Основы математического моделирования систем

ТЕМА 2.2: ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ 2.1. Место математического моделирования в системных исследованиях 1 2.2. Типы и виды математических моделей 5 1. Динамические модели. 5 2. модели с обратной связью. 6 3. Оптимизационные модели 6 4.Модели макрокинетики трансформации веществ и потоков энергии. 7 5. Статистические модели 7 6. Модели типа «хищник — жертва» или «паразит-хозяин» 7 7. имитационное моделирование. 8 2.3. Процесс построения математической модели 10 Этап 1. Содержательная постановка 12 Этап 2. Концептуальная постановка 13 Этап 3. Качественный анализ 13 Этап 4. Построение математической модели 13 Этап 5. Разработка компьютерных программ 15 Этап 6. Анализ и интерпретация результатов моделирования 15 2.4. Структура моделирования происшествий в техносфере 16 2.4.1. Содержательная постановка задачи 16 2.4.2. Концептуальная постановка задачи 16 2.4.3. Проверка и качественный анализ семантической модели 17 2.4.4. Математическая постановка и выбор метода решения задачи 17 2.1. Место математического моделирования в системных исследованиях Из рассмотренного ранее нам должно быть понятно, что системный анализ не есть какой-то конкретный метод. Это стратегия научного поиска, которая использует математические концепции, математический аппарат в рамках систематизированного научного подхода к решению сложных проблем. При этом так или иначе выделяется ряд последовательных, взаимосвязанных этапов (рис. 1).Рассмотрение вместо самой системы (т.е. явления, процесса, объекта) и модели всегда связано с упрощением. Главная проблема здесь – выделение тех особенностей, которые существенны для целей рассмотрения. К настоящему времени разработано множество удачных моделей, например, такие как: ◦ конечноэлементная модель для решения различных прикладных задач (статика, динамика, прочность конструкций, динамика оболочек и т.п.); ◦ генетический код; и др. Ранее нами было выделено два основных вида моделей: материальные (макеты, физические модели, масштабированные модели и т.п.) и идеальные (вербальные, знаковые). При построении моделей процессов в техносфере приходится прибегать как к так называемым интуитивным («ненаучным») моделям, так и к семантическим (смысловым). Под интуитивным моделированием подразумевают моделирование, использующее представление объекта, не обоснованное с точки зрения формальной логики. Это представление может не поддаваться, или трудно поддаваться формализации или же вообще не нуждаться в ней. Такое моделирование человек осуществляет в своем сознании в форме мысленных экспериментов, сценариев и игровых ситуаций с целью подготовки к предстоящим практическим действиям. Основой для подобных моделей служит опыт – знания и умения людей, а также любое эмпирическое знание, полученное из эксперимента или процесса наблюдения без объяснения причин и механизма наблюдаемого явления. ко Семантическое моделирование, в отличие от интуитивного, логически обосновано с помощью некоторого числа исходных предположений. Сами эти предположения нередко облекаются в форму гипотез. Семантическое моделирование предполагает знание внутренних механизмов явления. К методам семантического моделирования относятся вербальное (словесное) и графическое моделирование (см. рис. 2). Семиотическое, или знаковое моделирование является, в отличие от семантического, наиболее формализованным, поскольку использует не только слова естественного языка и изображения, но и различные символы – буквы, цифры, иероглифы, нотные знаки. В последующем все они объединяются с помощью специфических правил. К этому виду моделирования относится математическое моделирование. К знаковым моделям относятся химические и ядерные формулы, графики, схемы, графы, чертежи, топографические карты и т.п. Среди знаковых моделей выделяется их высший класс – математические модели, т.е. модели, при описании которых используется язык математики. Математическая модель (ММ) – это описание протекания процесса, описание состояния или изменения состояния системы на языке алгоритмических действий с математическими формулами и логических переходов. Кроме того, ММ допускает работы с таблицами, графиками, номограммами, выбор из совокупности процедур и элементов (последнее подразумевает использование операций предпочