18) (t − t ′) 4πhk ∫0 Интеграл правой части носит название интегрально-показательной функ- ции 59 ⎛ r2 ⎞ ⎟⎟ = − Ei(−u ) = − Ei⎜⎜ − κ 4 t ⎝ ⎠ ∞ ∫ r2 4 κt e−u du u и с учетом данного обозначения решение для изменения давления запишется в виде ⎛ r 2 ⎞⎤ μQ0 ⎡ ⎟⎟⎥ . p(r , t ) = р к − ⎢− Ei⎜⎜ − t 4πhk ⎣ 4 κ ⎝ ⎠⎦ (4.19) Формула (4.19) является основной формулой теории упругого режима пласта. Интегрально-показательная функция имеет вид (рис.4.1) и обладает следующими свойствами: • -Ei(-u) изменяется от 0 до ∞ при изменении аргумента от 0 до ∞; • функция -Ei(-u) представляется в виде сходящегося ряда 1 u2 u3 − Ei ( − u ) = ln − 0,5772 + u − + − ... u 4 18 Рис. 4.1. График интегральнопоказательной функции (4.20) Для малых значений u<1 можно принять 1 − Ei(−u ) = ln − 0,5772 (4.21) u с погрешностью, не превышающей 0,25 % при u<0,01; 5,7 % – при u<0,1 d e−u [− Ei ( − u )] = − . dx u (4.22) С учетом соотношения (4.21) основное уравнение (4.19) перепишется в виде, которое более известно под названием уравнение кривой восстановления давления (КВД) μQ0 ⎛ 4κt ⎞ p (r , t ) = р к − ⎜ ln 2 − 0,5772 ⎟ (4.23) 4πhk ⎝ r ⎠ 60 Поллученную ю зависи имость м можно использов и вать при числее Фурьее κt ≥ 100 с погрешноостью, не превы-rc2 шающеей 0,6 %. Практичеески это означает, о , что уже через 1 с послее пуска скважины с ы расчеты ы забойноого давлен ния, выпо олненныее по фор рмуле (4.223), будуут иметь погреш-ность не н превыш шающую 0,6 %. Формулуу (4.23) можно м исспользоваать и дляя расчетаа паденияя давлен ния в кон нечном пласте, п а именно о, погреш шность ррасчета давленияя при это ом не прревышаетт 1 %, если е rк > Рис. 4.2. Пьезометр трические кривые к при 1000rc и fo < 3,4.105 или F Fo < 0,34. fo = пуске сккважины в бесконечноом пласте с постояннным дебитоом Рассмоттрим пьеззометричческие кри ивые дляя бесконеечного плласта, который экксплуати-руется скважин ной радиууса rc c постоян-ным деби итом Q0 (рис. ( 4.2). Для точ чек вблизи и забоя можно м полльзоватьсся форму-лой (4.233), а дифф ференцирууя её по координат к те r, найд дём градиент давлеения ∂p Q 0μ 1 ⋅ . = k r ∂r 2πkh Из этой э форм мулы слеедует, чтоо градиен нт давлени ия для зн начений r, r удовле-2 творяющ щих нераввенству r <<0,03.44 κ t, праактически и не зави исит от вр ремени и определяяется по той же формуле, ф что для установи ившейся п плоскорад диальной й фильтрац ции несж жимаемой жидкостти. Для укказанных значений й r пьезо ометриче-ские кри ивые пред дставляют собой логарифм л мические линии (ррис.4.2). Углы У на-клона каасательны ых на забоое скважины одинааковы дляя всех кри ивых. Анаализ осноовной формулы теории уп пругого режима. р О Основная формулаа (4.19) илли (4.23) строго с говоря, спрраведливаа лишь длля точечноого стокаа, т.е. при и rс=0. Праактически ие расчетты показы ывают, чтто ей мож жно польззоваться даже дляя укрупнён нных скваажин (rс∼1км) ∼ и неельзя исп пользовать только в первыее доли се-кунды после пускка скважи ины. Если скважи ина укруп пнённая, тто форму ула (4.23)) может дать д больш шую погррешностьь лишь вблизи отт её стенкки (конту ура). Чем м дальше отстоит о отт этого коонтура тоочка, в котторой опрределяетсся давлен ние, и чем м больше времени в п прошло с моментаа пуска укрупнённ у ной скваж жины, тем м меньшее погрешн ность. Анаализ форм мулы (4.223) показы ывает, что о вскоре после пууска скваж жины во-круг неёё начинает непреры ывно увеличиватьься областть пластаа (рис.4.2)), в кото-рой для каждого момента времени давлениее распред деляется ттак, как и при ус-61 тановившемся движении, т.е. давление оказывается квазиустановившимся и пьезометрические кривые будут кривыми логарифмического типа. Из (4.23) следует, что градиент давления, расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом r и скорость фильтрации определяются соотношениями: ∂p Q 0μ 1 = e ∂r 2πhk r − r2 4 κt ; u= Q0 1 e 2πh r − r2 4 κt ; (4.24) r2 − k ∂p Q(r,t)=2πhr = Q 0 e 4 κt . μ∂r Q0 2 πrh достигается очень быстро на небольших расстояниях от скважины, так как значение коэффициента пьезопроводности велико. Из данных соотношений следует, что стационарная скорость u ст = 4.1.5. Периодически работающая скважина В неограниченном пласте останавливается скважина, эксплуатирующаяся с постоянным дебитом Q в течении времени Т, сравнимого со временем проведения исследований. Понижение давления Δр в момент времени Т можно найти по формуле p(r , t ) = р к − μQ 0 ⎛ 4κt ⎞ ⎜ ln 2 − 0,5772 ⎟ 4πhk ⎝ r ⎠ (4.23). С момента остановки давление в ней и окружающей области пласта повышается, т.е. с данного момента в одном и том же месте пласта как бы действуют совместно и непрерывно эксплуатационная (сток) и нагнетательная (источник) скважины. При этом источник имеет тот же дебит Q. Обозначим повышение давления за счет работы источника через Δр//.. Таким образом, начиная с момента времени Т, на основании формулы (4.23) имеем: Δp ′ = μQ ⎛ 4κ (Т + t ) ⎞ − 0,5772 ⎟ , ⎜ ln 2 4πhk ⎝ r ⎠ (4.25) μQ ⎛ 4 κt ⎞ ⎜ ln 2 − 0,5772 ⎟ . 4πhk ⎝ r ⎠ Результирующее понижение давления Δр в любой точке пласта находится по методу суперпозиции μQ Т+t Δp = Δp′ − Δp′′ = ln . (4.26) 4πhk t Обозначая через рс давление на забое скважины после её остановки, получаем Δp′′ = 62 μQ t ln . (4.27) hk Т + t Зависимость (4.27) используется при гидродинамических исследованиях скважин, работающих не продолжительное время, методом построения кривой восстановления давления. p с = p к + 0,1832 4.1.6. Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин нестационарными методами Различают две группы гидродинамических методов: при установившихся и неустановившихся режимах. Первые связаны с теорией одномерного потенциального течения, а вторые – с теорией упругого режима. После пуска или остановки скважины происходит перераспределение давления, которое можно снять и получить кривую восстановления (КВД) или стабилизации (КСД) давления. На форму данных кривых влияют коллекторские свойства, что дает возможность определения таких параметров как проницаемость и пьезопроводность. Наиболее распространен метод определения коллекторских свойств по данным о восстановлении забойного давления (КВД) в остановленных скважинах в полулогарифмических координатах (Δр, lnt) на основе зависимости (4.23), записанной относительно забоя скважины в виде (4.28) Δ р с = р к − р с = A + i ln t , μQ 0 2,246 κ где À=i ln . ; i= 2 4πhk rñ Уравнение (4.32) можно рассматривать как уравнение изменения забойного давления после остановки скважины, работающей до этого с постоянным дебитом Q. Уравнение (4.28) представляет собой прямую (рис. 4.8) в координатах Δрс–lnt, а коэффициент i определяется как тангенс угла её наклона ϕ к оси времени и коэффициент А – как отрезок оси давления, отсекаемый продолжением прямой. По известным коэффициентам можно определить коллекторские свойства пласта: • по коэффициенту i определяют гидропроводность пласта Рис. 4.8. Кривая КВД kh Q . = μ 4πtgϕ 63 (4.29) • Если известна вязкость жидкости в пластовых условиях μ и толщина пласта h, то из последней формулы находится коэффициент проницаемости пласта: μQ . (4.30) k= 4πhtgϕ • По известному угловому коэффициенту i = tgϕ и радиусу rc скважины из коэффициента А можно определить коэффициент пьезопроводности пласта æ. Область применения указанных приемов интерпретации результатов исследования нефтяных скважин ограничивается условиями, при которых справедлива формула (4.28), а именно: скважина рассматривается как сток постоянной интенсивности в бесконечном, однородном пласте, и возможна мгновенная остановка притока флюида в скважину. В случае ограниченного пласта, когда изменение давления, вызванное закрытием скважины, доходит до его границы, КВД начинает искажаться, а через достаточно большое время выходит на горизонтальную асимптоту, соответствующую стационарному распределению давления. Поэтому длина прямолинейного участка на кривой КВД ограничена. Кроме того, в реальных условиях скважину нельзя остановить мгновенно. После её закрытия на устье приток флюида из пласта продолжается ещё некоторое время из-за упругости жидкостей и газов, заполняющих скважину. Время выхода на асимптоту должно, очевидно, превышать время дополнительного притока. Поэтому возможны условия, при которых прямолинейный участок на КВД появляется через значительный промежуток времени, либо даже вообще отсутствует. На форму КВД сказывается также несовершенство скважины и возможное нарушение закона Дарси у стенок скважины. 4.2. Неустановившаяся фильтрация газа в пористой среде Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа. Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде ρ (4.31) ρ = р ст . р ст Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид kρ ст 2 (4.31) ϕ= р + С. 2μр ст Обозначив р2=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации, получим уравнение Лейбензона: 64 kp ∂P . (4.32) ΔP= mμ ∂t По внешнему виду уравнение (4.32) не отличается от уравнения пьезопроводности (4.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (4.32) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности упругой жидкости и аналитически решается приближенно. Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р заменяется на некоторое постоянное: Лейбензон предложил замену на рк (начальное давление в пласте); Чарный – на рср=рmin+0,7(pmax-pmin), где pmax и pmin – максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период. При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет Q р μ Qμ kp соответствовать Р=р2, κ – κ/= к , – ст ст . πkh mμ 2 πkh Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением ⎛ r 2 ⎞⎤ μQст р ст ⎡ ⎟⎟⎥ . p(r , t ) = р − ⎢− Ei⎜⎜ − ′ t 2πhk ⎣ 4 κ ⎝ ⎠⎦ 2 к (4.33) При малых значениях r2/(4æ/t) можно заменить интегральнопоказательную функцию логарифмической μQст р ст 2,25κt ln p ( r , t ) = р к2 − . (4.34) 2πhk r2 Формулы (4.33),(4.34) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации – имеют максимальную кривизну вблизи скважины a b Рис. 4.9. Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и изменение давления с течением времени в 65 фиксированных точках пласта (b) (рис.4.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис.4.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r=rc) после начала работы скважины. Уравнение (4.34) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки кривой восстановления давления. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений. 4.3. Приближенные методы решения задач теории упругого режима Аналитические решения большинства задач теории упругого режима представляются громоздкими формулами в виде бесконечного медленно сходящегося ряда или несобственного интеграла, содержащего специальные функции. В связи с этим были предприняты поиски приближенных эффективных решений задач неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде [1]. 4.3.1. Метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС) Метод развит И.А. Чарным и основан на предположении, что давление в пласте меняется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается уравнение Лапласа, описывающее стационарный процесс. В каждый момент времени весь пласт условно разделяется на две области – возмущенную и невозмущенную. В возмущенной области пласта, начинающейся от стенки скважины, давление распределяется по закону установившегося движения жидкости и внешняя граница этой области служит в данный момент контуром питания. В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному контурному давлению. Закон движения подвижной границы, разделяющей возмущенную и невозмущенную области, определяется при помощи уравнения материального баланса и граничных условий. a) Прямолинейно-параллельный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости Приток к галерее, на которой поддерживается постоянный дебит Q. Пусть в момент времени t = 0 в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В пущена в эксплуатацию прямолинейная галерея, на которой под66 держивается посттоянный дебит Q. До пускка галереи и давлени ие во всеем пластее было оди инаковым м и равны ым рк. К моменту времени t после п пуска галереи гра-ница воззмущенноой областти распространитсяя на длин ну l(t) (ри ис 4.10). РаспредеР ление даавления в этой облласти считтается усттановивш шимся, т.ее. описывается ли-нейной зависимос з стью: , , 0 . (4.35)) Най йдем закоон перемеещения во в времен ни внешн ней грани ицы возм мущенной й области l(t) из ураавнения сохранени с ия матери иального баланса. б Рис. 4.10. Кривые рааспределениия давленияя в прямолиинейно-парраллельном потокее по методуу ПССС Дляя этого используем м тот фаакт, что количество добыттой проду укции заа время dt равно иззменению ю упругогго запаса жидкости и в возмуущенной зоне з пла-ста за тотт же пром межуток времени в ∆ , (4.36)) где − объем о воззмущенно ой зоны пласта, п ∆ 2 , откуда Соглласно заккону Дарсси 2 . Таки им образоом, соотн ношение (4.36) ( мож жно переп писать в ввиде или так. Q=const 2 , где . Поссле интегррированияя получен нного соо отношени ия получим (4.37)) √2 . Такиим образоом, формуула для рааспределеения давлления в поолосообра азном пласте при п постооянном деебите буд дет имет ть вид , √2 , 0 √2 , , , (4.38)) √2 . Погр грешность определления давлления по сравнению ю с точноой формуулой составляет т 25 % Приток к галерее, г на котор рой подд держиваеется посттоянное забойное з е давлени ие pr = con nst. Начаальные уссловия те же, что и в преды ыдущем сл лучае, ноо 67 галерея работает с постоянным забойным давлением pr = const. Для решения задачи надо определить закон изменения давления в возмущенной области и закон движения границы раздела возмущенной области l(t). Согласно методу ПССС давление в возмущенной области определяется по уравнению , , 0 . (4.35) Дебит в возмущенной области определяется по закону Дарси . Закон движения границы раздела возмущенной области l(t) определяется из уравнения сохранения материального баланса ∆ , (4.36) где объем возмущенной зоны пласта, ∆ После 2 подстановки 2 , приведенных соотношений в (4.36) имеем . После проведения алгебраических преобразо- ваний получим 2 . После интегрирования данного соотношения получим закон движения границы возмущенной области 2√ . (4.39) Таким образом, формула для распределения давления в полосообразном пласте при постоянном забойном давлении будет иметь вид , , 1 , 2√ . 2√ . , 0 2√ , (4.40) (4.41) Погрешность определения дебита галереи по сравнению с расчетами по точной формуле составляет 11 %. b) Плоскорадиальный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости Приток к скважине, на которой поддерживается постоянный дебит Q. В неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h в момент времени t = 0 пущена добывающая скважина радиусом rc с постоянным дебитом Q. До пуска скважины давление во всем пласте равно pк. 68 Рис. 4.11. Кривые распределен р ния давлени ия в плоскоорадиальном м потоке по методу ПССС (Q=const) ( В сооответстввии с метоодом ПСС СС прини имаем, чтоо через врремя t поссле пуска скважины (рис.4.111) вокрууг неё обрразуется возмущен в ная облассть радиу усом R(t ), в которрой давлеение будеет распред делено по о стационарному заакону , . (4.42)) В осстальной части плааста сохраняется начальное н е пластовоое давлен ние pк. Дляя определеения давлления в воозмущенн ной зоне по п (4.42) н необходи имо найти закон движени ия границы ы возмущ щенной об бласти R((t). Для эттого восп пользуемся ураавнением материалльного балланса ∆ , (4.36)) где объем м возмущеенной зон ны пластаа, с ∆ ⁄ 2 ⁄ с 4 , . с Под дставив в (4.36) при иведенны ые соотношения поолучим и после 4 п инттегрироваания в пределах 0 найдем закон з движения границы 4 . и с (4.43)) Таки им образом, давлеение в лю юбой мом мент врем мени опрееделяетсяя по фор-мулам , , ; с с 4 ; (4.44)) ; 4 . Деп прессия в момент времени в t:: ∆ с с 69 . (4.45)) Относительная погрешность уменьшается с течением времени и составля⁄ ет, по вычислениям, 10,6 %, если 100; 7,5 %, если fo = 103; 5,7 %, если fo = 104. В случаях линейной и радиальной фильтраций в точке перехода от возмущенной к невозмущенной области градиент давления терпит разрыв, что служит одной из причин расхождения между результатами расчетов по методу ПССС и по точному решению. Распределение давления в области фильтрации, получаемое по методу ПССС, является довольно грубым приближением; гораздо точнее этим методом дается связь между дебитом и депрессией, особенно в случае радиальной фильтрации. 4.3.2. Метод А.М. Пирвердяна В методе А.М. Пирвердяна, как и в методе ПССС, неустановившийся фильтрационный поток в каждый момент времени мысленно разбивается на две области – возмущенную и невозмущенную. Граница между этими областями также определяется из уравнения материального баланса. В отличие от метода ПССС распределение давления в возмущенной области по методу А.М. Пирвердяна задается в виде квадратичной параболы так, чтобы пьезометрическая кривая на границе областей касалась горизонтальной линии, представляющей давление в невозмущенной области. Распределение давления уже не будет стационарным, а градиент давления на границе областей становится равным нулю, что обеспечивает плавное смыкание профиля давления в возмущенной и невозмущенной областях. а) Прямолинейно-параллельный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости Рис. 4.12. Кривая распределения давления в прямолинейно-параллельном потоке по методу A.M. Пирвердяна Приток к галерее, на которой поддерживается постоянный дебит Q. Пусть в момент времени t = 0 в горизонтальном пласте постоянной толщины h 70 и ширины В пущена в эксплуатацию прямолинейная галерея, на которой поддерживается постоянный дебит Q. До пуска галереи давление во всем пласте было одинаковым и равным рк. К моменту времени t после пуска граница возмущенной области продвинется на длину l(t), при этом кривая распределения давления в этой области будет иметь вид параболы (рис.4.12). Уравнение параболы, задающей распределение давления в возмущенной области, определяется равенством , 1 , при 0 х . Дебит галереи определяется по закону Дарси (4.46) . Продифференцируем выражение для давления и подставим х=0. В результате имеем и выражение для дебита примет вид 2 . (4.47) Закон движения границы возмущенной области определяется из уравнения материального баланса р , (4.36) где р − средневзвешенное пластовое давление в возмущенной области к моменту времени t определяется, используя распределение (4.46), по зависимости 1 р , 1 1 Тогда изменение давления ∆ 3 р с учетом 4.47 Подставим полученные выражения в уравнение материального баланса (4.36) и получим Отсюда 6 и после интегрирования в пределах от 0 до t и от 0до l получим (4.48) √6 Формула для распределения давления (4.46) в возмущенной области пласта принимает вид , √6 , , 1 х , при 0 √ √6 . х √6 , (4.49) 71 Pасчет депрессии дает погрешность по сравнению с точным решением примерно 9 %, т.е. в 2,5 раза меньше, чем по методу ПССС. Приток к галерее, на которой поддерживается постоянное забойное давление pc = const. В пласте в момент времени t = 0 пущена эксплуатационная галерея с постоянным забойным давлением pc = const. До пуска галереи давление во всем пласте было одинаковым и равным pк. Tребуется найти распределение давления, закон перемещения границы возмущенной области l(t) и изменение дебита галереи во времени Q(t). Для решения данной задачи используем предыдущий подход. Подставим в уравнение материального баланса р , (4.36) выражения для расхода, объема и перепада давления 2 , . 3 В результате получим 6 и после интегрирования получим закон движения границы возмущенной области (4.50) √12 Подставляя (4.50) в (4.46) получим соотношение для давления в возмущенной области пласта , , 1 , а для дебита формулу 2 , х 2 √ , при 0 √ √12 ∆ р х √12 , . (4.51) . (4.52) Погрешность расчета дебита галереи по приближенной формуле по сравнению с точным решением составляет около 2,5 %, т.е. и в этом случае расчет по методу А.М. Пирвердяна более чем в 2 раза точнее, чем по методу ПССС. 4.3.3. Метод интегральных соотношений Метод интегральных соотношений (МИС) предложен Г.И. Баренблатом по аналогии с методами пограничного слоя. Основные предпосылки МИС: 1. Область течения, как в предыдущих методах, делится на возмущенную (длиной l t или радиуса R t ) и невозмущенную. 2. В возмущенной области распределение давления представляется в виде многочлена по степеням координаты с коэффициентами, зависящими от времени: 72 • для прямолинейно-параллельного потока p x, t • a t a t a t для плоскорадиального течения r r p r, t a t ln a t a t R t R t r r R t ; , 0 a x l t ; t r R t (4.53) , (4.54) Здесь число n членов многочлена выбирается в зависимости от желаемой точности решения. 3. Коэффициенты многочлена и закон перемещения границы возмущенной области определяют из внутренних граничных условий (на галереи или скважине), из условия неразрывности течения, условий гладкости кривой давления на границе зоны возмущения, а также из интегрального соотношения, определяющего сохранение материального баланса во всей возмущенной области. Для получения данного соотношения временную и пространственные части уравнения пьезопроводности следует умножить на пространственную переменную в степени n и поставить вместо давления выражение (4.53). После интегрирования полученного уравнения по размеру возмущенной области (от 0 до её границы) получим соотношения для определения коэффициентов ai(t). Из МИС можно получить, как частные случаи, метод ПССС (при n=1 – приток к галереи, n=0 – приток к скважине) и метод А.М. Первендяна (n=2) Пример решения методом интегральных соотношений задачи о нестационарном притоке упругой жидкости с дебитом Q к скважине радиуса rc из пласта с давлением pk. Согласно МИС, распределение давления в возмущенной области пласта r r R t возьмём в виде многочлена первой степени p r, t a t ln a t a t , R R Коэффициенты ао, а1 и а2 находим из условий на забое скважины и на границе возмущенной области: при r r (забое скважины); при постоянство давления на границе ; 0 при (условие гладкости кривой давления на границе . Определенные из этих условий коэффициенты имеют вид: a , a , a , при выводе слагаемыми, пропорциональными r или , пренебрегли. В результате получим следующее уравнение для давления p r, t ln 1 , (4.55) R R 73 Закон движения границы возмущенной области ния материального баланса ∆ . Значение средневзвешенного пластового давления ти 1 находится из уравне(4.36) в возмущенной облас- , 1 ln 2 r R t 1 2 r R t 2 После интегрирования при пренебрежении членами, содержащими имеем ,а ∆ . Объём возмущенной зоны V . Подставив данные соотношения в (4.36), после преобразований получим 12 Отсюда после интегрирования получим 12 Таким образом, распределение давления в возмущенной зоне имеет вид p r, t ln 1 при с 12 ; (4.37) p r, t , при 12 Относительная погрешность уменьшается с течением времени и составляет ⁄ -4,9 %, если 100; -4 %, если fo = 103; -3.2 %, если fo = 104. Таким образом, МИС дает заниженные значения по сравнению с точным решением. 4.3.4. Метод «усреднения» Метод «усреднения» предложен Ю.Д. Соколовым и Г.И. Гусейновым и заключается в том, что в уравнении пьезопроводности производная от давления по времени усредняется по всей возмущенной области и заменяется некоторой функцией времени dr. (4.38) значение которой определяется из начальных и граничных условий. В этом случае уравнение пьезопроводности примет вид ∂ 2 p 1 ∂p 1 ∂p . = + ∂r 2 r ∂r κ ∂t 74 (4.12) . (4.13) Пример решения методом интегральных соотношений задачи о нестационарном притоке упругой жидкости с дебитом Q к скважине радиуса rc из пласта с давлением pk. При этом условия на забое скважины и на границе возмущенной области имеют вид: при r r (забой скважины); при постоянство давления на границе ; 0 при (условие гладкости кривой давления на границе . Интегрируя уравнение (4.13) по r при учете граничных условий получим r F T 1 r ln r R T . 2 R t 3 2 R t Из условия гладкости кривой давления на границе находим функцию . R T Таким ообразом выражение для давления будет ln 1 R R T , r r R t . (4.14) Уравнение для определения закона движения возмущенной области находим также из уравнения материального баланса 8 Относительная погрешность метода при определении депрессии не превышает 5 %. Вопросы для самопроверки 1. Определяющие формы пластовой энергии при упругом режиме. 2. Определяющие формы пластовой энергии при упруговодонапорном режиме. 3. Какие условия определяют замкнуто-упругий режим? 4. Условия, определяющие жестководонапорный режим. 5. Зависимость скорости протекания неустановившихся процессов от проницаемости, вязкости и коэффициентов объёмной упругости жидкости и пласта. 6. Коэффициент объёмной упругости жидкости. 7. Упругий запас. 8. Чему равен коэффициент упругоёмкости пласта? 9. Коэффициентом пьезопроводности для упругой жидкости. 10. Коэффициентом пьезопроводности для газовых пластов. 11. Параметр Фурье. 75 12. Уравнение пьезопроводности упругой жидкости и его вывод. 13. Правило Лопиталя. 14. Интегрально-показательная функция и ее свойства. 15. Уравнение КВД. Области использования. 16. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей с постоянным дебитом. 17. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей с постоянным забойным давлением. 18. Изменение дебита скважины с течением времени при постоянном забойном давлении. 19. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном дебите. 20. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном забойном давлении. 21. Изменение дебита скважины с течением времени при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном забойном давлении. 22. Уравнение КВД для периодически работающей скважины. 23. Как зависит угол наклона КВД от проницаемости. 76 5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ 5.1. Связь с проблемой нефтегазоотдачи пластов При добычи нефти происходит замещение её водой или газом, как при естественных режимах эксплуатации, так и при эксплуатации с поддержанием пластового давления. Разработка газовых и газоконденсатных месторождений также часто сопровождается вытеснением газа водой или при наличии нефтяной оторочки – нефтью. Взаимодействие различных флюидов между собой и с пористой структурой пласта обуславливает капиллярные явления, неполное и неравномерное вытеснение, образование в продуктивном пласте зон совместного течения флюидов, т.е. многофазной фильтрации. При определенных условиях залегания и режимах разработки нефтяных и нефтегазоконденсатных месторождений в пласте возникает многофазное течение сложной многокомпонентной смеси, при котором между движущимися с различными скоростями фазами осуществляется интенсивный массообмен. Переход отдельных компонентов из одной фазы в другую влечет за собой изменение составов и физических свойств фильтрующихся фаз. Такие процессы происходят, например, при движении газированной нефти при вытеснении её водой или газом, при разработке месторождений сложного компонентного состава, при вытеснении нефти оторочками активной примеси (полимерными и щелочными растворами; различными жидкими и газообразными растворителями, применяющимися для увеличения нефтегазоотдачи). Основой для расчета таких процессов служит теория многофазной многокомпонентной фильтрации. 5.2. Основные характеристики многофазной фильтрации Углеводородные системы могут быть гомо- и гетерогенными. В гомогенной системе все её части имеют одинаковые физические и химические свойства. Составляющие гомогенной системы (называемые компонентами) “размазаны” по пространству и взаимодействуют на молекулярном уровне. Для гетерогенной системы физические и химические свойства в разных точках различны. Гетерогенные системы состоят из фаз. Фаза – это часть системы, которая является гомогенной и отделена от других фаз отчетливыми границами. Взаимодействие между фазами происходит на поверхностях раздела. Смесь воды, нефти и газа в пласте – типичный пример гетерогенной среды. Главными характеристиками движения многофазной среды являются насыщенность и скорость фильтрации каждой фазы. Насыщенностью σi порового пространства i –й фазой называется доля объема пор ΔVi , занятая этой фазой в элементарном объеме: 77 σi = ΔVi , i=1,2,…, n , ΔVп (5.1) где n – число фаз. Очевидно, что n ∑ σi = 1 . i =1 (5.2) Таким образом, в n-фазной системе имеется (n-1) независимая насыщенность. В частности, при исследовании фильтрации смеси двух фаз используется лишь насыщенность σ1 наиболее смачивающей, вытесняющей фазы, которую будем в дальнейшем обозначать просто σ. Тогда из (5.2) имеем σ2=1- σ. Движение каждой из фаз характеризуется вектором скорости фильтрации ui данной фазы, который (по аналогии со скоростью фильтрации однородной жидкости) определяется как вектор, проекция которого на некоторое направление L равна отношению объемного расхода Qi данной фазы к площадке Ωi , перпендикулярной к указанному направлению: r (u i )L = Qi , i = 1,….n. (5.3) Ωi Площадка Ωi пересекает как твердую, так и подвижные фазы. При изучении сложных фильтрационных процессов возникает необходимость в построении моделей многофазных (гетерогенных) систем, в которых каждая фаза, в свою очередь, моделируется многокомпонентной гомогенной смесью. При этом между компонентами возможны химические реакции, переход компонентов из одной фазы в другую, процессы адсорбции, диффузии и др. При совместном течении двух фаз в пористой среде, по крайней мере, одна из них образует систему, граничащую со скелетом; породы и частично с другой жидкостью. Из-за избирательного смачивания твердой породы одной из жидкостей площадь контакта каждой из фаз со скелетом пористой среды значительно превышает площадь контакта фаз между собой. Это позволяет предположить, что каждая фаза движется по занятым ею поровым каналам под действием своего давления независимо от других фаз, то есть так, как если бы она была ограничена только твердыми стенками. При этом, естественно, сопротивление, испытываемое каждой фазой при совместном течении, отлично от того, которое было бы при фильтрации только одной из них. Опыты показывают, что расход каждой фазы растет с увеличением насыщенности и градиента давления. Закон фильтрации каждой из фаз при учете силы тяжести по аналогии с законом Дарси можно записать в следующем виде: r r k (5.4) u i = − k i (σ)(gradp i − ρ i g ) . μi Здесь k – абсолютная проницаемость пласта, определяемая по данным о фильтрации однородной жидкости; μi – коэффициент динамической вязкости 78 фаз; pi – давлениее в фазах;; ρi – плоттность фааз; g – векктор ускоорения сво ободногоо падения.. Поонятие оттносителььной фазоовой прон ницаемо-сти ki(σ σ), играетт важную ю роль при и изучени ии совме-стного течения несколькких жидккостей в пористой п й среде. Обычно О считается с я, что отнносителььные про-ницаемости явлляются однозначными фуункциямии насыщеенностей и не завиисят от скорости и фильт-рации и отношеения вязкоостей двиижущихсяя фаз. Наа рис. 5.11. привеедены тип повые крривые отн носитель-ных фаазовых пр роницаемоостей дляя двухфаззной сме-Рис.5.1. Зависиимость нктир на рисунке р о относится я к случааю, когдаа отноосительны ых прони-- си (пун цаем мостей ki от насы-- первая фаза явля яется газоом). щеннности σ Наа этом граафике покказаны беезразмерн ные отно-сительны ые фазовы ые прони ицаемости и k1 и k2; σА – связзанная коомпонентаа первой,, более см мачивающ щей фазы (для воды ы около 20 %). Харрактерная несиммеетричная форма кривых к оттносителььной прон ницаемо-сти объяясняется тем, т что при одноой и той же ж насыщ щенности и более см мачиваю-щая фазаа занимаеет преимууществен нно мелки ие поры и относиттельная проницаеп мость у неё н меньш ше. При малых м нассыщенностях частть каждой й из фаз находится н я в несвязн ном состооянии в виде в изоллированны ых мелки их капель или цели иков и нее участвуеет в движ жении. Пооэтому, начиная н с некоторрой насыщ щенности и, каждаяя фаза поллностью переходи п ит в несвяязное сосстояние и её отноосительнаая прони-цаемостьь станови ится равноой нулю, т.е. k1(σ)=0 при σ<σA, k2(σ)=0 при σ>1- σA. Движени ие этой фазы можеет происхходить тол лько, если и σ > σА. Для втор рой фазы ы связаннаая компон нента равна 1- σA. При расссмотрени ии совмесстной фил льтрации и двух нессмешиваю ющих жи идкостей приходиттся разли ичать выттесняющу ую и вы-тесняемы ые фазы, так как относител о льные проницаемоости разлличны в зависимо-сти от тоого, какаяя из фаз (более ( илли менее смачивае с мая) перввоначальн но запол-няла порристую срреду, то есть е сущеествует ги истерезисс относитеельных проницаеп мостей. Сум мма относсительныхх прониц цаемостей й для каж ждого фикксированн ного зна-чения σ меньше 1: k1 (σ) + k 2 (σ) < 1 , 0<σ<1. < Это означаетт, что приисутствиее связанн ной смачиивающей ф фазы малло влияет т на теченние не см мачивающ щей жидккости, то огда как присутст твие ост таточнойй не смачиивающей фазы ф значчительноо "стесняет" движ жение смаачивающеей фазы. Введ денные выше в понятия мож жно обобщ щить на случай с соовместногго движе-ния трехх несмеши ивающихсся флюид дов: нефти, газа и воды. Еслли обознаачить эти и флюиды индексам ми "н", "гг" и "в", то т можно ввести оттносителььные прон ницаемо-79 сти, точн но так же, как это было сдеелано для двух жид дкостей. П При этом м фазовыее проницаеемости являются я уже фун нкциями двух неззависимых насыщ щенностей й и опредееляются из и треуголльных диааграмм (р рис. 5.2). На треуголльной ди иаграммее показаны ы границ цы преобладанияя фаз. Из диаграмм мы видно, что при и газонасы ыщенностти более 35 % по-ток состтоит тольько из газза, болеее тёмная область о п показываеет на на-личие всех в фазз. По ди иаграммее можно определи о ить, какиее компо-ненты движутся в пласте при дан-ном сооотношени ии величи ин насы-щенностти пор фаззами. Харрактер зависимосттей опре-Рис.5.2. Диаграамма для определения о я гранниц преоблладания пот токов разлличных деляетсяя различн ной степен нью сма-фаз при трехф фазном теччении чивания твердых зерен породы фа-зами, причем оказывается,, что отнносительн ная прониицаемост ть зависит т толькоо от водоннасыщеннности – наиболее н проницаеемой фазы ы – воды,, и почти и не зави-сит от нефтен и газонасы ыщенност ти. На осн новании эксперим э ментов мо ожно счи-тать, чтоо относитеельная фаазовая прооницаемо ость в мноогофазном м потоке почти нее зависит от вязкоссти жидккости, ее плотностти, внутррижидкосстного наатяжения,, градиентта давлени ия. Харрактерныее особенн ности мноогофазной й фильтраации связаны такж же с влия-нием повверхностн ного натяяжения. Давления Д в фазах р1 и р2 не равны др руг другуу из-за кап пиллярны ых эффекттов, привоодящих к скачку давления д на границе разде-ла фаз: р2-р1=δрк , (5.5)) где δрк – капи иллярноее давлениее (или кап пиллярны ый скачокк). Болььшее даввление буудет на сттороне жидкости, ж не смачи ивающей твердыее зерна порроды. Преедположим, что каапиллярноое давлен ние при соовместном м течении и жидкостей совп падает с капиллярн к ным давллением в равновесн р ном состооянии дляя того же значенияя насыщен нности и при одноом и том же ж направвлении еёё изменен ния (увеличении или умен ньшении)). Поэтомуу капилляярное даввление моожно пред дставить в виде иззвестной эксперим ментальноой функци ии насыщ щенности (рис. 5.3)). m (5.6)) δрк = α п cos θ ⋅ J (σ) k , 80 где αп – коэффициент межфазного поверхностного натяжения; θ – статический краевой угол смачивания между жидкостями и породой; J(σ) – безразмерная функция Леверетта. Процессы многофазной фильтрации идут поразному в зависимости от характерного времени фильтрационного процесса и от размеров области течения. Капиллярные силы создают в пористой среде перепад давления, величина которого ограниРис. 5.3. Зависимость функ- чена и не зависит от размеров области фильтрации. ции Леверетта от насыщен- Вместе с тем перепад внешнего давления, создающего фильтрационный поток между двумя точками, ности: 1 – кривая вытеснения; 2 – кривая пропитки; пропорционален скорости фильтрации и расстояА – остаточная насыщеннию между этими точками. Если размеры области ность вытесняемой жидкомалы, то при достаточно малых скоростях фильтрасти ции капиллярные силы могут превзойти внешний перепад давления. Напротив, если рассматривается движение в очень большой области (например, в целой нефтяной или газовой залежи), то влияние капиллярных сил на распределение давления незначительно и их действие проявляется в локальных процессах перераспределения фаз. Взаимное торможение фаз, благодаря которому относительные фазовые проницаемости не равны соответствующим насыщенностям, обусловлено, прежде всего, капиллярными эффектами. В тех случаях, когда можно пренебречь капиллярным скачком δрк(σ), капиллярность косвенно учитывается самим видом опытных кривых относительных проницаемостей ki(σ). Таким образом, при описании многофазной фильтрации увеличивается число параметров, подлежащих определению. Наряду с неизвестными давлениями pi в фазах и скоростями фильтрации фаз ui появляются новые неизвестные – насыщенности σi и концентрации отдельных компонентов. 5.3. Исходные уравнения многофазной фильтрации Будем для простоты рассматривать совместное изотермическое течение двух фаз в однородной пористой среде без фазовых переходов и химических реакций. Система уравнений, описывающая совместную фильтрацию фаз, строится на основе уравнений неразрывности для каждой фазы, уравнений движения (закона фильтрации) и соответствующих замыкающих соотношений. 81 \Уравнения неразрывности. r ∂ • первой фазы (mρ1σ) + div (ρ1u1 ) = 0 ; (5.7) ∂t r ∂ • второй фазы [mρ2 (1 − σ)] + div (ρ2 u2 ) = 0 . (5.8) ∂t Если вытесняемая и вытесняющая фазы – слабосжимаемые упругие жидкости, то влиянием сжимаемости на распределение насыщенности можно пренебречь, так как время перераспределения давления за счет сжимаемости жидкостей, по крайней мере, на два порядка меньше, чем время вытеснения. Отсюда следует, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале процесса вытеснения. В некоторых случаях можно считать несжимаемым и газ в пластовых условиях. Если жидкости и пористую среду можно предполагать несжимаемыми, то уравнения (5.7) и (5.8) упрощаются r r ∂σ ∂σ m + divu1 = 0 , − m + divu2 = 0 . (5.9) ∂t ∂t Уравнения движения для многофазной фильтрации. При записи закона фильтрации предполагаем, что в любой точке каждая из фаз находится в термодинамическо-равновесном состоянии. Тогда для течения двухфазной смеси можно ввести в рассмотрение относительные проницаемости ki(σ) и капиллярное давление δрк (σ), зависящее только от насыщенности. Кроме этого, рассматриваем только однонаправленные процессы фильтрации, не учитывая гистерезисных явлений. Тогда выполняется закон фильтрации (5.4): r r k (5.10) u i = − k i (σ)(gradp i − ρ i g ) , μi а связь между давлениями в фазах определяется равенствами (5.5) и (5.6): m (5.11) р2 − р1 = δрк (σ) = α п cos θ ⋅ J (σ) . k Для замыкания полученной системы уравнений необходимо задать дополнительные соотношения, рассмотренные в разделе 1 и связывающие параметры фаз и пористой среды с давлением. Постановка и решение задач на основе полной системы уравнений фильтрации неоднородных жидкостей затруднительны ввиду сложности самих уравнений, а также формулировки краевых условий, в частности, разрыва капиллярных сил на границах пористой среды (так называемых концевых эффектов), роль которых недостаточно изучена. Анализ одномерных двухфазных потоков позволяет выявить основные эффекты и характерные особенности совместной фильтрации жидкостей. 82 5.4. Потенциальное движение газированной жидкости Газированная жидкость представляет собой смесь жидкой и газовой фаз. Газ находится не только в свободном состоянии; часть его растворена в жидком компоненте смеси. В пластовой нефти обычно содержится природный газ. Если давление в пласте выше давления насыщения нефти газом, то весь газ растворяется в нефти, а нефть называется недонасыщенной. Задача об одномерном потоке такой нефти относится к ранее описанным гомогенным задачам. Если же пластовое давление ниже давления насыщения, то в процессе движения нефти в пласте из нее выделяется газ и образуется движущаяся смесь нефти и свободного газа – газированная нефть. По мере продвижения смеси в направлении снижения давления из капельножидкого раствора (жидкого компонента смеси) выделяется все новая масса газа. Выделяющийся из раствора газ присоединяется к движущемуся свободному газу, вследствие чего увеличивается часть порового пространства, занимаемого газом. Свободный газ становится все более подвижным и фазовая проницаемость породы для газа растет, а фазовая проницаемость для жидкой фазы уменьшается. Вследствие этого расчеты параметров такого газо-жидкостного потока проводят на основе многофазной модели течения. Так общее дифференциальное уравнение одномерных потоков (3.3) можно применительно к капельножидкой фазе газированной жидкости записать следующим образом Gf dр , (5.12) = ψ f ( р) dr Ar j k ρ где ψ f = f f . μf Массовый дебит газового компонента смеси Gг находится как сумма массового дебита газа, движущегося в свободном состоянии Gгс, и массового дебита газа, движущегося в растворенном состоянии Gгр. Используя формулу (3.3) для свободного газа смеси, получим: Gгс dр (5.13) = ψ гс ( р) , dr Ar j k ρ где ψ гс = гс гс – функция, в которой величины μгс и ρгс относятся к μ гс газу. Для газа, находящегося в растворе, найдем G гр dр (5.14) = ψ f ( р) σ м ( р) , j dr Ar где σм(р) = Gгр/Gf – массовая растворимость газа в жидкости, т.е. количество массы газа, растворенное в единице массы жидкости при давлении р. 83 Суммируя почленно равенства (5.13) и (5.14), получим: G гс + G гр Gг dр G f = = ψ г ( р) + σ м ( р) , dr Ar j Ar j Ar j (5.15) Для газированной жидкости пользуются при расчетах величиной объемного газового фактора Г, который представляет собой отношение объемного газового дебита Qг, приведенного к стандартным условиям, к объемному дебиту жидкого компонента Qж, приведенному к тем же условиям. Поскольку массовый дебит на всех изобарических поверхностях в данном одномерном установившемся потоке один и тот же, сохраняется постоянным вдоль всего потока и газовый фактор Г. G G Учитывая, что Qг = г , Qf = f , где ρг0 и ρf0 – значения плотности ρ г0 ρf 0 газа и жидкого компонента, соответственно, с помощью формул (5.13) и (5.15) получим: Q ρ ψ ( р) (5.16) Г = г = f0 г + σ( р) , Qf ρ г0 ψ f ( р) где объемная растворимость газа в жидкости ρ σ( р) = f 0 σ м ( р) . ρ г0 Если газ однороден, то в широких пределах (примерно от 1 до 100 ат) объемная растворимость пропорциональна давлению, т.е. σ(р) =αр, (5.17) где α – объемный коэффициент растворимости, постоянный для данных жидкости и газа. Формула (5.17) выражает закон Генри растворимости газа в жидкости. В соотношении для газового фактора (5.16) определим функции ψг(р) и kρ ψf(р) в соответствии с формулой ψ i = i i : μi ρ ρ ( р)k г ( р)μ f ( р) (5.18) Г = f0 г + σ( р) , ρ г0 ρ f ( р)k f ( р)μ г ( р) В практических расчетах по технологии нефтедобычи учитывается величина объемного коэффициента нефти, зависящего от давления р. Объемный коэффициент нефти β(р) характеризует изменение объема нефти вследствие изменений давления и количества растворенного газа. Величина β(р) есть отношение удельных объемов нефти в пластовых и атмосферных условиях. 84 ρf 0 . ρ f (р ) k ( р) Замееняя в форрмуле (5.18) отнош шение г функкцией Ψ(ss) получим м: k f ( р) ρ ( р)μ f ( р) (5.19)) Г = Ψ (s ) г β(р) + σ( р) , ρ f ( р)μ г ( р) При постоянно п ом газово ом факто-ре Г уравнеение (5.199), выраж жая зави-сим мость меж жду давллением р и насы-щенностью s, служи ит уравнеением со-сто ояния газирован г нной жидкости. ж Фу ункции μf(р), ( μг(p), β(р) и σ(р) σ опре-дел ляются поо экспери иментальн ным дан-ным. На ри ис. 5.4 прредставлеены зави-сим мости расстворимоссти σ(р) и объем-ногго коэфф фициента нефти β(р) отт вления р. Рис. 5.4. 5 Кривыее зависимоости коэфф фици- дав ента растворим р мости газаа в нефти и объПотен нциальнаяя функцияя для га-ёмногго коэффицциента неефти от давлед зир рованной жидкости и имеет ви ид Соогласно даанному оп пределени ию β(р ) = ния k ⋅ k i* [s ( p )]ρ i ( р ) ϕ i ( р) = ∫ dp + C μ i ( р) (5.20)) где i=f, г; г k*i(s) = ki/k, смоттря по том му, движеение какой й фазы иззучается – жидкой или газоввой. Поотенциалььную фун нкцию ϕ(р (р) можно о определлить путеем числен нного ин-тегрироввания. Рассчетные формулы ф для деби ита по заккону Дарсси имеют наиболеее простой й вид, когд да жидкость однорродна и несжимаем н ма. Таковва, наприм мер, форм мула Дю-пюи для объемногго дебитаа Q. Придаадим фор рмуле дляя объемноого дебитаа жидкой й фазы газзированноой смеси в плоскоррадиально ом потокее вид форрмулы Дю юпюи, со-хранив в ней неиззменным множител м ль рк – рс. Пуусть k, ρf и μf – посттоянны. Тогда Т из (5 5.20): ϕк = k ⋅ ρf k ⋅ ρf Ф(р к ) + С , ϕ с = Ф(рс ) + С , μf μf где Ф (РК) и Ф (PC) – граничны ые значени ия интеграала вида ∫ k f* [s ( p )]dp d . 85 (5.21)) Вы ычитая поочленно равенства р (5.21) и применяя п известнуую теорем му о сред-нем в интегральноом исчисллении, поолучим: р kρ f к * ϕ к − ϕс = k f [s ( p)]dp = , ∫ μf р (5.22)) с ρ f k f/ ρ f рк = ∫ k ( p)dp = μ ( р к − рс ) μf р f f с где k'f – некоторое н е среднее значениее функции и kf(р) в интервале и е изменения р от рс до рк. Поодставляяя получен нное значение ϕк-ϕс в фоормулу (33.9) и раззделяя наа постоянн ное ρf, най йдем, чтоо: / 2 πhk ж ( р к − рс ) . (5.23)) Q= rк μ ж ln rc Им меем явноое сходствво с формуулой Дюп пюи. Таким обраазом, при и расчетее дебита жидкого компонеента газир рованной й жидкости и можно использоовать форрмулы дл ля опредееления G или Q для д одно-родной й несжим маемой жидкости, если за-менитьь в них проницаем п мость плааста k не-которы ым средни им значен нием фазо овой про-ницаем мости kf. Другими Д ссловами – опреде-лить деебит газиированнойй жидкоссти мож-но, зам менив газиированную ю жидкоссть вооб-ражаем мой однорродной неесжимаем мой жид-костью ю, движущ щейся в ппласте с коэффи-циенто ом прониццаемости k'f, меньш шим k. Среднее С з значение проницаеемости k'f определ ляется с помощью ю формул лы (5.19),, по котторой выч числяетсяя Ψ(s), соответстс е некотоорому срееднему давлению д ю Рисс. 5.5. Завиисимость между м от- вующее о давлени ие можноо принятьь равным м носиительной проницаемо п остью дляя рср. Это жид дкости и функцией ф Ψ(s): 1– сцее- среднем му арифм метическоому от рк и рс при и мент тированны ые пески; 2 – несцее- небольшом изм менении по пластту насы-мент тированны ые пески щенноссти s. Взяяв вычислленное Ψ(s), ( нахо-дим k'f по графикку на рис. 5.5. Хоотя формуулы Дюпю юи и (5.223) сходны между собой, этто сходсттво чистоо внешнее и они оттличаютсся по физзическому у содержанию. В действиттельности и при движ жении однородной й несжимааемой жи идкости в пласте с проницаеемостью k мы на оссновании формулы ы Дюпюи можем утверждат у ть, что дебит проп порциона-86 лен депрессии Δрс = рк – рс, независимо от величины давления рк или рс. Для газированной жидкости дебит зависит не только от депрессии Δрс, но и от величины давления рк или рс. В этом легко убедиться, если вспомнить, что средняя фазовая проницаемость k'f обусловлена значениями граничных давлений рк и рс. Следует отметить, что в действительности величина средней фазовой проницаемости зависит от целого ряда параметров для жидкости, газа и пласта. Некоторые выводы 1. Дебит газированной жидкости при прочих равных условиях всегда меньше дебита однородной несжимаемой жидкости. С повышением газового фактора при неизменяющейся депрессии Δрс дебит жидкой фазы уменьшается, а дебит газа увеличивается; при этом показатель ε растет, хотя и непропорционально G. 2. При данной депрессии Δрс и газовом факторе Г более высокий дебит будет при более высоком пластовом давлении. Это объясняется тем, что при более высоких давлениях меньшее количество пластового газа находится в свободном состоянии, чем при более низких давлениях. Следовательно, повышается фазовая проницаемость жидкости. Так как для обеспечения притока нефти к забою скважин необходимо создание депрессии Δр = рк – рс, причем с ростом депрессии дебит скважин увеличивается, то для повышения добычи более эффективным средством является увеличение депрессии за счет повышения пластового (контурного) давления рк, но не путем снижения забойного давления рс. Отмеченный факт подчеркивает большое значение своевременно принятых мер по поддержанию или повышению пластового давления в первых же стадиях разработки нефтяных месторождений. 3. Зависимость дебита жидкости и газа от депрессии, в отличие от однородной жидкости, не является линейной, хотя фильтрация каждой из фаз газированной жидкости принимается следующей линейному закону фильтрации. Таким образом, искривление индикаторной линии при фильтрации газированной жидкости еще не означает наличия отклонений от линейного закона фильтрации. Индикаторная кривая для реальной газированной нефти имеет меньший наклон, чем кривая для идеальной газированной жидкости. Это указывает на то, что для реальной жидкости существуют добавочные сопротивления при фильтрации, не учтенные в идеальной жидкости. 4. Рассмотрение нестационарной фильтрации газированной жидкости показывает, что начальный период (первые месяцы) неустановившейся радиальной фильтрации газированной жидкости в условиях режима растворенного газа характеризуется высокими дебитами жидкости и газа. Величина дебита жидкости 87 быстро уменьшае у ется с теч чением времени. в Темп пад дения деб бита газа меньше,, чем темп п паденияя дебита жидкости ж . В дальнейш шем темп п паденияя дебита жидкости ж и резко ууменьшаеттся и на-ступает период п оттносителььно стаби ильной до обычи, ноо абсолюттная вели ичина де-бита жид дкости неевелика (уменьша ( ается на порядок). п Темп пад дения деб бита газаа в этот пеериод вреемени ум меньшаетсся гораздо медлен ннее, чем темп пад дения де-бита жид дкости. Газовый Г ф фактор сн начала реезко возррастает, д достигая в скором м времени максимуума, затем м постепеенно умен ньшается. 5.5. Фильтра Ф ция вод донефтян ной смеси и мно огофазн ной жидк кости Исскусственн ное завод днение неефтеносны ых пластоов, осущеествляемо ое нагне-танием воды в в плласт, привводит к необходим н мости изуучать дви ижение см меси воды ы и нефти в пласте. Движени ия водонеф фтяной см меси в плаасте наблю юдается также т при и наличии в пласте природноой воды. Сюда С относится сввязанная ((реликтоввая) вода;; подошвеенная вода, занимаающая ни ижнюю чаасть пласста; краеввая или контурнаяя вода, перрвоначально располагающааяся за контуром к нефтеноссности и в после-дующем вытесняю ющая нефтть к скваж жинам. Поороды, из которыхх сложены ы продукттивные пласты, моогут бытьь нефтес-мачиваем мыми (ги идрофобны ыми) и воодосмачи иваемыми и (гидрофи ильными). Наибо-лее расп пространеены водоссмачиваем мые поро оды; в ни их реликттовая вод да как бы ы прилипаеет к стен нкам пороовых канаалов. Выссокая насыщенность реликттовой во-дой и сл лужит веероятным признакком водо-смачиваеемости пород, тогд да как неф фтесмачи-ваемость проявляеется в ни изкой нассыщенно-сти рели иктовой водой. в Оттделение той или и иной жид дкости (н нефти, воды) в сеттке поро-вых канаалов обуссловлено насыщенностью и характери истикой смачиваем с мости. Резу ультатом опытов Л Левереттаа явилисьь кривые, представл п ленные на рис. 5.6 6. По оси и абсцисс отложены ы значен ния водон насыщен-ности s в проценттах, по осси ординаат – отно-сительнаяя фазоваяя проницаеемость дл ля воды и Рис. 5.6. Зависимоссть относиттельных нефти в процента п ах. Каждаая кривая отвечаетт фазовыхх проницаем мостей дляя нефти и определеенному зн начению парамеетра α = воды отт водонасыщенности s при πΔL/dΔp,, где π – давлениее вытеснеения в см м разных значениях з п параметра α (по рт. ст., ΔL Δ – длин на колонкки песка в см, d – Левереттту) средний диаметр д п поровых каналов в см и Δpp –перепад д давлени ия в см рт. р ст. Парраметр α пропорц ционален капилляр рным си-лам, проотиводейсствующим м прохож ждению оттдельныхх капель н нефти чер рез поры ы песка. 88 Для одномерного потенциального движения несжимаемой водонефтяной массы без учета массовых сил и фазовых превращений справедливо равенство dϕ u= , где u– суммарная скорость фильтрации смеси, dr ⎛k k ⎞ ϕ = ∫ ⎜⎜ в + н ⎟⎟dp + C (5.24) μ μ н⎠ ⎝ в Здесь kв и kн – фазовые проницаемости воды и нефти, соответственно; μв и μн – коэффициенты вязкости воды и нефти. Расчеты, относящиеся к одномерному потоку смеси воды и нефти, выполняются по ранее рассмотренным формулам однородной жидкости. При движении газированной жидкости в пластах содержатся обычно три фазы компонента смеси: нефть, газ и вода. В таком случае имеем поток многофазной жидкости. На основании экспериментов можно считать, что относительная фазовая проницаемость в многофазном потоке почти не зависит от вязкости жидкости, ее плотности, внутрижидкостного натяжения, градиента давления и пористости среды. В то время как вязкость существенно не влияет на относительную проницаемость, отношение величин вязкости жидких фаз, присутствующих одновременно в потоке, значительно влияет на состав текущей смеси. 5.6. Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде. Основные допущения этой теории состоят в следующем: • жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми); • жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда – недеформируемой; фазовые переходы отсутствуют; коэффициенты вязкости фаз постоянны; • относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности; • гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы). • Полная система уравнений. Основываясь на этих допущениях, выведем полную систему уравнений двухфазной фильтрации в однородной пористой среде с учетом капиллярных и гравитационных сил. • В случае прямолинейно-параллельного течения вдоль оси х (рис.5.7) уравнения неразрывности (5.9) для фаз принимают вид ∂σ ∂u2 ∂σ ∂u1 = = • −m , m . (5.25) ∂х ∂t ∂х ∂t 89 Риис. 5.7. Схем ма одномеррной двухф фазной филльтрации с учетом сиилы тяжессти Обообщенный й закон Дарси (5.100) сводиттся к уравнениям фаз. u1 = − k ⎛ ∂p ⎞ k1 (σ)⎜ 1 − ρ1 g s sin α ⎟ , μ1 ⎝ ∂x ⎠ u2 = − k ⎛ ∂p ⎞ k 2 (σ)⎜ 2 − ρ 2 g sin s α⎟. μ2 ⎝ ∂x ⎠ (5.26)) Здессь α – уггол наклона оси х к горизонту (рис. 5.8); ρ1 и ρ2 – плотности и Неи известныее характерристики течения т σ, u1, u2, p1 и p2 зависят от координак ты х и врремени t. Ураавнения (55.25), (5.226) с учеттом допол лнительных соотн ношений образуют о т замкнутуую систем му для сллучаев ли инейного течения, являющууюся осн новой дляя решенияя задач вы ытесненияя одной жидкости ж другой. Характерн Х ной особеенностью ю данной системы с я является т что еёё можно свести то, с к одному ууравнению ю для на-сыщенноости. Знан ние распрределенияя насыщенности в пласте поозволяет проанали изироватьь эффективность вы ытеснени ия нефти или газа несмеши ивающейсся с ними и жидко-стью. m ∂σ ∂f (σ) + u (t ) + ∂t ∂x (5.27)) k ∂ ⎡ ⎤ ⎛ ' ∂σ ⎞ k ( σ ) p + Δ ρ g s sin α f ( σ ) ⎜ ⎟ 2 к ⎥ = 0, μ 2 ∂t ⎢⎣ ∂x ⎝ ⎠ ⎦ где u=u1+u2; Δρ=ρ2-ρ1; функция Баклея-Л Леверетт та или фуннкция расспределенния потокков фаз k1 (σ) ; (5.28)) f (σ σ) = k1 (σ) + μ 0 k 2 (σ) μ μ0 = 1 μ2 . Ураавнение (5.27) ( преедставляеет собой сложное нелинейн ное уравн нение па-раболичееского ти ипа второгго порядкка и точн ное решен ние получчено лиш шь для не-которых сравнитеельно проостых часттных случ чаев. Нач чальные и гранич чные усл ловия. Пр ри решен нии конкрретных задач дляя уравнени ия изменеения насы ыщенностти должны ы быть сф формулиррованы со оответст-+ 90 вующие граничные и начальные условия. В качестве начального условия задаются значения неизвестной функции σ в зависимости от пространственных координат при t = 0. Можно считать, что при t = 0 насыщенность всюду постоянна (например, σ = σ*). В случае вытеснения нефти водой естественно задать на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея) расход закачиваемой воды и равенство нулю скорости фильтрации нефти; из последнего условия вытекает, что k2 = 0, следовательно, на этой поверхности σ = σ*. На выходе из пласта возможно два варианта граничных условий. 1. Можно пренебречь градиентом капиллярного давления по сравнению с ∂рк = 0 при x=L, откуда следуградиентом давления в фазах, т.е. считать, что ∂х ет, что ∂σ = 0 при x = L. (5.29) ∂х 2. Экспериментально установлено, что вода не вытекает из гидрофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока её насыщенность не достигнет значения σ*. В момент достижения значения σ* вода прорывается из пласта с сохранением на выходе этого значения насыщенности. Это явление получило название концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному нелинейному граничному условию на выходе. Дифференциальное уравнение второго порядка для насыщенности (5.27) можно упростить путем учета только одного вида сил (гравитационных или капиллярных) и получить, соответственно, две различные модели: Модель Рапопорта−Лиса. Для прямолинейно-параллельного вытеснения уравнение для насыщенности без учета силы тяжести было впервые получено в 1953 г. американскими исследователями Л. Рапопортом и В. Лисом. Поэтому модели двухфазной фильтрации с учетом капиллярных эффектов называют обычно моделями Рапопорта–Лиса. Дифференциальное уравнение для насыщенности в данной модели – параболического типа. Модель Баклея−Леверетта. Без учета капиллярных сил двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении. Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил известны как задачи (модель) Баклея – Леверетта. Задачи вытеснения такого типа в одномер91 ной постановке изучены достаточно полно. Уравнение насыщенности задач данного типа принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка. 5.6.1. Задача Баклея−Леверетта и ее обобщения В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением процесс вытеснения допускает простое математическое описание. Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея − Леверетта. В рассматриваемом случае большое значение имеет так называемая функция Баклея − Леверетта или функция распределения потоков фаз f(σ), которая имеет простой физический смысл. Действительно, данная функция представляет собой отношение скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости, и равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз. Таким образом, функция Баклея–Лаверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения нефтегазоконденсатонасыщенности по пласту. Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции f(σ) в направлении увеличения полноты вытеснения. Вид кривых функции f(σ) и ее производной / f (σ) показан на рис.5.8. С ростом насыщенности f(σ) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерной особенностью графика f(σ) является наличие точки перегиба σп, участков вогнутости и выпуклоРис. 5.8. Вид функции Баклея–Леверетта и её произсти, где вторая производная f//(σ), соответственно, водной больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея – Леверетта. Вид Зависимость функций f(σ) и f/(σ) от отношения вязкостей фаз μ0=μ1/ μ2 показана рис. 5.9. Из данного рисунка следует, что с ростом отношения вязкостей кривая f(σ) сдвигается вправо и эффективность вытеснения возрастает. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость нагнетаемой воды, может значительно увеличить нефтеотдачу. 92 Физзической особенноостью модели дву ухфазногоо вытеснеения Бакл лея – Ле-веретта является я зависимоость скоррости расп пространения нассыщенноссти от еёё величины ы. Это яввление наззывается дисперси ией волн. При П 0 ≤ σ ≤σп бол льшие на-сыщенноости расп пространяяются с большими б и скоросттями, а п при σп< σ ≤1 ско-рость распростран нения по остоянно-го значен ния насыщ щенности и начина-ет уменььшаться. П Последнеее приво-дит к том му, что, н начиная с некото-рого мом мента врремени, распредер ление наасыщенноости окаазываетсяя многознаачным (ри ис.5.10, кривая к 1–– 2–3–4–5). В облассти данно ого участ-ка одном му и том му же знаачению х соответсттвуют три значен ния насы-щенности и σ: σ1, σ2 и σ3, что ч физи-чески неевозможноо, так каак в каж-дом сечеении плааста в лю юбой мо-Рис. 5..9. Графикии функции Баклея– Левереетта (а) и её произвоодной (b) длля размент вреемени мож жет сущеествоватьь личныхх отношенний вязкост ти μ0 только од дна насыщ щенностьь. Даннаяя неоднозн начность устраняеется вве-дением скачка насыщ щенности и (рис.5.11, отрезокк 1–3–5). Скорость С ь распросттранения скачка при п этом м равна скорости распространенияя насыщен нности. Н Необходим мо отме-тить, чтоо в действвительноссти мате-матическкий скачоок насыщ щенности и не имеетт места. Он появвляется в решении и вследсттвие пренебреже-Рис. 5..10. Устранение многгозначност ти расния капи иллярным ми силами и, за счетт пределления насыщ щенности введением скачка которых появляеттся некото орая “пе-реходнаяя зона” вб близи фроонта вытееснения, в которой й насыщен нность иззменяетсяя непрерывно. В об бщем слуучае неодномерногго вытесн нения, а также т при и учете сж жимаемо-сти одноой из фазз рассмоттренная заадача ужее не свод дится к од дному ур равнению ю для насы ыщенностти. Необхходимо совместно с о определлять давлление и насыщенн ность. Чи исленныее решенияя таких заадач могу ут быть поолучены ллишь на ЭВМ. Э 93 5.6.2. Задача Рапопорта – Лиса Учет капиллярного скачка давления рк, который задается в виде известной эмпирической функции насыщенностей, приводит к теории следующего приближения – модели Рапопорта – Лиса. При этом пренебрегаем силой тяжести. Действие капиллярных сил проявляется в основном вблизи фронта вытеснения, где градиенты насыщенности велики. Эти силы приводят к “размазыванию” фронта, поэтому при учете капиллярных сил скачок насыщенности отсутствует и насыщенность изменяется непрерывно. Тем не менее, экспериментально было обнаружено существование так называемой стабилизированной зоны насыщенности, которая перемещается, не изменяя своей формы, и распределение наРис. 5.11. Распределение насыщенности в стабилизированной сыщенности в ней при постоянной скорозоне сти вытеснения – стационарно. В теории Баклея – Лаверетта (при пренебрежении капиллярными силами) стабилизированная зона моделируется скачком. Модель Рапопорта – Лиса позволяет определить ширину данной зоны l (рис. 5.11) и распределение насыщенностей по ней. Вопросы для самопроверки 1. Гомо- и гетерогенные системы. 2. Насыщенность порового пространства i –й фазой. 3. Скорость фильтрации i –й фазы. 4. Закон Дарси для i –й фазы. 5. Зависимость относительных проницаемостей от насыщенности. 6. От каких параметров зависит относительная проницаемость? 7. Что такое капиллярное давление, и от каких параметров оно зависит? 8. Почему сумма относительных проницаемостей меньше 1? 9. Нарисуйте диаграмму для определения границ преобладания потоков различных фаз при трехфазном течении. 10. Как зависит функция Леверетта от насыщенности в случае насыщения и пропитки? 11. Уравнения неразрывности для двухфазного потока в случае сжимаемых и несжимаемых сред. 12. От каких параметров зависит капиллярное давление? 13. Что такое недонасыщенная нефть? 14. Условия существования газированной нефти. 94 15. Общее дифференциальное уравнение одномернного потока капельножидкой фазы, растворенного и свободного газа газированной жидкости. 16. Массовая растворимость газа в жидкости. 17. Объемный газовый фактор. 18. Объемная растворимость газа в жидкости. 19. Закон Генри растворимости газа в жидкости. 20. Чему равно значение равномерной насыщенности? 21. Объемный коэффициент нефти. 22. Как зависит растворимость от давления? 23. Определить дебит газированной жидкости по формулам гомогенной. 24. Отличие формулы для определения дебита газированной жидкости от формулы Дюпюи по физическому содержанию. 25. Взаимосвязь дебитов газированной и гомогенной жидкостей. 26. Зависимость дебита газированной жидкости от величины пластового давления. Физическое объяснение. 27. Отличие индикаторной диаграммы газированной жидкости от гомогенной. 28. Особенности поведения дебитов и газового фактора для газированной жидкости во время пуска скважины. 29. Классы пород по степени смачиваемости. 30. Допущения теории одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде. 31. Функция Баклея – Леверетта или функция распределения потоков фаз. 32. Граничные условия для уравнения изменения насыщенности. 33. Сущность концевого эффекта. 34. Модель Рапопорта – Лиса. 35. Модель Баклея – Леверетта. 36. Вид функции Баклея–Леверетта и её производной. 37. Физический смысл функции Баклея–Леверетта. 38. Характер изменения функции Баклея–Леверетта в зависимости от изменения относительной вязкости. 39. Дисперсия волн. 40. Физическая природа скачка насыщенности. 41. Стабилизированная зона насыщенности. 95 6. ОСНОВЫ ФИЛЬТРАЦИИ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ При очень малых перепадах течение жидкостей в пластах, как отмечалось ранее, не подчиняется закону Дарси и поведение жидкости аномально. Данная аномальность связана с физико-химическим взаимодействием фильтрующихся жидкостей с материалом пористой среды, а сами жидкости при этом получили название неньютоновские. Кроме этого, наличие нелинейной связи тензора скоростей деформации с тензором напряжения может проявляться и в ряде других случаев. Так повышенное содержание в нефтях высокомолекулярных компонентов (смол, асфальтенов, парафина) приводит к проявлению неньютоновских свойств флюидов при их фильтрации. Развитие методов воздействия на природные залежи с целью увеличения нефте- и газоконденсатоотдачи приводит к значительному расширению ассортимента веществ, закачиваемых в продуктивные пласты. Многие из этих веществ (высокомолекулярные соединения, полимеры) не обладают свойствами ньютоновских жидкостей. Поэтому рассмотрение особенностей фильтрации неньютоновских систем приобретает самостоятельное значение. Для простоты будем рассматривать нелинейные законы фильтрации, описывающие только безинерционные движения при условии, что фильтрующиеся жидкости обладают неньютоновскими свойствами. 6.1. Реологические модели фильтрующихся жидкостей и нелинейные законы фильтрации Течение ньютоновской жидкости описывается законом Ньютона: du , (6.1) τ=μ dy где du/dy – градиент скорости в направлении перпендикулярном направлению течения х. Зависимость между τ и du/dy является в этом случае прямой линией, проходящей через начало координат (рис. 6.1, кривая 2). Жидкости, не подчиняющиеся закону трения (6.1), называются аномальными или неньютоновскими. Неньютоновские жидкости можно разбить на три класса: 1. Стационарно реологические жидкости – касательное напряжение зависит только от градиента скорости: ⎛ du ⎞ τ = f ⎜⎜ ⎟⎟ . (6.2) dy ⎝ ⎠ 2. Нестационарно реологические жидкости – связь между τ и du/dy зависит от времени действия напряжений 96 ⎛ du ⎞ d (6.3)) τ = f ⎜⎜ , t ⎟⎟ . d ⎝ dy ⎠ 3. Вязкоупру В угие жидккости – среды, обл ладающие свойстввами как твердого о тела, такк и жидко ости, а таккже спосо обные к частичном ч му восстаановлению ю формы ы после сн нятия нап пряжений й. Для такких сред зависимость меж жду касаттельными и напряжениями и градиенттом скоро ости более сложнаая; она вкключает производп ные по времени в к напряж как жений, таак и гради иента скор рости Среди ненью ютоновски их жидкоостей пер рвого клаасса, описсываемых х уравне-нием (6.22), можноо выделитть три тип па: 1. Вязкоппластичные жидкоости, дляя которыхх уравнен ние (6.2) имеет и вид д du 1 (6.4)) = (τ − τ 0 ) при τ>τ0 , dy μ du при τ≤ττ0 . =0 dy Графичееское представлен ние этой й зави исимости, называаемое рееологиче-ской й кривой й, привед дено на рис. 6.1 (кри ивая 4). В равенствво (6.3), кроме к ко-эфф фициента вязкости и μ, входит такжее посттоянная τ0, назывваемая наачальным м (или и пределььным) наапряжени ием сдви-га. Считаетсся, что прри τ≤τ0 жидкость ж ь Рис. 6.1. Зависиимость кассательногоо ет себя как к твердоое тело и течениее напрряжения τ от о градиеннта скороссти: веде утствует. Это объ ъясняетсяя наличи-жид дкость: 1 – дилатант тная; 2 – ньью- отсу тоноовская; 3 – псевдоплаастичная; 4 – ем у покооящейся вязкопластичной й вязкоопластичная жид дкости пространс п твенной жесткой й структурры, сопроотивляющ щейся любому нап пряжению ю τ, менььшему τ0. Когда τ становиттся больш ше τ0, струуктура раззрушается. 2. Псевдопла П астичныее жидкоссти. Эксп периментты показаали, что для рядаа сред связь междуу напряжеением сдввига и градиентом м скоростти в логар рифмиче-ских кооординатахх оказываается на некоторо н м участке линейн ной с угло овым ко-эффициеентом от 0 до 1. Пооэтому длля описан ния такихх сред исп пользуетсяя степен-ная зависсимость n ⎛ du ⎞ (n < 1), (6.5)) ⎟⎟ , τ = k ⎜⎜ ⎝ dy ⎠ где k и n поостоянны для данн ной жидко ости; коээффициен нт k – мер ра конси-стенции жидкости и; отличи ие показаттеля n от единицы ы характерризует стеепень от-клоненияя данной жидкостти от нью ютоновско ой. Типич чная реоллогическаая криваяя (6.4) псеевдопласттичной жидкости ж приведен на на ри ис. 6.1 (крривая 3).. Модельь 97 псевдопластичной жидкости применяется, в частности, для описания движения растворов и расплавов полимеров. Указанные реологические соотношения можно привести к ньютоновскому виду путем введения понятия кажущейся вязкости μ*, как отношения касательного напряжения к градиенту скорости: τ μ* = du . dy Для псевдопластичной жидкости, как следует из (6.4), эта величина ⎛ du ⎞ ⎟⎟ μ = k ⎜⎜ ⎝ dy ⎠ сти. * n −1 и так как n<:1, то μ* убывает с возрастанием градиента скоро- 3. Дилатантные жидкости описываются степенным уравнением (6.4), но при n>1. Кривая течения представлена на рис. 6.1 (кривая 1). У этих жидкостей кажущаяся вязкость μ* увеличивается с возрастанием градиента скорости. Модель дилатантной жидкости хорошо описывает свойства суспензий с большим содержанием твердой фазы. В зависимости от вида неньютоновской жидкости по-разному записывается и закон фильтрации. Так закон фильтрации вязкопластичной жидкости (6.3) в пористой среде записывается в виде: r μr u u>0; (6.6) gradp = − u − γ k u u=0, gradp ≤ γ , τ где γ ~ 0 – – предельный (начальный) градиент. k В соответствии с (6.5) скорость фильтрации u отлична от нуля только в тех областях, где ⏐gradp⏐>γ (рис. 6.2, кривая 1). Модель фильтрации с предельным градиентом следует рассматривать как некоторую идеализацию реальных течений аномальных нефтей в пластовых условиях, для которых реологическая кривая имеет вид кривой 2 на рис. 6.2. Для сравнения на рис. 6.2 показана диаграмма ньютоновской жидкости по закону Дарси (кривая 3). В основе проявления неньютоновских свойств пластовых систем лежат различные физические механизмы, но все неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т.е. с малой проницаемостью. Это определяет особенности неньютоновской фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями наибольшего проявления неньютоновских эффектов. 98 Рис. 6.22. Индикат торные линии: 1 – линейная аппроксимация неньютоно н овской жидкоссти; 2 – рееальная неньют тоновская жидкость; ж ; 3 – нью ютоновскаяя по закону Дарси Так в пласстах со сллоистой неодноро одностью ю пределльные граадиенты различны р ы для разн ных про-пласткков – чем м больше проницаеемость, тем т мень-ше преедельный й градиен нт γ, и нааоборот. В связи с этим, пропласттки будутт последовательно о вклю-чатьсяя в работу у по мерее того, каак градиен нт давле-ния буудет преввышать вееличины соответсттвующихх пределльных граадиентов сдвига. Н Наряду с рассмотре р енным закконом фил льтрации и (6.6), описываающим течение вязкопластичной й жидкоости в по ористой среде, с раассматриввают сте-пенной й закон фильтраци ф ии: r n u = −C gra adp gra adp , гд де С – экссперименттальная кконстантаа; n>0. Степенной й закон, соответсттвующий й псевдо-пласти ичному флюиду ф (6.4), хоорошо оп писываетт движение раствворов поллимеров в пористой среде и использууется при и расчете “полимеррного” зааводненияя пластов с целью повыше-ния их нефтеотдачи. 6.2. Од дномерн ные зад дачи фил льтрации вязкоп пластичной жид дкости Дви ижение ан номальны ых нефтей й в пластаах по закоону (6.5) приводитт к суще-ственным м особенностям разработки р и этих пл ластов, нее встречаающимся в случаее фильтрац ции по заакону Даррси. Уст тановивш шееся теечение вязкоплас в стичной жидкоссти. Расссмотрим м плоскораадиальны ый притокк к скваж жине при условии выполнеения сооттношенияя (6.4): dp p μ = u + γ (u>0)); (6.8)) drr k dp p ≤ γ, (u=00). drr Реш шая (6.9) относител о льно скоррости и пеереходя к дебиту, получим формулуу притока,, обобщаю ющую формулу Дю юпюи. dp k ⎛ dp Q ⎞ > γ. (6.9)) − γ ⎟ , если u= = ⎜ dr 2 πrh μ ⎝ dr ⎠ u=0, если и dp/dr≤γ. 99 Считая давления на забое скважины и на границе пласта постоянными (р(rc)=рc; р(rк)=рк), после интегрирования (6.10) находим: μQ r (rc ≤ r ≤ R к ) , (6.10) p(r ) = pc + γ (r − rc ) + ln , 2 πkh rc 2 πkh (Δpc − γRк ) при Δpc > γRк ; Q= (6.12) Rк ⎞ ⎛ μ ln⎜ rc ⎟⎠ ⎝ (Δpc = рк − рс ). Q=0 при Δpc < γR к Формулы (6.11), (6.12) представляют, соответственно, распределение давления в пласте и дебит скважины. Из формулы (6.11) видно, что часть разности давлений в виде линейного слагаемого с угловым коэффициентом γ теряется на преодоление предельного градиента сдвига. При Q→0, как следует из (6.11), давление не постоянно (как в случае фильтрации по закону Дарси), а изменяется по линейному закону. При тех же условиях наличие предельного градиента давления в пласте ведет к уменьшению дебита скважины по сравнению с фильтрацией по закону Дарси (формула Дюпюи), а индикаторная линия скважины Q(Δрс) – прямолинейная, но не проходит через начало координат, а отсекает на оси депрессий отрезок, равный γRк (рис. 6.3а). В случае слоистого пласта с гидродинамически изолированными пропластками, т.е. при отсутствии перетоков между слоями с разными проницаемостями, для дебита в каждом пропластке справедлива формула (6.12), но своими значениями толщин, проницаемости и начального градиента. Индикаторная линия в этом случае представляется ломаной (рис. 6.3b). Неустановившаяся фильтрация вязкопластичной жидкости. Дифференциальные уравнения для определения давления при упругом режиме работы пласта можно получить, дополняя закон фильтрации с предельным градиентом (6.5) уравнениями неразрывности и соРис. 6.3. Индикаторные линии при плосстояния флюида. Описанным в разделе корадиальном течении вязкопластичной 5 подходе получим следующее уравнежидкости: а – однослойный пласт; b – ние пьезопроводности: трёхслойный пласт ⎡⎛ ⎤ γ ⎞ ∂p ⎟ gradp ⎥ , gradp > γ , (6.13) = ædiv ⎢⎜⎜1 − ⎟ ∂t gradp ⎠ ⎣⎢⎝ ⎦⎥ где æ – коэффициент пьезопроводности. Уравнение (6.13) служит основой для построения нелинейной теории упругого режима вязкопластичной жидкости. Вместе с тем следует иметь в виду, 100 что при решении и нестационарных задач наа основе модели м ф фильтраци ии с пре-дельным м градиен нтом в плласте обраазуется переменна п ая областть фильтр рации, наа границе которой (пока ( онаа не дости игнет гран ницы плааста) модууль градиента дав-ления доолжен раавняться предельн п ому град диенту γ, а давлен ние – нач чальномуу пластовоому. Если и рассмоотреть зад дачу о пууске скваажины с постоянн ным деби итом при и фильтрац ции вязкоопластичн ной жидккости с пр редельны ым градиеентом, то получим м из решен ния уравн нения (6..13) следуующую зависимос з сть забой йного даввления отт времени: 1 ⎛ 3Qμæt ⎞ 3 Qμæt Qμ Qμ ⎟⎟ + . (6.14)) ln pc = p к − n − γ⎜⎜ 6 πkh πkhγrc3 hγ ⎠ 2 πkh ⎝ πkh В даанной фоормуле лоогарифми ический член играает основную рольь при ма-лом врем мени, когд да преоблладают уп пругие си илы. При больших значенияях време-ни закон н движени ия границ цы возмущ щенной области о подчиняеттся степен нному за-кону. Тааким обраазом, при и некоторрых значеениях парраметров оказывается, чтоо основноее значени ие имеет степенноой член, так т что закон з пад дения даввления наа забое сквважины изменяетс и ся с логаррифмичесского на степенно с й. Следоввательно,, при болььших врееменах ви ид кривы ых изменения забоойного д давления рс(t) при и фильтрац ции с преедельным м градиенттом существенно изменяетс и ся по сраввнению с фильтрац цией упругой жид дкости, чтто позвол ляет обнааружить в пластоввых усло-виях прооявление предельн п ого гради иента давл ления. 6.3. Образова О ание зас стойных зон при и вытесн нении не ефти водой в Ваажный эф ффект фи ильтрации с пре-дельны ым градиеентом даввления – возмож-ность образован о ния в плассте застой йных зон н (движеение жид дкости илли газа оттсутству-ет), пр ри гради иенте даввления меньшего м о предел льного. Возникнов В вение засстойных зон з ведетт к умен ньшению нефтеоттдачи плаастов. Наа Рис. 6.4. 6 Схемы образованния застоййрис. 6..4,а застоойная зон на 3, расп положен-ных зоон а – меж жду двумяя добываю юежду двум мя добыввающими и скважи-щими скважинам ми; b – прри пятитоо- ная ме и дебитам ми, затемн нена. При и чечнойй расстаноовке скваж жин (1 – наа- нами с равными фтяных м месторож ждений с гнетат тельная скважина; 2 – добы ы- разработке неф вающаая скважинна; 3 – зонаа застоя) поддер ржанием пластовог п го давлен ния путём м закачки и воды тооже обраазуются заастойныее зоны. Наа рис. 6.4,,b привед дена схем ма вытесн нения с пяятиточечн ной систеемой рас-положен ния скваж жин. Анализ возниккающего при этом м двумерн ного течен ния пока-зывает, что ч в зонаах 3 (рис. 6.4b) сккорость теечения буудет малаа по сравн нению соо 101 скоростями течения в областях, прилегающих к прямым, соединяющим нагнетательную и добывающие скважины. Поэтому эти зоны и окажутся застойными. Отношение незаштрихованных областей на рис.6.4b ко всей площади пятиточечной ячейки можно считать площадным коэффициентом охвата пласта заводнением. Величина застойной зоны и коэффициент охвата пласта зависят от параQμ метра λ = , где Q – дебит добывающей скважины; L – характерный размер kγL (например, половина расстояния между соседними скважинами). Коэффициент охвата пласта увеличивается с увеличением параметра λ. Вместе с тем следует отметить, что для установления чистого эффекта изменения коэффициента охвата из-за предельного градиента давления применительно к реальному месторождению необходимы исследования, позволяющие исключить влияние ряда других причин, связанных с деформацией горных пород, неоднородностью пласта, физико-химическими явлениями и т.п. Вопросы для самопроверки 1. Закон Ньютона и его графическое представление. 2. Классы Неньютоновских жидкостей. 3. Стационарно реологические жидкости. 4. Нестационарно реологические жидкости. 5. Вязкоупругие жидкости. 6. Виды стационарно реологических жидкостей. 7. Вязкопластичные жидкости. 8. Псевдопластичные жидкости. 9. Дилатантные жидкости. 10. Закон фильтрации вязкопластичной жидкости. 11. Степенной закон фильтрации. 12. Уравнение притока для вязкопластичной жидкости и его отличие от уравнения Дюпюи. 13. Уравнение пьезопроводности для вязкопластичной жидкости. 14. Описать изменение забойного давления во времени в случае вязкопластичной фильтрации. 15. Образование застойных зон при вытеснении нефти водой. 102 7. УСТА АНОВИВ ВШАЯСЯ Я ПОТЕН НЦИАЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ (ДВ ВУХМЕРН НАЯ) ФИ ИЛЬТРАЦ ЦИЯ Основная проблема п разработтки нефтее-водо-газзоносных пластов – расчетт притока к одной или и группе соверш шенных скважин. с Точные ррешения,, как пра-вило, окказываютсся весьмаа сложны ыми и гро омоздким ми. При рразработкке проек-тов в насстоящее время исспользуютт численн ные мето оды, связаанные с довольно д о большим ми затраттами как финансо овыми, таак и врем менными и. Для оц ценочных х целей и получени п ия выражений для определеения деби итов мож жно примеенять бо-лее просстые приб ближенны ые, но вмеесте с тем м достаточ чно точны ые методы ы расчета. Это меттоды, исп пользующ щие аппар рат функкции ком мплексногго перемеенного и свойстваа уравнен ния Лаплааса. При разрабо отке нефттяных и гаазовых месторожд дений (НГ ГМ) возни икает дваа вида задаач: 1. Зад даётся деебит скважин и трребуется определи ить необхходимое для д этогоо дебита заабойное давление д и, кроме того, даввление в любой л точчке пластта. В дан-ном случ чае велич чина деб бита опрееделяется значением предеельной дл ля имею-щихся кооллектороов депресссией, при которой ещё не наступаеет их разр рушение,, или проч чностным ми характтеристикаами скваж жинного оборудова о ания, или и физиче-ским смы ыслом. Этто означаает, напри имер, неввозможность устан новления нулевогоо или отри ицательноого забойн ного давлления. и требуется опрееделить д 2. Заадаётся заабойное давление д дебит. По оследний й вид услоовия встреечается наиболее н ч часто в пр рактике разработк р ки НГМ. Величина В а забойногго давлен ния опред деляется условиям ми эксплууатации. Например, давле-ние долж жно бытьь больше давленияя насыщения для предотвра п ащения дегазации д и нефти в пласте или и выпаадения коонденсатаа при раззработке ггазокондеенсатныхх месторож ждений, что ч сниж жает прод дуктивныее свойствва скважи ин. Након нец, если и возможен вынос песка п из пласта п на забой скважины, то скороссть фильттрации наа б менььше некотторой преедельной величины ы. стенке сккважины должна быть Следуует отмети ить, что при эксп плуатации и группы ы сккважин в одинаковвых условвиях, т.е. с одинакковым за-боойным давлением, дебит вссего местторождени ия растётт меедленнее увеличен ния числаа новых сскважин с теми жее заабойными и условияями (рисс.7.1). Уввеличениее дебитаа прри этом трребует по ониженияя забойногго давлен ния. Рис. 7.1.. Зависимоссть суммарнного дебит та от Для решения р поставлленных задач нео обходимоо числа сккважин реешить зад дачу пло оской ин нтерферен нции (нал ложения)) сккважин. Преедположи им, что пласт п – неогранич н ченный, горизонта г альный, имеет и по-стоянную ю мощность и неп проницаем мые подо ошву и крровлю. П Пласт вскр рыт мно-жеством совершеенных сквважин и заполнен з однородн ной жидккостью ил ли газом. 103 Движение жидкости – установившееся, подчиняется закону Дарси и является плоским. Плоское движение означает, что течение происходит в плоскостях, параллельных между собой, и картина движения во всех плоскостях идентична. В связи с этим разбирается течение в одной из этих плоскостей – в основной плоскости течения. 7.1. Метод суперпозиции (потенциалов) Решение задач будем строить методом суперпозиции (наложения) потоков и методами теории функций комплексного переменного. Метод суперпозиции заключается в следующем. При совместном действии в пласте нескольких стоков (эксплуатационных скважин) или источников (нагнетательных скважин) потенциальная функция, определяемая каждым стоком (источником), вычисляется по формуле для единственного стока (источника). Потенциальная функция, обусловленная всеми стоками (источниками), вычисляется путём алгебраического сложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции. Суммарная скорость фильтрации определяется как векторная сумма скоростей фильтрации, вызванная работой а б каждой скважины (рис.7.2b). Рис. 7.2. Схема векторного сложения Пусть в неограниченном пласте скоростей фильтрации в произвольной действует n стоков с положительным точке М при работе нескольких источмассовым дебитом G и источников с ников и стоков отрицательным дебитом (рис. 7.2a). Поток в окрестности каждой скважины в этом случае плоскорадиален и потенциал G ϕi = i ln ri + C i , (7.1) 2π h где i – номер скважины; ri – расстояние между некоторой точкой пласта М и центром скважины под номером i. Пользуясь методом суперпозиции, определяем потенциал сложного потока: 1 ϕ = ∑ ϕi = (7.2) ∑ G i ln ri + C , 2π h n где Ñ = ∑ C i . i =1 Зависимость (7.2) физически означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника-стока накладываются друг на друга. Так как пласт 104 предполагается неограниченным, то потенциал на бесконечности равен бесконечности. В центрах стоков-источников (ri=0) потенциал также равен бесконечности. Если жидкость несжимаема, то в зависимости (7.2), вместо массовых дебитов, можно использовать объёмные дебиты Q. Для определения уравнений эквипотенциальных поверхностей (изобар) следует иметь в виду, что во всех точках этих кривых значение потенциала (давления) должно оставаться неизменным. Таким образом, приравнивая (7.2) некоторой постоянной, получаем: (7.3) ∏ riG i = C1 , i где П – знак произведения; С1 – постоянная. Если дебиты всех скважин равны по величине, то ∏ risign ( G i ) = C1 , (7.4) i где обозначение sign означает знак параметра Gi. Линии тока образуют семейство кривых, ортогональных изобарам. Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу произвольной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах вводятся фиктивные стоки или источники за пределами пласта. Фиктивные скважины, в совокупности с реальными скважинами, обеспечивают необходимые условия на границах, и задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Данный метод называется методом отображения источников и стоков. Формула (7.2) – основная в решении задач интерференции скважин. 7.1.1. Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной Пусть сток О1 и источник О2 равнодебитны, т.е. имеют одинаковые по модулю массовые дебиты G. Расстояние между источником и стоком равно 2а. Исследуем поток от источника к стоку. Проведём ось 0х через точки О1 и О2 Рис. 7.3. Схема расположения истаким образом, чтобы точка О1 находилась точника 01 и стока 02 от начала координат 0 на расстоянии а1, а точка О2 на расстоянии а2 (рис. 7.3). По формуле (7.2) определим потенциальную функцию потока. При этом учтем знаки дебитов: источник G 1= – G, а сток G 2= + G. После подстановки получим 105 r G (7.5)) ln 1 + C , 2π h r2 где r1 и r2 – расстояни р ия любой точки пл ласта до стока с и иссточника,, соответ-ственно. Ураавнение иззобар (7.44) при этоом будет иметь и вид д r1 (7.6)) = C1 r2 и соответсствует оккружностяям, центр ры кото-ры ых распол ложены на н прямой й, проход дящей че-реез центры ы скважин н (рис.7.4)). Среди окружноо сттей есть одна, о имею ющая бессконечно большой й делит раасстояниее раадиус – прямая, п к которая меежду скважинами и всю п плоскостьь теченияя поополам. Половина П а всех окрружностеей конеч-ноого радиу уса R = a 1a 2 расп положенаа по однуу стторону отт этой пряямой, осттальные окружноо стти – по др ругую. Рис. 7..4. Фильтррационное поле п Семей йство лин ний тока оортогонал льно изо-источника и стоока баарам и, сл ледователльно, в даанном слу учае тожее оккружности. Все ли инии токка проход дят черезз сток и источник. и Центры всех окрружностей й линий тока т расп положены ы на пря-мой, деляящей расстояние между м стооком и иссточником м пополам м (рис.7.4 4). Масссовый деебит эксп плуатациоонной и нагнетате н ельной сккважин пр ри их со-вместной й деятелььности оп пределяетсся на осн нове соотн ношения (7.5), рассписанно-го для каждой сккважины при учете отношеений ради иусов (ри ис.7.3): наа контурее r r й скважины – 1 = c ; наа контуре нагнетаттельной скважины с ы эксплуаттационной r2 2a r 2à – 1 = . Решая, полученн ную систеему уравн нений, им меем r2 rc π h (ϕ í − ϕ ý ) G= . (7.7)) 2a ln rc Массоваая скоростть фильтррации в любой л точ чке пластта M (рис..7.2) нахо одится поо правилу суперпоззиции сложения векторов в скорости и от действия исто очника и стока Мод дуль масссовой скоррости i-ой й скважин ны равен ϕ= 106 r ρu = r 2 ρu 1 r Ga , ρu = πhr1r2 G dϕ G r , ρu i = = , / ρu = dr 2πhr 2πhri r 2 r r + ρu 2 + 2 ρu 1 ρu 2 cos(Θ 2 − Θ1 ) / (7.8) Для поддержания пластового давления часто используется нагнетание воды в пласт. Для однородной несжимаемой жидкости определим время движения частицы по кратчайшему пути между нагнетательной и эксплуатационной скважинами, то есть по оси 0х. При жестководонапорном режиме решается при этом вопрос о времени, прошедшем от начала закачки воды в пласт до начала её прорыва в эксплуатационную скважину. Чтобы решить указанную задачу, выразим скорость в (7.8) через производную расстояния по времени и, поместив начало координат в сток О1, проинтегрируем полученное уравнение по х от х0 до х. Тогда время движения частицы от некоторой точки х0 до точки х определится зависимостью πhm ⎛ x 3 − x 30 2 2⎞ ⎜ ⎟ t= ax ax − + (7.9) 0 ⎟. ⎜ Qa ⎝ 3 ⎠ Время обводнения Т, т.е. время прохождения частицы расстояния О1О2= 2а определится из (7.9), если принять х=0; х0=2а 4 πhma 2 , (7.10) T= 3 Q где Q – объёмный дебит. Зная Т, можно найти площадь обводнения ω, приравнивая объёмы TQ и 4 mhω. Откуда ω = πà 2 . (7.11) 3 Анализ формул (7.9) и (7.10) показывает, что расстояние, пройденное частицей за время Т от нагнетательной скважины до эксплуатационной, вдвое больше расстояния пройденного другой частицей за это же время в положительном направлении оси х. 7.1.2. Приток к группе скважин с удаленным контуром питания В большинстве практических случаев контур питания находится довольно далеко. Поэтому решения данной задачи позволяют провести предварительную оценку однородных участков месторождений. 107 Рис. 7.5. Схема группы скважин в пласте с удаленным контуром питания Пусть в пласте расположена группа из n скважин (рис. 7.5) с различными дебитами Gi, забойными потенциалами pi и радиусами скважин ri. Расположение скважин задано и на достаточно большом удалении находится контур питания, форма которого неизвестна, но известен порядок расстояния rк от контура питания до группы скважин. При этом rк намного больше расстояния между скважинами. Считаем, что потенциал контура ϕк и забойные потенциалы скважин ϕi. заданы. Для определения дебитов используем формулу (7.2) при помещении точки М на забое каждой скважины, что позволяет запи- сать n – уравнений вида n ⎤ 1 ⎡ G ln r + G ln r (7.12) ∑ j ji ⎥ + C , ⎢ i ci 2π h ⎣ j=1,i ≠ j ⎦ где rci – радиус скважины, на которую помещена точка М; rji – расстояние между i – й и j – й скважинами; ϕci – забойный потенциал i-й скважины. Неизвестных же – n+1, так как константа С тоже неизвестна. Для нахождения С воспользуемся условием ϕ=ϕк на удалённом контуре питания: 1 n (7.13) ϕê ≈ ∑ G j ln rê + C . 2π h j=1 Приближение заключается в том, что для удаленных точек контура питания от скважин принимаем одно и то же расстояние rк, что справедливо для достаточного удаления контура, учитывая, что оно находится под знаком логарифма. Уравнение (7.13) и будет (n+1) уравнением. Таким образом, плоская задача интерференции при удалённом контуре питания сводится к решению алгебраической системы уравнений первой степени (7.12), (7.13). При помощи данной системы можно находить или депрессию при заданном дебите, или получить значения дебитов при заданных депрессиях. При найденных дебитах можно определить пластовое давление в любой точке по (7.2), причем результат будет тем точнее, чем дальше эта точка отстоит от контура питания. ϕñi = 108 7.1.3. Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания Пусть в полосообразном пласте пробурена одна скважина с центром в точке О1 на расстоянии а от прямолинейного контура (ось у) бесконечного протяжения, на котором поддерживается постоянный потенциал ϕк. На скважине радиуса rc поддерживается постоянный потенциал ϕс. Найдём дебит скважины G и распределение функции ϕ. Так как контур питания пласта 0у является эквипотенциальной линией, то все линии тока, сходящиеся в центре скважины О1, должны быть перпендикулярны к прямой 0у (рис.7.6). Для определения поля течеРис. 7.6. Схема притока к ния добьёмся выполнения граничных условий скважине с прямолинейным на контуре введением фиктивного источника контуром питания О2 с дебитом, равным дебиту стока О1, путём зеркального отображения данного стока относительно прямой 0у. Таким образом, используем ранее упомянутый метод отображения и задачу о потоке в пласте с прямолинейным контуром питания и с одиночной эксплуатационной скважиной сведём к ранее рассмотренной в разделе 7.1.17. задаче о фильтрационном потоке от источника к стоку. Отличие данных задач только в постановке граничных условий: в задаче раздела 7.1.1. источник питания – нагнетательная скважина, а в данном случае – прямолинейный контур, а источник О2 фиктивный. Используем для определения дебита выражение (7.10), но со следующей заменой граничных условий: ϕ = ϕк при r1 = r2 ,т.е. при r1/r2 = 1; ϕ = ϕс при r1 = rс , r2 ≈ 2а, т.е. при r1/r2 ≈ rс /2а. Подставляя последовательно соответствующие граничные значения ϕ, r1 и r2 в равенство (7.10), получаем два уравнения, определяющих потенциалы на контуре и забое. Из этих уравнений легко находится массовый дебит одиночной скважины в пласте с прямолинейным контуром 2π h (ϕ ê − ϕ ñ ) G= . (7.14) 2a ln rc Если бы в пласте была нагнетательная скважина, то в формуле (7.14) достаточно только изменить знак правой части. 109 7.1.4. Приток к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы Данная задача может возникнуть при расположении добывающей скважины вблизи сброса или около границы выклинивания продуктивного пласта. В этом случае реальную скважину-сток зеркально отображают относительно непроницаемой границы, и дебиту скважины – отображения приписывают тот же знак, что и дебиту реальной скважины. При притоке к двум равнодебитным скважинам скорость фильтрации на непроницаемой границе будет направлена вдоль границы, т.е. граница является линией тока, и фильтрация через неё отсутствует. Дебит скважины определяется из уравнений (7.12) и (7.13) для n=2 в пласте с удалённым контуром питания: 2π h (ϕ ê − ϕ ñ ) . (7.15) G= rê2 ln rc 2à 7.1.5. Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания В естественных условиях контур питания имеет произвольную форму и её не всегда удаётся определить. Кроме того, часто не удаётся определить достаточно точно и расстояние а от скважины О1 до контура. Можно ли в этом случае пользоваться формулой предыдущего раздела? Любой произвольный контур В находится между прямолинейным Впр и круговым Вкр (рис.7.7). Расчеты дебитов, проведенные для этих двух крайних разновидностях контуров, показывают: 1. При вычислении дебита скважины форма внешнего контура пласта не имеет сколько-нибудь существенного значения. 2. Чем дальше от внешнего контура пласта находится скважина, тем меньший дебит она имеет. Однако так как величина расстояния входит под знаком логарифма, то даже значительное изменение этого расстояния мало влияет на величину дебита Рис. 7.7. Схема видов кон3. В случае расположения скважины эксцентуров питания трично относительно контура поток можно считать плоскорадиальным и дебит рассчитывать по формуле Дюпюи, если rк.>103 rc и эксцентриситет а1< rк /2. Таким образом, для практических расчетов точное знание формы и расстояния до контура питания необязательно, но порядок расстояния до контура питания должен быть известен. 110 7.1.6. Пр риток к бесконе ечным цепочкам ц м и кол льцевым м батареям скв важин При и рационаальной си истеме раззработки нефтяны ых месторрождений й скважи-ны распоолагают обычно о в виде ряд дов, расставленныхх вдоль коонтура неефтегазо-носности и и контуура питания. Эти и линии называют н тся батарреями или и рядами и скважин. Без болльшой поогрешностти можно о считатьь дебит скважин в каждом м ряду оди инаковым м, если в каждом к ряяду скваж жины нахходятся в одинаковвых усло-виях. Дебиты же скважин в разныхх рядах бу удут отли ичаться дрруг от дру уга. Наи-больший й дебит имеет и перрвый ряд,, ближайш ший к коонтуру пи итания, а по мерее удаленияя дебит ум меньшаеттся. Поэтоому число о одноврременно рработающ щих рядовв редко прревышаетт два-три,, и послед дующие ряды вкллючаютсяя по мерее прибли-жения коонтура неефтегазон носности. Когда во ода подош шла к перрвому ряду, то он н выключаается и вкключаетсяя один из следующ щих рядовв и так даллее. В эттом случаае число неизвестн н ных уменььшается от о числа сскважин n до чис-ла рядовв N (обыч чно число рядов нее превыш шает 2-4), что значи ительно упрощает у т решениее задачи пункта п 7.11.2. При иток к ск кважинам м кольцеевой бата ареи. Пуссть центрры скважи ин распо-лагаютсяя в верш шинах праавильногоо n-уголььника, т.кк. что сквважины образуют о т кольцевуую батареею радиусса а (рис. 7.8). Контур питаания удаллён от сквважин наа р расстояни ие, значи ительно п превышаю ющее ра-д диус батаареи, и тоггда можн но считатьь, что всее с скважины ы равноуд далены отт контураа питанияя н расстояние rк. Будем на Б счи итать, что о на кон-т туре питтания поддерживаается по остоянноее з значение уре сква-потенциаала ϕк и на конту ж потен жин нциал постоянен и равен ϕс. В дан-н постаановке, слледователльно, надо ной о решитьь з задачу о плоском п т течении к n точеч чным сто-к кам, разм мещённым м равномеерно на окружноо Р 7.8. Сххема кольцеевой Рис. бат тареи с радиу сти уса а. Дляя получени ия формуулы дебитта скважи ин воспользуемся ф формулой й (7.2): G ϕ= l ri + C , (7.15)) ∑ ln 2π h где G – массовый деб бит любой й скважин ны батарееи, rj – раасстоянияя от неко-торой тоочки пластта до всехх n скважин; h – то олщина плласта. Гран ничные условия: у на контууре питани ия ϕ=ϕк=const, при и rj=rк; на контууре скважи ины ϕ=ϕс=const, при п r1=rс; rj(j≠1)=2aa sin[(n-1) 1)π/n]. 111 Используя данные граничные условия, преобразуем формулу (7.15): G ϕê = ln rên + C , (7.16) 2π h n −1 ⎡ G jπ ⎤ n −1 (7.17) ϕñ = ln ⎢(2a ) rc ∏ sin ⎥ + C . 2π h ⎣ n⎦ j=1 В последнем выражении n −1 jπ n (7.18) ∏ sin n = n−1 . 2 j=1 Тогда (7.17) перепишется в виде G ϕñ = ln na n −1rc + C (7.19) 2π h и из (7.16), (7.19) получим выражение для определения дебита скважины 2π h (ϕ ê − ϕ ñ ) . (7.20) G= rên ln n −1 na rc Формула (7.20) справедлива при любом целом n. В частности, при n=1 имеем выражение типа формулы Дюпюи для определения дебита при плоскорадиальном потоке: 2πh (ϕ ê − ϕ ñ ) G= . (7.21) rê ln rc Формула (7.20) – приближенная. Её можно применять в случае, если размеры пласта во много раз больше площади внутри окружности батареи скважин, например, при водонапорном режиме, когда жидкость можно считать несжимаемой. Если же в пласте установился режим растворенного газа, то трудно ожидать, что площадь, занятая газированной жидкостью, простирается до границ пласта. Если расстояние до контура незначительно превышает радиус батареи, то, строго говоря, следует воспользоваться более точной формулой: 2πh (ϕ ê − ϕ ñ ) . (7.22) G= rê2 n − a 2 n ln n −1 n na rc rê Эта формула при n=1 переходит в формулу определения дебита эксцентрично заложенной одиночной скважины (а – эксцентриситет скважины). В большинстве практических случаев можно пользоваться формулой (7.20), так как уже при rк=10а дебиты, подсчитанные по формулам (7.20) и (7.22), различаются не более чем на одну тысячную процента. ( 112 ) Опрределим дебит д батаареи, умн ножив фор рмулу (7..20) на чи исло скваж жин в ба-тарее n: 2πh (ϕ ê − ϕ ñ ) ϕê − ϕñ . (7.23)) n= G áàò = ⎡⎛ rê ⎞ n a ⎤ lnn ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ à ⎠ nrc ⎥⎦ 2πa r 1 1 ln ê + ln n 2π h à 2π hn 2πrc Рассмотррим полее теченияя в области действвия кругоовой батаареи, То есть по-строим семейства с а линий тока и изообар. Ураввнение иззобар поллучаем изз (7.3) пу-тём пред дставлени ия радиусоов rj в поллярной си истеме кооординат ((рис. 7.8): n ⎡ 2( j − 1)π ⎤ (7.24)) ∏ a 2 + r 2 − 2ar cos ⎢ n − θ⎥ = C1 . ⎣ ⎦ j=1 Дан нное уравн нение поззволяет построить п ь поле изообар, а ли инии тока пересе-кают изообары под д прямым м углом. Пло оскость течения т ((рис. 7.9)) кольце-вой батаареи с n равнодебитными скважи-нами, раазмещенн ными в веершинах правиль-ного мн ногоугольника, деллится на n равныхх частей (секторов ( в) прямым ми линияями токаа Н, сходяящимися в центрее батареи и и деля-щими расстояниее между двумя со оседними и скважин нами попоолам. Эти и линии тока т назы ываются нейтраль-ными. Другое Д сем мейство п прямых линий л то-ка Г про оходит чеерез центтры скваж жин и де-тор, огран ниченный й двумя нейтральн Рис. 7.9. Изобаары и изолиинии тока лит сект иниями, пополам. п Это – гла авные ли-для кольцевой батареи из трёх ными ли жин скваж нии. Сем мейство изобар подразделяяется наа два подссемействаа, которы ые разгран ничиваюттся изобаарой, переесекающеей себя в центре батареи б сттолько рааз, сколькко скважи ин составлляет данн ную батар рею. Пер-вое подссемействоо изобар определяяет приток к отделльным сккважинам и пред-ставляетт собой заамкнутыее, каплеоб бразные кривые, к о описанны ые вокруг каждой й скважины. Второое семейсство – оп пределяетт приток к батареее в целом м и пред-ставляетт собой замкнутые кривые, описанны о ые вокруг батареи. Скоорость фи ильтрации и по главн ным лини иям макси имальна, а по нейттральным м линиям – минимаальна. В центре ц коольцевой батареи б с скорость ф фильтрац ции равнаа нулю, т.ее. частицаа жидкостти, наход дящаяся в точке, в которой изобара пересекап ет сама себя, с непоодвижна. Такие тоочки филььтрационн ного поляя называю ются точ-ками раввновесия и при раззработке в окрестн ностях тааких точеек образую ются “за-стойные области””. В услоовиях вод донапорного режи има в эти их областтях могутт возникатть “целикки нефти””. Зная пооложенияя точек раавновесияя в пласте, можноо 113 находить рациональные приёмы для своевременной ликвидации целиков нефти. Одним из таких приёмов является изменение режима работы скважин, заставляющее нефть целика прийти в движение в нужном направлении. Для кольцевой батареи, на основе анализа формул (7.20)-(7.23), можно сделать ряд оценок эффекта взаимодействия: • дебит изменяется непропорционально числу скважин и радиусу батареи (расстоянию между скважинами); • с увеличением числа скважин дебит каждой скважины уменьшается при постоянном забойном давлении, т.е. растет эффект взаимодействия; • взаимодействие скважин может практически не проявляться только при очень больших расстояниях между скважинами (в случае несжимаемой жидкости, строго говоря, влияние скважин распространяется на весь пласт); • с увеличением числа скважин темп роста суммарного дебита батареи замедляется (рис. 7.1), а именно, сверх определённого предела увеличение числа скважин оказывается неэффективным в виду прекращения прироста дебита. Приток к прямолинейной батарее скважин. Рассмотрим, как и в предыдущем случае, приток к батарее при удалённом контуре питания в режиме поддержания постоянного забойного давления. В отличие от круговой батареи необходимо различать два случая: • число скважин батареи нечетное; • число скважин четное. В обоих случаях дебиты скважин, равноудаленные от середины или от концов батареи, будут одинаковы, а при разной удаленности будут отличаться. Последнее вызывается неодинаковой интенсивностью влияния со стороны скважин батареи на те или иные скважины. При этом при нечетном числе скважин дебит средней скважины отличается от дебитов других скважин. Дебиты равномерно расположенных скважин можно определить общим методом с использованием формулы (7.2). Можно вывести аналогичные уравнения для любой скважины прямолинейной батареи конечной длины в пласте с прямолинейным контуром питания, но с использованием дополнительно метода отображения. В этом случае запись уравнений оказывается громоздкой из-за необходимости учета не только взаимных расстояний между скважинами, но также расстояний между скважинами и воображаемыми источниками и расстояний между этими последними. Для практических расчетов можно использовать приближенную формулу П.П. Голосова для общего дебита скважин прямолинейной батареи: • для нечетного числа скважин 2n+1, где n – любое целое число 114 G áàò = • 2πh (2n + 1)((ϕê − ϕc ) ; L2 L n ln l + ∑ ln l rc j=1 ( jσ )2 длля четногоо числа сккважин 2n 4πhn(ϕê − ϕc ) G áàò = 2 n L2 L ln + ∑ ln l σ rc j=2 j ( j − 1)σ 2 (7.25)) . (7.26)) Здессь h – толлщина плласта; σ – расстоян ние межд ду скважи инами; L – рас-стояние до д контурра. Оши ибка в оп пределени ии дебитоов по данн ным форм мулам не превышаает 3–4 % при L=100км, rс=10см, при расстояниях межд ду скважи инами 100м≤ σ ≤500м. При иведенныее формуллы можноо использзовать при и любом контуре питания,, так как проведенн п ные ранеее исследоования взааимодейсствия двухх скважин н показа-ли, что форма ф кон нтура питтания плааста мало влияет наа взаимод действие скважин. При этом м, по мерее приближ жения сквважин к контуру к п питания эффект взаимодей-ствия ум меньшаетсся, но в реальных р х условияях значитеельного уудаления скважин н от контуура питан ния погреешность определе о ния рассттояния до контура даже в 100 % нее отражаеется значи ительно на н эффектте взаимоодействияя. Для одн нородныхх пластов и жидкостей отноосительны ые измен нения деб битов сквважин, вы ызванныее эффектом м взаимоодействияя, не зави исят от фи изико-геоологическких харакктеристикк пласта и от физич ческих парраметровв жидкостти. Раассмотрим м филььтрационн ное полее (рис. 7.10), 7 под ддерживаеемое бескконечной й цепочккой равноостоящихх скважин н (требо-вание бесконеч чности прриводит к ликви-дации граничны ых эффекктов на ко онцах ба-Р Рис. 7.10. Схема С прям ямолинейноой тареи и равноде ебитности и скважин н, так какк б батареи скважин все скважины оказываю о ются в раавных ус-п к ним флю юидов). ловиях притока Дляя получен ния формуул дебитаа скважин ны бескон нечной пррямолинеейной ба-тареи воспользуем мся форм мулой (7.220) дебита скважин ны кольц цевой батаареи. По-ложим, что ч rк = L + a; a = nσ /(2π), (7.27)) где L = consst – разн ность меж жду радиусом кон нтура питтания и радиусом р м уги окруж жности ррадиусом а междуу кольцевоой батарееи а; σ = const – длина ду двумя сооседними скважин нами колььцевой баатареи. Под дставив зн начения rк , a в фоормулу (7.20), полуучим 115 G= 2π h (ϕ ê − ϕ ñ ) n σ ⎛ 2π l ⎞ ln⎜1 + l ⎟ + ln nσ ⎠ 2π rñ ⎝ = 2π h (ϕ ê − ϕ ñ ) , (7.28)) 1 nnz z ⎤ ⎡⎛ 1⎞ σ ln n ⎢⎜1 + ⎟ ⎥ + ln 2π rñ ⎢⎣⎝ zn ⎠ ⎥⎦ где z=σ / (2πl). l делу при n→∞ и учиты ывая, чтоо Перреходя в данной формулее к пред nz ⎛⎛ 1 ⎞ ⎞⎟ ⎜ lim ⎜1 + ⎟ =e, получааем форм мулу масссового дебита д скважины прямолип ⎟ nz→∞⎜ ⎝ nz ⎠ ⎝ ⎠ нейной батареи: б 2π h (ϕ ê − ϕ ñ ) G= . (7.29)) σ 2π L l + ln 2π rñ σ Здессь L – рассстояние от контурра питани ия до батаареи; σ – расстояние меж-ду скваж жинами баатареи; h – толщин на пласта.. Сум ммарный дебит д из n – скваж жин опред делится слледующим м выражеением: (ϕ ê − ϕ ñ ) G= . (7.30)) 1 σ L ln + nhhσ 2π hn h 2π rñ Дляя несжимааемой жи идкости соотноше с ние (7.355) можно переписаать черезз давлениее и объём мный деби ит (p ê − p ñ ) Q= . (7.31)) μL σ μ ln + knhhσ 2π khn h 2π rñ Ортогональная сетка, изо ображаю-щая филльтрацион нное пол ле беско-нечной прямоли инейной батареи,, изображена на ри ис. 7.11. Здесь, каак и в коольцевой батарее,, имеютсяя главныее и нейттральныее линии тоока перпеендикуляярные це-Риис. 7.17. Фиильтрационнное поле для д почке. Нейтральн Н ными лин ниями то-бескоонечной бат тареи. ка вся плоскость п ь теченияя делитсяя на бескоонечное число поллос, каждаая из кото орых являяется поллосой вли ияния од-ной из скважин, с находящеейся в сеередине расстояни р ия между двумя со оседними и нейтралььными ли иниями. Главные Г л линии тока проходят черезз центры скважин н параллелльно нейттральным линиям. Изобара, бессчисленноое множеество раз пересекаающая саама себя, отделяетт изобары внешнегго теченияя ко всей й батареи, охватыввающих ввсю цепоч чку сква-116 жин, от изобар притока к скважине, охватывающих только данную скважину. Точки пересечения граничной изобары являются точками равновесия, и они делят интервал между двумя соседними скважинами пополам. 7.2. Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений (метод Борисова) Данный метод называется методом Борисова и позволяет сложный фильтрационный поток в пласте при совместной работе нескольких батарей эксплуатационных и нагнетательных скважин разложить на простейшие потоки – к одиночно работающей скважине и к одиночно работающей батареи. Реализация данного метода достигается введением понятий внутреннего и внешнего фильтрационных сопротивлений, которые придают простейший физический смысл членам уравнений, используемых для подсчетов дебитов и значений потенциальных функций. Для выяснения этих понятий сравним формулы (7.30) или (7.31) с законом Ома I=U / R, где I – ток, U – разность потенциалов и R – сопротивление. Из сравнения видно, что фильтрационное сопротивление определяется величиной знаменателя правой части (7.30), который состоит из двух слагаемых. Если в (7.30) оставить только первое слагаемое, то оно будет выражать дебит в прямолинейно-параллельном потоке через площадь величиной nhσ на длине L. Таким образом, первое слагаемое выражает фильтрационное сопротивление потоку от контура питания к участку прямолинейной бесконечной цепочки, занятому n скважинами, в предположении замены батареи галереей. Борисов назвал эту часть фильтрационного сопротивления – внешним фильтрационным сопротивлением: L Lη èëè ρ ð = ρϕ = . (7.32) nhσ nkhσ Оставим теперь в (7.30) только второе слагаемое. В этом случае получим аналог формулы Дюпюи для суммарного дебита n скважин при плоскорадиальном течении и в предположении, что каждая скважина окружена контуром питания длиной σ. Таким образом, второе слагаемое выражает местное фильтрационное сопротивление, возникающее при подходе жидкости к скважинам. Появление этого сопротивления объясняется искривлением линий тока у скважин и, по Борисову, оно получило название внутреннего 1 σ η σ . (7.33) ln èëè ρ′ð = ln ρ′ϕ = 2πnh 2πrc 2πnkh 2πrc На внешнее и внутреннее фильтрационные сопротивления разделяется также полное фильтрационное сопротивление кольцевой батареи: 2π a r 1 1 ρ= ln n ln ê ; ρ′ = . (7.34) 2π hn 2π rc 2π h a 117 Здессь ρ выраажает филльтрацион нное сопр ротивлени ие потокуу от конту ура пита-ния к колльцевой батареи б раадиуса а в предпол ложении,, что потоок плоскорадиален н / и батареяя заменен на галерееей. Внутрреннее соп противление ρ – ээто сопротивлениее плоскораадиальногго потокаа от вообрражаемого о контураа окружноости длин ной 2πа/nn к скважи ине. Вели ичина 2πа/n а – длин на дуги сеектора рад диуса а, ккоторый содержит с т одну из скважин с б батареи. Рис. 7..12. Схема одной батареи Рис. 7.13 Электриическая схема од дной батарреи Электрическая схемаа в случ чае одно ой батарреи (рис..7.12) им меет вид д (рис.7.133). На рисс.7.12 заттемнены области о вн нутреннего сопроттивления.. Рассмоотрим слуучай при итока к n эксплууатационн ным и нагнета-тельны ым батарееям скваж жин и со-ставим м схему сопроттивлений. Предпооложим, что скваж жины i – й баттареи имееют забой йные по-тенциаалы ϕсi ((i = 1,...,n), пластт имеет контурны ые потенц циалы ϕк1 а b Рис.7.14. Схема С n-бат тарей с двуумя контуррами пи( 7.144). Пусть ϕк1 > ϕк2. и ϕк2 (рис. тания: а) линейные л б батареи; b кольцевы b) ые батареи и Очевид дно, потоок от кон нтура пи-тания к первом му ряду скважин н будет чаастично перехваты двигатьсся ко вто-ываться пеервой баттареей и частично ч рой. Потток ко втоорой батаррее будетт частично перехваатыватьсяя второй батареей, б , частичноо двигатьься к треттьей и т.д д. Этому движени ию отвечаает развеетвленнаяя схема фи ильтрациоонных соп противлений (рис.. 7.15). 118 Рис. 7.15. Элект трическая схема n-ба атарей с дввумя контур урами питания Расч чет ведеттся от кон нтура с большим б потенциа п алом к коонтуру с меньшим м м потенциаалом, а соопротивлеения расссчитываю ются по заввисимосттям: • прямолинейнаая батареяя Li σ 1 (7.35)) ln i ; ρi = ; ρ′i = k i hσ i 2πh 2πrci • круго овая батаррея r σi 1 1 (7.36)) ln i −1 ; ρ′i = l ln , ρi = ri 2πh 2πh 2πrci где Li – рассттояние меежду батаареями (д для i = 1 – L1 = Lк11); ri – рад диусы ба-тарей (длля i = 1 – r0 = rк); ki – число скважин в батареее. Далльнейший расчет ведется, в к для эл как лектричесских развветвленны ых цепей,, согласноо законам Ома и Ки ирхгоффаа: • n н ес-∑ G i = 0 - алгеббраическая суммаа сходящиихся в узлле дебитоов равна нулю, i =1 ли считаать подход дящие к узлу у деби иты полож жительны ыми, а отхходящие – отрица-тельным ми. ′ • ∑ G i ρ i + ∑ G i ρ i = ∑ ϕ i - алгеб браическаая сумма произвед дения дебитов наа сопротиввления (ввключая и внутрен нние) равн на алгебрраической й сумме потенциап лов, дейсствующихх в замкн нутом кон нтуре. При и этом и дебиты д и потенциалы, сов-падающи ие с прои извольно выбранны в ым направвлением обхода о коонтура, сч читаютсяя положиттельными, а направвленные навстречу н у обходу отрицател о льными. Следует пом мнить, чтоо для посследоватеельных соопротивлеений ρ=Σρ Σ i, а дляя 1 1 параллелльных – = ∑ . ρ ρi 119 Если и одна изз границ непрониц цаема, то о расход через ч неёё равен ну улю, и в соответсствующем м узле схеемы филььтрационн ных сопрротивлени ий задаётсся не по-тенциал, а расход д. На рис.. 7.16 покказана сх хема в слуучае непрроницаемо ости вто-нтура, где вместо потенциал п ла ϕк2 (рисс.7.15) зад дано услоовие ΣGi = 0. рого кон Р Рис.7.16. Эл Электричес кая схема n-батарей n с двумя коонтурами ппитания (прроницаемы ым и непрон ницаемым) Пр риведенны ые форм мулы тем м точнее,, чем м большее расстояяние меж жду бата-реяями по срравнению ю с полови иной рас-сто ояния между м сккважинам ми. Если и рассстояние между скважинам ми многоо b a больше рассстояния м между баатареями,, то расчет надо н вестти по общ щим фор-Рис. 7.17. Схем ма замены соседних с баата му улам интеерференц ции скваж жин, или и рей скваж жин одной батареей б исп пользоватть другиее виды сх хематиза-ции течеения, напрример, зааменить две д близкко располооженные соседниее батареи и скважин с редким ми расстоояниями между м сккважинам ми (рис. 7.17,а) экввивалент-ислом сквважин и располож р женной посрединее ной баттареей – с суммаарным чи (рис.7.177,b). 7.3. Интерф ференция я несов вершенных сква ажин В сллучае инттерференции скваж жин несо овершенн ных по сттепени вскрытия в условияхх теченияя по закоону Дарси и вначалее определляется деебит совер ршенныхх скважин с радиуссами rс поо формулаам теории и интерфееренции д для прито ока к сто-кам и иссточникам м на плосскости, а затем фи ильтрационное сопротивлеение каж-дой скваажины увееличиваеттся на велличину коэффициентов нессовершен нства Сi (ii = 1,...,4). При исспользоваании метоода эквиввалентных фильтррационны ых сопро-тивлений й двухчлеенный заккон фильттрации наадо представить в ввиде (7.50)) Δ р = АQ + ρ ′′Q , 120 где ρ ′′ = BQ = ρ ′′(Q ) можно рассматривать как нелинейное сопротивление, добавляемое к внутреннему сопротивлению ρ. Например, в схеме фильтрационных сопротивлений для условий линейного закона фильтрации, внутренние сопротивления ρ следует заменить суммой ρ + ρ′′(Q) , где ρ′′(Q) = BQ . Дальнейший расчет ведется, как и ранее, при помощи законов Ома и Кирхгофа, но система уравнений получается уже не линейной, а содержащей квадратные уравнения, что приводит к усложнению вычислений. 7.3.1. Взаимодействие скважин Взаимодействие скважин при изменении радиуса скважин. С целью выявления влияния радиуса скважин на дебит при взаимодействии скважин сравним дебиты скважин кольцевой батареи из n эксплуатационных скважин в двух случаях: 1)скважины имеют радиус rc и 2)скважины имеют радиус хrc. Из (7.20) следует у= Gx = G1 ln Rкn − ln x na n −1 rc . Rкn ln n −1 na rc (7.53) Кроме того, рассмотрим случай, если в ценРис. 7.18. Кольцевая батарея скважин при двухзональной неод- тре батарей действует нагнетательная скважина нородности пласта с дебитом, равным дебиту батареи: n +1 ⎛ a ⎞ ⎟ − ln n ln ⎜⎜ xrc ⎟⎠ ⎝ . y= n +1 ⎛a⎞ ln ⎜⎜ ⎟⎟ − ln n ⎝ rc ⎠ Из данных зависимостей следует, что с увеличением числа эксплуатационных скважин кольцевой батареи влияние их радиуса на дебит уменьшается, если отсутствует нагнетание жидкости в пласт. Если в центре батареи находится нагнетательная скважина, то влияние радиуса скважины на дебит будет больше, чем при отсутствии центрального нагнетания жидкости в пласт. При этом радиус скважины влияет на производительность больше, чем при одиночной эксплуатационной скважине. Число скважин при этом несущественно. Таким образом, взаимодействие эксплуатационных скважин с нагнетательными повышает влияние радиуса скважин на дебит. 121 7.3.2. Взаимодействие скважин при нестационарных процессах Метод суперпозиции фильтрационных потоков используется и в задачах неустановившихся процессов при упругом режиме. Группа скважин. Так, если в пласте действует группа скважин, в числе которых имеются как эксплуатационные, так и нагнетательные скважины, понижение давления в какой-либо точке пласта Δр определяется сложением понижений давлений, создаваемых в этой точке отдельными источниками и стоками, изображающими скважины Δрj. Следовательно, ⎡ ⎛ r j ⎞⎤ μ n ⎟⎥ , Q j ⎢− Ei⎜ − Δ р = ∑ Δp j = ∑ ⎜ ⎟⎥ 4 π 4 æ t hk j =1 j =1 ⎢⎣ ⎝ ⎠⎦ 2 n (7.29) где n –число скважин; Qj – объемный дебит стока (+) или источника (-) за номером j; rj– расстояние данной точки пласта от скважины за номером j. Так как аргумент интегрально-показательной функции мал (меньше 1), то зависимость (7.29) можно переписать в виде n Δ р = ∑ Δp j = j =1 μ n 2,246æt Q j ln . ∑ 4πhk j =1 r j2 (7.30) Данная зависимость используется для расчета параметров пласта путем обработки кривой восстановления давления в случае скважины, эксплуатирующейся в течение длительного времени и остановленной для исследования. Периодически работающая скважина. В неограниченном пласте останавливается скважина, эксплуатирующаяся с постоянным дебитом Q в течении времени Т, сравнимого со временем проведения исследований. Понижение давления Δр/ в момент времени Т можно найти по формуле (7.23). С момента остановки давление в ней и окружающей области пласта повышается, т.е. с данного момента в одном и том же месте пласта как бы действуют совместно и непрерывно эксплуатационная (сток) и нагнетательная (источник) скважины. При этом источник имеет тот же дебит Q. Обозначим повышение давления за счет работы источника через Δр//. Таким образом, начиная с момента времени Т, на основании формулы (7.23) имеем: μQ ⎛ 4æ(Ò + t ) ⎞ Δp′ = − 0,5772 ⎟ , (7.31) ⎜ ln 2 4πhk ⎝ r ⎠ μQ ⎛ 4æt ⎞ Δp′′ = ⎜ ln 2 − 0,5772 ⎟ . 4πhk ⎝ r ⎠ Результирующее понижение давления Δр в любой точке пласта находится по методу суперпозиции 122 Ò t Ò+ μQ ln . (7.32)) t 4πhk Обоозначая чеерез рс даавление н на забое скважины с ы после еёё остановкки, полу-Δp = Δp′ − Δp′′ = чаем μQ t ln . (7.33)) h hk Ò+ t исимость (7.33) используе и тся при гидродин намически их исслед дованияхх Зави скважин, работаю ющих не продолжи п ительное время, методом п построени ия кривой й восстаноовления давления. p ñ = p ê + 0,1832 7.4 4. Решен ние плос ских зад дач филь ьтрации метода ами теор рии функци ий комплексногго перем менного 7..4.1. Общ щие положения теории и функци ий ко омплексн ного пер ременно ого Круг заадач, расссмотренны ых в пре-дыду ущем раззделе, моожет бытть значи-тельно расш ширен, ессли к решениям р м прим менить аппарат а теории функций й комп плексногоо перемеенного. При П этом м оказывается возможн ным иссследоватьь отдельные вопросы пллоского по отока бо-лее полно. п Раассмотрим м связьь междуу задач чами плоского филльтрацион нного по-тока и теори ией функц ций комп плексногоо перееменного. Совместтим с осн новной пл лоскостью ю течен ния плосскость коомплексно ого пере-Рис. 7.19. Ортоогональноссть изобарр и менн ного z = х + iy. Каж ждое ком мплексноее линиий тока числ ло z изобрражается в этой плоскости п и ( 7.199.). Функц цией комп плексногоо перемен нного z бу удет ком-точкой М (х, у) (рис. плексноее переменн ное F (z), если укаазан закон н, позволяю ющий поллучить зн начение F (z) no зад данному значению з ю z. Отд делив в функции ф F (z) дейсствительн ную частьь от мни имой, мож жем запи-сать F (zz) = F (х + iy) = ϕ (х х, у) + iψ (х, ( у), (7.34)) гдее ϕ (х, у) и ψ (х, у) – некотоорые функкции дейсствительн ных перем менных х и у ; i – мнимая единица. е Зад дать функкцию ком мплексногго перемеенного – значит з заадать сооттветствиее между паарами чиссел (х, у) и (ϕ, ψ). Функция Ф F (z) являяется аналлитическо ой в точкее ZM, то ест ть имеющей произвводную воо всех точ чках некотторой окррестности ZM. 123 В теории функций комплексного переменного имеются следующие положения: 7. Каждые две кривые, из которых одна принадлежит семейству кривых, определяемых уравнением ϕ (х, у) = С, а другая – семейству кривых ψ(х, у) = С* (С и С* – постоянные), пересекаются под прямым углом, т.е. два семейства кривых образуют ортогональную сетку в основной плоскости течения. 2. Функции ϕ (х, у) и ψ(х, у) удовлетворяют уравнению Лапласа, то есть ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + = 0; (7.35) ∂x 2 ∂y 2 ∂ 2ψ ∂ 2ψ + = 0. (7.36) ∂x 2 ∂y 2 Положения 1 и 2 справедливы, если выполняются такие условия: ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ . (7.37) ; = =− ∂x ∂x ∂y ∂y Условия (7.37) называются уравнениями Коши – Римана. 7.4.2. Характеристическая функция, потенциал и функция тока Представим себе, что имеем плоский фильтрационный поток любой жидкости или газа, подчиняющийся закону Дарси. При рассмотрении одномерных течений было показано, что если фильтрация протекает по закону Дарси, существует потенциальная функция ϕ, удовлетворяющая уравнению Лапласа. Но если существует потенциальная функция ϕ, то наряду с ней существует функция ψ, также удовлетворяющая уравнению Лапласа. Зная функцию ϕ, всегда можно определить функцию ψ путем интегрирования уравнения (7.37). Потенциальная функция течения определяется зависимостью основных параметров жидкости (или газа) и пористой среды от давления. Допустим, что эта зависимость однозначная; тогда можно заключить, что в основной плоскости течения линии равного давления (изобары) совпадают с эквипотенциальными линиями ϕ (х, у) = С. Но кривые ψ(х, у)=С* взаимно ортогональны с эквипотенциальными линиями. Следовательно, направление векторов скорости фильтрации будет совпадать в любой данной точке М с направлением касательной к кривой семейства ψ(х, у)=С*, то есть кривые этого семейства можно считать линиями тока. (При установившемся движении линии тока и траектории частиц жидкости совпадают). Функция ψ(х, у) называется функцией тока. Потенциальную функцию течения ϕ и функцию тока ψ всегда можно принять за действительную и мнимую части некоторой функции F(z) комплексного переменного z (7.34). Функция F (z) называется характеристической функцией течения (комплексным потенциалом). 124 Иссследован ние любогго плоскоого течен ния жидккости или и газа в пористой й среде доллжно начи инаться с определеения харакктеристич ческой фуункции, со оответст-вующей данной задаче. Наайдя ее, мы м можем м считать задачу реешенной. В самом м деле, отд делив в характерисстической й функци ии действи ительную ю часть отт мнимой,, т.е. представив еее в виде, показанно п ом формул лой (7.34)), можно определи ить потен-циальную ю функци ию ϕ (х, у) у и функцию токаа ψ (х, у). В резулььтате мож жно пред-ставить полную п каартину поотока: при инимая раазличные значенияя функции и ϕ, полу-чим ураввнения сем мейства эквипотен э нциальных х линий ϕ (х, у) = С, а прид давая раз-личные значения з ψ, найдеем уравнеения семеейства ли иний токаа ψ(х, у) = С*. Поо эквипотеенциальны ым линияям опредееляется рааспределеение давллений в пласте, п поо линиям тока т – нап правлениее движения и хараактер поляя скоросттей фильттрации. Прроекции веектора маассовой сккорости фильтраци ии на оси координаат можноо записатьь в виде: ∂ϕ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ (7.38)) =− ρu x = − =− , ρu y = − . ∂x ∂y ∂y ∂x П р и м е ч а н и е . Функции Ф тока мо ожет бытть дан слледующий й смысл. Фиксирууем некотторую линию токаа ψ(х, у) = 0 и воообразим канал, огграничен-ный циллиндрическими пооверхносттями с образующ о щими, перрпендику улярными и плоскостти течени ия, провед денными через ч лин нию тока ψ = 0 и д другую линию то-* ка ψ(х, у) = С и двумя д плоскостям ми – плосккостью дввижения и ей парал ллельной,, отстоящеей от перввой плосккости на расстояние р е, равное единице ((рис. 7.20). При рассмотре р ении дву ух произ-вол льных пооперечныхх сечени ия каналаа ω1 и ω2 вид дно, что количествво массы ы жид дкости, протекающ п щей черезз эти се-чен ния в еди иницу вреемени (рассход) бу-детт одно и то т же; вн нутри тако ого кана-ла количесттво масссы жидко ости при и усттановивш шемся движ жении изменитьсяя не может; через ч бокоовые стен нки кана-Рисс. 7.20. Расппределение потока ла, образоваанные лин ниями токка ψ = 0 и меежду двумяя параллелльными * плоскосстями 1 и 2 ψ(хх, у) = С 1, и череез плоско ости дви-жен ния жидккость не протекаеет, следо-вательноо, втекаетт жидкостти в едини ицу времеени черезз ω1 стольько, скольько выте-кает череез ω2. Фуункцией тока т мож жно назваать функкцию, приинимающуую на линии токаа * ψ(х, у) = С значение, раввное масссе жидкоссти (газа а), протеккающей в единицуу времени через попперечное сечение с к канала , по остроенноого на лииниях ψ = 0 и ψ(х, * у) = С 1. Функцияя тока опрределена с точносттью до произвольноой постояянной, за-висящей от выборра начальн ной линии и тока ψ= 0. 125 Массовую скорость фильтрации можно очень просто определить в любой точке пласта, найдя производную от характеристической функции по комплексному аргументу z. Чтобы это показать, составим полный дифференциал от характеристической функции F (z): ∂ϕ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ dF(z) = dϕ + idf = dx + dy + i dx + dy = (7.39) ∂x ∂y ∂x ∂y ⎛ ∂ϕ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ϕ ∂ψ ⎞ ⎟dy. +i =⎜ +i ⎟dx + ⎜⎜ ∂x ⎠ ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂y Вынося во второй скобке множитель i за знак скобки и воспользовавшись затем уравнениями Коши – Римана (7.37) получим: ⎛ ∂ψ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ∂ψ ⎞ +i − i ⎟⎟dy = ⎜⎜ − i ⎟⎟dx + dF(z) = ⎜ ⎟dx + i⎜⎜ ∂x ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂y ⎠ y y x ⎝ ∂x ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ − i ⎟⎟dy = ⎜⎜ − i ⎟⎟(dx + idy ) = ⎜⎜ − i ⎟⎟dz, i⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y ⎠ x y x y x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ dF ∂ϕ ∂ϕ т.е. = −i . dz ∂x ∂y (7.40) Учитывая (7.38), перепишем (7.40) в виде dF = − (ρu x ) − i(ρu y ) . (7.41) dz Из (7.40) и (7.41) следует, что производная dF/dz есть комплексное число, модуль которого равен модулю массовой скорости фильтрации: [ 2 ] 2 dF ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ = dz ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ (− ρu x )2 + (ρu y )2 r = ρu . (7.42) Таким образом, модуль производной от характеристической функции течения равен модулю массовой скорости фильтрации. Для однородной несжимаемой жидкости функция тока будет иметь значение объемного (а не массового) расхода жидкости через поперечное сечение канала, построенного на линиях тока ψ=0 и ψ=С*. Модуль же производной от характеристической функции течения будет равен скорости (а не массовой скорости) фильтрации жидкости u. 7.4.3. Характеристические функции некоторых основных типов плоского потока Исследование плоского потока методом комплексного переменного начнём с того, какие типы плоского потока соответствуют простейшим аналитическим функциям. 126 Иссследуем течения, заданныее характер ристическкими фун нкциями вида в F(zz) = Az и F(z) = Allnz. I. Пуусть хараактеристи ическая фуункция имеет вид F(z) = Azz, где z = x +iy, a A – любоее комплексное или и действи ительное число. Пусть, П на-пример, А = А1 + i A 2 . Отделим в F (z) дей йствительную частть от мним мой: F ( z ) = ϕ + iψ = A1 x − A2 y + i ( A1 y + A2 x ) . Сл ледовател льно, поттенциальн ная функ кция ϕ и функцияя тока ψ выразят-ся следу ующим об бразом: ϕ = A1 x − A2 y ; ψ = A1Y + A2 x . (7.43)) Пр риравниваая получеенное вы ыражение потенци иальной ф функции ϕ посто-янной С, найдем уравнени ие семейсства экви ипотенциальных л линий: А1х – А2y = С. (7.44)) Изз (7.44) сл ледует, что ч эквип потенциал льные ли инии – пррямые с угловым м коэффиц циентом A1/А2. Ур равнение семействва линий тока най йдем, при иравняв ввыражени ие для ψ * (7.43) по остоянной йС: А1у + А2х = С**. (7.45)) Отсюда следует, что лини ии тока – прям мые с угловым у ккоэффици иентом (-A2А1). Таким образом м, заданнаая харак-тери истическаая функц ция соотвветствуетт прямолинейн но-паралллельному у потоку. Фил льтрацион нное пооле пред дставлено о орто огональн ной прям молинейн ной сет-кой, изображ женной наа рис. 7.2 21. Р 7.21. Сеетка, изобрражающая Рис. прям молинейно-ппараллельны ый поток в напраавлении, пооказанном стрелкамии. Чтобы опредеелить массовую м ю скор рость фи ильтрации и, вычисл лим про-изво одную отт F (z) noo z. Соглаасно фор-мул лам (7.41) и (7.42). ρu x = − A1 ; ρu y = A2 ; ρu = A 12 + A22 . При А1=0–поток параллеле п ен оси 0у, а при А2=0–паралллелен осси 0х. II. а) а Пусть характери х истическаяя функци ия задана в виде: F = A ln F(z) n z, гдее А – некооторое действителььное числ ло. 127 (7.46)) Риис. 7.22. Каррта эквипоотенциалльных линиий и линий тока т Знач чит Преедставим комплекссный аргу умент z с п помощью ю полярных коoоординат так т (рис.. 7 7.22): z = х +i y = =r (coos θ + i sinn θ) = reiθ, (7.47)) где г – радиус – векттор точки и; θ – по-л лярный уггол. Под дставляя значение з z в (7.46 6) и отде-л дейсттвительнуую часть от мнимо ляя ой, полу-ч чим: F(z (z) = A In (re ( iθ) = A In r + iAθ. ϕ=Alnr; ψ=Aθ. (7.48)) Прриравниваая эти знаачения ϕ и ψ посттоянным, найдем ууравненияя эквипо-тенциалььных лини ий и лини ий тока в следующ щем виде: • для экквипотенц циальныхх линий – ν=const (7.49)) • для ли инии токаа – θ = con nst. (7.50)) Оч чевидно, эквипотен э нциальны ые линии будут коонцентричческими окружноо стями с центром ц в начале координа к ат (рис. 7.22). Лини ии тока – прямые, проходя-щие череез начало координаат. В данном случае с им меется пллоскоради иальный (сходящи ийся или расходя-щийся) поток. п Цен нтр скваж жины (стоок или истточник) находится н я в началее коорди-нат. Наайдем масссовую сккорость фильтраци ф ии, для чеего вычисслим прои изводную ю от функц ции F (7.46) по z: dF A A −iθ = = e . dz z r Этта произвводная – комплекс к сное перем менное, модуль м кооторого раавен мас-соввой скоро ости и преедставляеет собой множител м ль перед е-iθ. Следо овательно о dF A (7.51)) ρu = = , dz r то есть массовая м с скорость фильтрац ции обраттно пропоорциональьна рассто оянию отт скважины. (Точка г = 0 является особой точкой т п плоскости и; здесь ρu = ∞ и функцияя F (z) ужее не будетт аналити ической). Для плосскорадиалльного потока име-ем: G ρu = , (7.52)) 2πhr гдее G = const – массоовый деби ит; h– мо ощность пласта. п Прирравнивая правые п чаасти (7.51) и (7.52),, определи им коэфф фициент А: А 128 G . (7.53) 2πh Подставив это значение А в формулу (7.46), получим G F(z) == ln z , (7.54) 2πh где положительный дебит G соответствует случаю стока (эксплуатационной скважине), а отрицательный – случаю источника (нагнетательной скважине). Таким образом, функция (7.54) характеризует плоскорадиальное движение жидкости или газа в однородном горизонтальном пласте неограниченной протяженности. Скважина предполагается гидродинамически совершенной. A= II. b) Пусть характеристическая функция имеет вид: G F(z) = ln(z − à ) , (7.55) 2πh где а = а1 + ia2. Это значит, что особая точка, в которой помещается точечный сток или точечный источник, сдвинута в направлении оси 0х на расстояние а1., а в направлении оси 0y на расстояние a2, и следовательно, центр поперечного сечения скважины находится не в начале координат, а в точке а = а1 + ia2. Если представить комплексное переменное z-а в полярных координатах, то получим F ( z) = ( ) G G G G iθ , ln(z − а) = ln reiθ = ln r + 2πh 2πh 2πh 2πh (7.56) где r – расстояние любой точки плоскости потока не до начала координат, а до особой точки а = а1 + ia2, в которой помещается сток или источник; θ– полярный угол с вершиной в этой особой точке. В соответствии с формулами (7.48) и (7.56) G G ϕ= ln r; ψ = θ. (7.57) 2πh 2πh П р и м е ч а н и е . Потенциальная функция ϕ и функция тока ψ определяются с точностью до произвольной постоянной. В формулах (7.57), выражающих ϕ и ψ, опущены произвольные постоянные, но их надо учитывать при определении дебита. III. Пусть в основной плоскости течения имеется несколько точечных стоков и источников (несколько эксплуатационных и нагнетательных скважин). Потенциальную функцию течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками ϕ, можно определить по методу суперпозиции, описанному в параграфе 7.1, как алгебраическую сумму потенциальных функций течений, под129 держиваемых отдельными стоками и источниками, если бы каждый из них был единственным в пласте. На основании первого равенства (7.57) запишем n n G j ϕ = ∑ϕj = ∑ ln rj , (7.58) j=1 j=1 2πh где Gj – массовый дебит стока или источника за номером j; rj – расстояние любой точки плоскости потока до этого стока или источника; n – число стоков и источников. Метод суперпозиции основан на известных свойствах уравнения Лапласа, которому подчиняется потенциал ϕ, а именно, сумма частных решений уравнения Лапласа есть решение этого уравнения. В то же время существование потенциальной функции ϕj означает существование наряду с ней функции тока ψj, соответствующей каждому стоку и источнику. Функция ψj удовлетворяет уравнению Лапласа; следовательно, по отношению к функции тока можно применять метод суперпозиции. Функция тока ψ для течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками, определится аналогично потенциалу сложного потока: n n G j ψ = ∑ψ j = ∑ θj . (7.59) j=1 j=1 2πh Характеристическая функция сложного потока, согласно формулам (7.34), (7.58, 7.59), определится уравнением: n n G n j F(z) = ϕ + iψ = ∑ (ϕ j + iψ j ) = ∑ (ln r j + iθ j ) = ∑ Fj (z). (7.60) j=1 j=1 2πh j=1 где Fj (z) – характеристическая функция, соответствующая стоку или источнику за номером j, находящемуся в точке аj-: Gj Gj iθ (7.61) Fj (z) = ln r je j = ln (z − a j ). 2πh 2πh ( ) 7.4.4. Характеристическая функция течения при совместном действии источника и стока В разделе 7.1.6. подробно исследовалось семейство изобар в случае потока от нагнетательной скважины к эксплуатационной. О линиях тока было замечено, что они образуют семейство окружностей, ортогональных изобарам. Уточним вопрос об особенностях семейства линий тока на основе метода теории функций комплексного переменного. 130 Риис. 7.23. Сххема распол оложения источника и 01 и стока 02 Соохраняя прежние п о обозначен ния и при идерживааясь рис. 7.23, пол лучим наа основани ии формуул (7.60) и (7.61) характери истическуую функц цию течен ния от на-гнетателььной скваажины к экксплуатац ционной G G F( z ) = ln (z − a 1 ) − ln (z − a 2 ) = . (7.62)) 2πh 2 πh z − a1 r1e iθ1 G G ln = l ln = 2πh z − a 2 2πh r2 e iθ2 гдее r1 и r2– расстояни р ия некоторой точки и М до иссточника 01 и стокка 02 , со-ответстввенно, θ1 и θ2 – сооттветствую ющие пол лярные угглы; М – модуль массового м о дебита сттока и истточника. Оттделяя в (7.62) дей йствительн ную частть от мним мой, полу учим r G G (7.63)) ln 1 + i F( z ) = ϕ + i ψ = (θ1 − θ 2 ) , 2πh r2 2πh Оттсюда: r G G (7.64)) ln 1 ; ψ = ϕ= (θ1 − θ 2 ). , 2πh r2 2πh Из (77.64) следуует, что уравнение у е семейсттва изобарр запишеттся в видее r1 = Ñ, r2 гдее С – посттоянное. Урравнение линий л токка получаается из второй в фоормулы (77.64): * θ1-θ2=С , (7.65)) * гдее С – посстоянное. Рассмотрим м уравнен ние (7.65). Вырази им θ1 и θ2 через ккоординатты точки и М (х, у) в соответтствии с рис. р 7.23.. y y . θ1 = arctg ; θ 2 = arctg x − a1 x − a2 Поодставив значения з θ1 и θ2 в уравнени ие (7.65) и учитыввая, что а2-a1=2a, будем им меть послле неслож жных алгебраическких преобрразований й: 131 2 2 a + a2 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ (7.66)) ⎟ + ⎜ y − ** ⎟ = ⎜x − 1 2 ⎠ ⎝ C ⎠ ⎝ 2 a2 a2 ⎛ a 2 − a1 ⎞ **2 =⎜ ⎟ + **2 = **2 C + 1 ⎝ 2 ⎠ C C ** гдее С – но овая посттоянная. Из (7.66) видно, что центры ц окружносстей им меют коо ординаты ы ⎛ a1 + a 2 a ⎞ * , ** ⎟ . Таак как абссцисса цен нтров окр ружностеей не зави исит от С ** , то онаа ⎜ C ⎠ ⎝ 2 одинаковва для вссех окру ужностей и, следоввательно, все окруужности располо-a + a2 = a 1 + a , То естть на пряямой, парраллельноой оси 0у,, жены наа прямой x = 1 2 делящей й расстоян ние межд ду стоком м и источ чником пополам. п Радиус окружноо 2 a стей R 1 = ** C** + 1 . C О Отсюда абсциссы а точек перресеченияя x1 = a1 + 2 a = a2 ; ( ) x 2 = a1 + a − a = a1 , т есть линии то л тока прохоодят череез сток и и источник . Такким образзом, лини ии тока представп л ляют соб бой окруж жности, п проходящ щие черезз ц центры обеих о сквважин, и ортогонаальны ок-р ружностя ям – изобарам. Ц Центры всех этихх о окружнос стей расп положены ы на пряямой (эк-Рис. 7.24. Фильтрационнное поле випотенц в циальной линии), делящей расстоя-источниика и стока н межд ние ду скважи инами поп полам (ри ис. 7.24). 7.4.5. Харак ктерист тическая я функция тече ения для кольцев к ой бата ареи скв важин ром j. Хаарактерисстическую ю функци ию для п стоков с прредставим м в виде: G n (7.67)) F( z ) = ∑ Fj (s) . 2πb j=1 Соогласно фоормуле (77.61), мож жно записсать G n (7.68)) F(z ) = ∑ ln(z − a j ) . 2πb j=1 Здеесь аj – комплексн к ное число, опредееляющее положение стока за номе-132 В соответствии с формулой (7.47) комплексное число аj можно представить в тригонометрической форме, заменив в (7.47) z на аj, r на а (радиус батареи). Тогда формулу (7.68) можно переписать для кольцевой батареи из n скважин в следующем виде: G n ⎡ 2 jπ 2 jπ ⎞ ⎤ ⎛ + i sin F(z) = ln ⎢z − a ⎜ cos (7.69) ⎟ = ∑ 2πb j=1 ⎣ n n ⎠⎥⎦ ⎝ = G n −1 ⎧ ⎡ z ⎛ 2 jπ 2 jπ ⎞ ⎤ ⎫ + i sin ln ⎨a ⎢ − ⎜ cos ⎟ ⎬= ∑ 2πb j=0 ⎩ ⎣ a ⎝ n n ⎠⎥⎦ ⎭ G ⎧ n n −1 ⎡ z ⎛ 2 jπ 2 jπ ⎞ ⎤ ⎫ = + i sin ln ⎨a ∏ ⎢ − ⎜ cos ⎟ ⎬, 2πb ⎩ j=0 ⎣ a ⎝ n n ⎠⎥⎦ ⎭ 2 jπ 2 jπ ⎞ ⎛ где a ⎜ cos + i sin ⎟ = a j. n n ⎠ ⎝ Целая рациональная функция вида хп – 1 может быть представлена в виде n −1 2 jπ ⎞ ⎤ 2 jπ ⎡ ⎛ n (7.70) + i sin x − 1 = ∏ ⎢ x − ⎜ cos ⎟ . n ⎠ ⎥⎦ n ⎝ j= 0 ⎣ Выражение, сходное с правой частью формулы (7.70) имеется под знаком логарифма в (7.69). Таким образом, можно представить характеристическую функцию F (z) (7.69) в виде: G ln z n − a n . F(z) = (7.71) 2πb Согласноr формулам (7.42) и (7.71) находим модуль массовой скорости фильтрации ρu : ( ) nG r n −1e i ( n −1) θ nG r n −1 r dF nG z n −1 ρu = = = = , (7.72) dz 2πb z n − a n 2πb r n e inθ − a n 2πb r1r2 ⋅ ⋅ ⋅ r n где z = reiθ; r1, r2, ..., rn – расстояния точки пласта от стоков O1, О2 , ...Оn– соответственно. В центре кольцевой батареи r = 0. Из (7.72) следует, что скорость фильтрации u здесь равна нулю. Эти точки фильтрационного поля называются точками равновесия. При разработке залежей нефти в окрестностях таких точек образуются «застойные области» – «целики нефти». Зная положения точек равновесия в пласте, можно находить рациональные приемы для своевременной ликвидации целиков нефти. Одним из таких приемов является изменение режима работы скважин, заставляющее нефть целика прийти в движение в нужном направлении. 133 Вопросы для самопроверки 1. Основные виды задач по заданию режима работы скважин. 2. Сущность метода суперпозиции. 3. Потенциал сложного потока. 4. Уравнения эквипотенциальных поверхностей. 5. Метод отображения источников и стоков. 6. Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной (выражение для потенциала, изобара, поле течения). 7. Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной (выражение для массового дебита, модуль массовой скорости, время и площадь обводнения). 8. Приток к группе скважин с удаленным контуром питания. 9. Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания. 10. Приток к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы. 11. Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания. 12. Приток к скважинам кольцевой батареи (дебит скважины и батареи). Что такое – эксцентрично расположенная скважина? 13. Приток к скважинам кольцевой батареи (поле течения, оценки эффекта взаимодействия). 14. Метод Борисова (сущность, внутреннее и внешнее сопротивления). 15. Интерференция несовершенных скважин. 16. Взаимодействие скважин в анизотропном пласте (батарея расположена во внутренней неоднородности кругового пласта). 17. Взаимодействие скважин в неоднородно проницаемом и анизотропном пластах (батарея расположена во внешней неоднородности кругового пласта). 18. Периодически работающая скважина. Уравнение КВД. 19. Влияние радиуса скважины на дебит при взаимодействии скважин. 20. Уравнения Коши-Римана. 21. Потенциальная функция и функция тока. 22. Характеристическая функция течения (комплексный потенциал). 23. Характеристическая функция прямолинейно-параллельного потока. 24. Характеристическая функция плоскорадиального потока. 25. Характеристическая функция эксцентрично расположенной скважины. 26. Характеристическая функция группы скважин. 27. Характеристическая функция источника и стока. 28. Характеристическая функция для кольцевой батареи скважин. 134 8. ОСНОВЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Теория разработки нефтегазовых месторождений располагает обширным арсеналом алгоритмов решения различных фильтрационных задач, которые призваны учитывать все основные особенности геологического строения месторождения и процессов, протекающих в пласте при добыче углеводородных флюидов. В большинстве случаев прикладные задачи разработки не имеют аналитического решения и требуют использования численных методов с применением ЭВМ. В основе всех современных методов прогнозирования показателей разработки месторождений природных углеводородов лежат численные методы интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы двухмерной или трехмерной многофазной фильтрации. Численные методы, реализуемые на мощных ЭВМ, позволяют осуществлять широкомасштабные математические эксперименты и выполнять имитационное моделирование. Математические эксперименты на ЭВМ используются в повседневной практике для исследования возможностей и эффективности новых технологий разработки, уточнения закономерностей тех или иных процессов. Воспроизведение на ЭВМ результатов лабораторных экспериментов позволяет затем на основе соответствующего алгоритма понять основные закономерности изучаемого процесса в макрообъеме, т.е. в масштабе всего месторождения. Такие обобщения нельзя получить на основе лабораторных экспериментов. Ожидание же завершения натурных экспериментов требует многих лет, а получаемые результаты, как правило, осложнены побочными, иногда необнаруженными факторами. Поэтому математические эксперименты на ЭВМ все в большем объеме используются для обоснования новых технологических решений, способствующих ускоренному внедрению достижений научно-технического прогресса. Создание комплексных адаптирующихся геолого-математических моделей разработки конкретных месторождений представляет собой соединение возможностей теории с потребностями практики. Эти модели постоянно адаптируются на получаемую в процессе разработки фактическую информацию. Поэтому они позволяют уверенно осуществлять прогнозные расчеты. Вместе с тем они дают большие возможности для имитационного моделирования. Это означает, что на ЭВМ оценивается эффективность последствий от тех или иных шагов в тактике и стратегии разработки рассматриваемого месторождения природных углеводородов. 8.1. Сущность математического моделирования Сущность моделирования процессов фильтрации флюидов в пластах заключается в определении количественной связи между дебитами и давлениями на забоях скважин и определенных контурах, скоростей и сроков перемещения 135 отдельных частиц пластовой жидкости в зависимости от формы залежи, параметров пласта, вязкости флюидов, числа и расположения скважин. При решении фильтрационных задач можно выделить прямые и обратные задачи. Прямые задачи – задачи, в которых свойства пласта и жидкостей, а также «начальные и граничные» условия считаются известными. Прямые активные задачи – задачи определения полей давлений, нефтенасыщенности и водонасыщенности в нефтяном пласте – объекте разработки с системой скважин. Знание этих полей позволяет рассчитывать технологические показатели работы нефтяных и нагнетательных скважин. Прямые пассивные задачи – определение конфигурации подвижной границы нефтяной зоны и скорости ее продвижения с целью установления сроков прорыва вытесняющего флюида в скважины и вычисления текущего коэффициента нефтеотдачи. В одножидкостной модели определение подвижной границы сводится к прослеживанию линии отмеченных частиц в однородной жидкости. Для решения задачи оценки скорости продвижения контура нефтеносности используются поле пластовых давлений, поле проницаемости, текущее положение контура водонефтяного контакта. Скорость оценивается картой линий тока. Сгущение изолиний на картах равных значений пластового давления (карты изобар) может быть вызвано двумя причинами: ухудшением проницаемости и увеличением скорости отбора жидкости скважинами. Эти два фактора можно разделить, если учесть продуктивность скважины: высокая продуктивность связана с хорошей проницаемостью пласта. По наборам карт изобар могут быть определены параметры гидропроводности и проницаемости. Наряду с прямыми задачами важное практическое значение имеют так называемые обратные задачи. Среди можно выделить «пассивные» и «активные» обратные задачи. Решение «пассивных» обратных задач направлено на распознавание объектов разработки и позволяет уточнять представления о состоянии и свойствах пластовой системы. «Активные» обратные задачи – задачи управления, регулирования процесса разработки пласта или месторождения. Математическая модель является идеализированным представлением реального месторождения, так как затруднен учет объективно имеющихся несовершенств: • нехватки исходных данных для моделирования, • зональной и послойной неоднородности, • многофазности фильтрационных потоков, • нелинейности законов фильтрации, 136 • нестационарности процессов, • различий свойств нефти и вытесняющего агента, • капиллярных и гравитационных сил, • частичной негерметичности скважин, • отклонения забоев скважин от проектных, • ограниченной долговечности скважин и случайного их выбытия, • неопределенности фактического пластового давления, • угрозы оттока нефти от эксплуатационных скважин и ее потерю, • ухудшения продуктивности нефтяных слоев при снижении забойного давления скважин ниже давления насыщения и других. При математическом моделировании необходимо также учитывать порядок разбуривания, систему размещения и режимы работы скважин, их интерференцию, наличие водонасыщенных и газонасыщенных зон пласта и другие факторы. Несмотря на имеющиеся сложности, математическое моделирование получило широкое распространение в практике построения постоянно действующих геолого-технологических моделей нефтяных резервуаров, разрабатываемых системами скважин. Известно достаточно много коммерческих систем и технологий такого назначения. Однако существуют глобальные общепризнанные проблемы, свойственные большинству исследовательских и коммерческих программных систем – «симуляторов» (от английского «simulation» – моделирование). Они будут рассмотрены ниже. Движущиеся в пласте флюиды неоднородны. При моделировании процессов вытеснения нефти водой при давлениях, выше давления насыщения нефти газом, достаточно использовать двухфазную математическую модель. При моделировании разработки нефтегазовых залежей при существенном влиянии гравитационного разделения фаз на процесс разработки, при прогнозировании эффективности процесса закачки воды и газа необходима модель трехфазной фильтрации нефти, газа и воды. Для расчета процесса разработки газоконденсатных пластов, оценки эффективности отдельных методов увеличения нефтеотдачи пластов необходимо рассматривать нефть как смесь углеводородных компонентов, т.е. использовать композиционные модели. Обязательным элементом технологии компьютерного моделирования нефтегазовых резервуаров является процедура адаптации математической модели к известной истории разработки месторождений и работы скважин. Она состоит в согласовании результатов расчетов технологических показателей предшествующего периода разработки с фактической динамикой разбуривания объектов, добычи нефти, закачки воды, пластовых и забойных давлений, обводненности продукции скважин и газовых факторов. В результате такого согласования ма137 тематическая модель, используемая для прогноза коэффициента нефтеизвлечения и технологических показателей, идентифицируется с реальными параметрами пласта. Адаптация модели позволяет уточнить фильтрационные и емкостные параметры пласта, функции относительных фазовых проницаемостей для нефти, газа и воды, энергетические характеристики пласта – поля давлений, оценки выработки запасов нефти на отдельных участках пластов. В результате адаптации модели уточняются размеры законтурной области, начальные и остаточные геологические запасы нефти и газа, проницаемость и гидропроводность пласта, коэффициенты продуктивности и приемистости, функции модифицированных фазовых проницаемостей, функции адсорбции, десорбции. Для построения геологических и фильтрационных моделей, адекватных реальным объектам, необходим большой объем достоверных исходных данных. Все известные зарубежные компьютерные системы моделирования исходят из наличия таких данных. Так, для построения геологических моделей необходимы данные сейсморазведки и их интерпретации, результаты анализов и исследований кернов, результаты исследований промысловой геофизики, их интерпретации, данные инклинометрии скважин, сведения о составах и минерализации грунтовых вод и т.д. Для построения фильтрационных моделей необходимы результаты интерпретации геофизических исследований скважин, помесячная история разработки месторождений, координаты скважин и режимы их работы, значения пластовых и забойных давлений в скважинах и другая информация. Математическая модель состояний нефтяных резервуаров и процессов в них является основной компонентой, так называемых постоянно действующих геолого-технологических моделей. По современным понятиям, такие постоянно действующие геолого-технологические модели должны объединять следующие подсистемы: • базу данных геолого-геофизической и промысловой информации; • программные средства геометризации залежей нефти и подсчета балансовых запасов нефти; • Геолого-математическую модель месторождения (залежей); • математические модели процессов разработки; • программные средства адаптации математических моделей по известной истории разработки; • программные средства оптимизации процесса и систем разработки по заданным технологическим и экономическим критериям; • базы знаний и экспертных систем для принятия решений по управлению процессом разработки; 138 • программные системы формирования отчетов и визуализации информации в форме карт, графиков, диаграмм и результатов их интерпретации. Недостаточный объем и низкое качество информации позволяют рассматривать модель процесса разработки лишь как наиболее правдоподобную при этой исходной информации. Если не планируются детальный сбор и анализ геолого-промысловой информации или ставится задача только краткосрочного прогноза технологических показателей, то применение «постоянно действующей модели» нецелесообразно и вполне оправдано использование более простых программных средств. Основными тенденциями моделирования являются учет тонких эффектов различной природы, сопутствующих процессам фильтрации, путем построения разномасштабных моделей с рассмотрением внутренней структуры процессов; построение полномасштабных математических моделей функционирования пластов без их поблочного рассмотрения; исследования в области непознанных пока явлений. 8.2. Основные проблемы гидродинамического моделирования Известно, что энергетическое состояние нефтяного или нефтегазового резервуара характеризуется полем давлений, а градиент давлений является основной движущей силой процессов фильтрации флюидов. Поэтому расчет и анализ полей давлений – обязательные атрибуты гидродинамического моделирования. Поля давлений, направления и скорости фильтрации флюидов необходимо также анализировать при выборе гидродинамических регулирующих воздействий и других методов повышения нефтеотдачи, включая гидроразрыв пласта, а также при проектировании и бурении вертикальных и наклонных, горизонтальных и многозабойных горизонтально – ветвящихся скважин. Расчет полей давлений в резервуарах с произвольными системами гидродинамически взаимосвязанных скважин различных профилей представляет существенные трудности для большинства вычислительных методов и их программных реализаций. Эти трудности еще более возрастают при решении задач для резервуаров с тектоническими нарушениями. При решении задач математического моделирования полей давлений в нефтяных резервуарах с системами скважин используются две технологии: • Инженерный подход к формированию и анализу карт изобар, который может быть реализован вручную или с привлечением компьютерных технологий. В условиях реального нефтедобывающего производства карты изобар являются регламентными и формируются с периодичностью 3 – 6 месяцев. По ним производится оперативный анализ падения и роста давлений в отдельных зонах пласта, оцениваются скорости и направления фильтрации флюидов с возможными перемещениями контуров нефтеносности, производится расчет средневзвешенных 139 пластовых давлений по объемам или площадям зон отбора, нагнетания и всей залежи, а также для блоков блочных систем разработки. Процедуру формирования карт изобар можно условно отнести к графо-аналитическим методам моделирования полей давлений. Одна из основных проблем использования такого метода исследования – низкая информативность используемых исходных данных. В самом деле, для расчетов и построений карт изобар в качестве исходных данных используются, в основном, результаты обработки гидродинамических исследований специально останавливаемых скважин. Однако, сознательно недобирая остановленными скважинами нефть, за период 3 – 6 месяцев удается оценить пластовые давления не более чем для 25–40 % всего работающего фонда скважин. По этим накопившимся данным и формируется карта изобар в предположении, что все данные получены одновременно и адекватно характеризуют состояние резервуара на день её построения. Другая группа проблем связана с применяемыми методами расчета. Формирование карт изобар обычно сводится к решению классической задачи вычислительной математики – интерполяции значений математической функции – пластовых давлений, заданных в нерегулярно расположенных точках – скважинах. Однако известные методы интерполяции сплайнами, полиномами и т.п. здесь не вполне годятся, так как получаемые результаты зачастую противоречат физическому смыслу решаемой задачи. Так, например, при использовании таких формальных методов можно получить локальные максимумы пластовых давлений между нагнетальными скважинами, а минимумы – между нефтяными скважинами, но не в них. Поэтому на практике обычно используются более простые и надежные, но менее совершенные методы, основанные на триангуляции расчетной области. Такое графоаналитическое моделирование затруднено для горизонтальных и горизонтально-ветвящихся скважин, для скважин с трещинами гидроразрыва пласта, для пластов с тектоническими нарушениями. Оно неадекватно отражает поле давлений в системе работающих скважин, где изменения пластовых давлений между нефтяными и нагнетательными скважинами, в соответствии с теорией фильтрации, изменяются по логарифмическому закону и существуют «воронки депрессии», «воронки регрессии». Заметим, что и проведение даже самого простого вычислительного эксперимента, например, какое будет поле давлений, если изменить режим работы одной или нескольких скважин, по этой технологии также невозможно. • Математическое моделирование процессов фильтрации в нефтяном резервуаре с системой нефтяных, нагнетательных, пьезометрических и других скважин. Такое моделирование имеет значительно более широкие возможности и состоит в постановке и решении систем дифференциальных уравнений, описывающих 140 процессы многофазной фильтрации флюидов в пористой среде. Решение производится одним из численных методов – обычно методом конечных разностей или конечных элементов. Такое моделирование производится в условиях научных или проектных организаций с использованием исследовательских или коммерческих версий соответствующих программных систем. Они являются системообразующим элементом, так называемых постоянно действующих геологотехнологических моделей месторождений, и остаются уникальными научнотехническими разработками, а их эксплуатация по-прежнему остается более искусством, нежели ремеслом. Для математического моделирования необходим большой объем достоверных данных о геологической модели залежи, ее фильтрационных свойствах, порядке разбуривания, системе размещения, истории и режимах работы скважин, их интерференции, наличии водонасыщенных и газонасыщенных зон пласта и других факторах. Одним из основных результатов такого моделирования является расчетное поле пластовых давлений. Заметим, что расчет именно этих полей отнимает значительную часть вычислительных ресурсов компьютера: оперативную память и время работы процессора. Основные проблемы математического моделирования полей пластовых давлений в нефтяных резервуарах с произвольными системами гидродинамически взаимосвязанных скважин: 1. Привлечение математического моделирования для решения задач оптимизации систем разработки нефтегазовых месторождений требует использования гидродинамических моделей, уровень детализации которых позволяет рассматривать скважину в качестве объекта управляющих воздействий. При этом становится возможным имитировать на моделях резервуара различные гидродинамические управляющие воздействия, связанные с изменением схем закачки и отбора жидкости скважинами: перенос фронта нагнетания, изменение направлений фильтрационных потоков, использование очаговых заводнений, перераспределение отборов по рядам скважин и участкам пласта, добуривание нагнетательных и эксплуатационных скважин, переход к более интенсивным системам разработки и др. Вместе с тем для адекватного описания процесса эксплуатации месторождений, находящихся в разработке длительное время, необходимо иметь полноразмерные модели, способные имитировать работу большого числа гидродинамически взаимосвязанных скважин. Современные программные системы позволяют моделировать до 1500 – 2000 скважин, что становится недостаточно, так как ряд месторождений, например, Повховское, Мамонтовское, Самотлорское и другие месторождения Тюменской области имеют более 3500, 5000, 15000 скважин. 2. Интенсификация разработки нефтяной залежи может достигаться не только за счет создания более высоких градиентов давлений в системах нагнета141 тельных и эксплуатационных скважин, но также и снижением фильтрационных сопротивлений в их призабойных зонах. Для этих целей могут использоваться бурение и эксплуатация скважин с повышенной поверхностью вскрытия продуктивного пласта: горизонтальные, наклонные, горизонтально – ветвящиеся или многозабойные. Большое разнообразие геолого-технических условий, различное состояние разработки месторождений, условия и способы эксплуатации требуют различных профилей, числа и протяженности стволов многозабойных скважин. Для обоснованного применения горизонтальных и горизонтально– ветвящихся скважин и технологий разработки месторождений с их использованием необходимо исследование взаимодействия многозабойно-горизонтальных скважин как между собой, так и в системе с традиционными вертикальными и наклонно – ориентированными скважинами. В этих случаях расчет технологических показателей процессов разработки и моделирование фильтрационных процессов не могут быть выполнены при помощи обычных формул и моделей, применяемых для расчета взаимодействия более привычных вертикальных скважин. Поэтому создание теоретических основ проектирования разработки месторождений скважинами сложного профиля актуально и сводится, по существу, к разработке методов расчета дебитов и перепадов давлений в работе групп этих скважин. 3. Одним из наиболее эффективных методов повышения продуктивности скважин любого профиля в низкопроницаемых коллекторах является гидроразрыв пласта. При гидроразрыве в призабойных зонах нефтяных и нагнетательных скважин образуется одна или несколько вертикальных трещин, способствующих существенному снижению фильтрационных сопротивлений и увеличению притока жидкости. Оценка эффективности и влияния гидроразрыва пласта на динамику обводнения скважин связана с анализом сложных фильтрационных процессов в окрестности скважин и вблизи высокопроводящих трещин сложных конфигураций с ускоренным продвижением флюидов по ним. 4. Для большего соответствия реальности математическое моделирование надо проводить для пластов сложных конфигураций, с нетривиальными условиями на внутренних и внешних границах пласта – контурах питания, при наличии тектонических и других нарушений в строении пластов. 5. Попытки учета вышеназванных факторов при математическом моделировании нефтегазовых резервуаров сталкиваются с общими проблемами используемых вычислительных методов. Прежде всего, эти проблемы связаны с наличием у искомых решений соответствующих математических задач особых точек (в случае вертикальных и наклонно–ориентированных скважин), линий и кривых (для горизонтальных и горизонтально–ветвящихся скважин) или особых поверхностей (для фронтов вы142 теснения, различных геологических нарушений строения пласта, трещин гидроразрыва, образований макроцеликов). Так, например, для сеточных методов расчета эти особенности побуждают сгущать расчетные сетки и требуют решения проблем пересечения особых линий и поверхностей нескольких ячеек разностной сетки под произвольными углами. Это затрудняет автоматизацию постановок и решений задач моделирования, приводит к увеличению времени счета и требуемого объема оперативной памяти компьютера, ограничивает сложность решаемых задач вплоть до принципиальной невозможности их решения данным методом. Поэтому скважины сложного профиля, трещины гидроразрыва – объекты повышенной сложности для численного моделирования. Они требуют отказа от регулярных сеток и перехода к методам конечных элементов, граничных элементов, граничных интегральных уравнений и им подобным. 6. Математическое моделирование предполагает проведение вычислительных экспериментов. Они необходимы для многовариантных расчетов при адаптации (настройке) моделей по известной истории разработки месторождений и при решении оптимизационных задач. Поэтому методы расчета, алгоритмы и их программные реализации должны быть предельно быстрыми, а результаты математического моделирования должны быть надежными и физически содержательными. Это позволит математические модели использовать не только в исследовательских центрах, но и в условиях нефтедобывающего предприятия при формировании, например, карт изобар по ограниченному набору технологических параметров скважин – дебитов, приемистостей и давлений. Сформулированные выше проблемы не могут быть решены инженерными методиками и трудноразрешимы в рамках привычных математических моделей, включая известные коммерческие программные системы типа ECLIPSE, MORE, VIP и др. Их решение возможно на пути разумных упрощений постановок задач, развития известных численных и численно – аналитических методов и разработки новых подходов. Вопросы для самопроверки 1. Сущность моделирования процессов фильтрации флюидов в пластах. 2. Прямые задачи. 3. Обратные задачи. 4. Прямые активные задачи. 5. Прямые пассивные задачи. 6. Обратные активные задачи. 7. Обратные пассивные задачи. 8. Причины необходимости идеализации математической модели. 9. Область использования двухфазной математической модели. 10. Область использования трехфазной математической модели. 143 11. Область использования композиционной математической модели. 12. Сущность адаптации математической модели к известной истории разработки месторождений и работы скважин. 13. Что позволяет уточнить процесс адаптации? 14. Какие данные требуются для построения геологических моделей. 15. Какие данные требуются для построения фильтрационных моделей? 16. Для чего нужен анализ полей давления и скоростей фильтрации? 17. Инженерный подход моделирования полей давления. 18. Определение поле давления путем математического моделирования процессов фильтрации. 19. Основные проблемы математического моделирования полей пластовых давлений. 144 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Басниев В.С. и др. Подземная гидромеханика. – М. – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. − 496 с. 2. Пыхачев Г.Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. – М.: Недра,1973. – 359 с. 3. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. – М.: Изд-во нефтяной и горно-топливной лит-ры, 1963. – 396 с. 4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра, 1984. – 211 с. 5. Евдокимова В.А., Кочина И.Н. Сборник задач по подземной гидравлике. – М.: Недра, 1973. – 166 с. 6. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 736 с. 7. Костюченко С.В., Ямпольский В.З. Мониторинг и моделирование нефтяных залежей. Томск: Изд-во НТЛ, 2000. – 240 с. 145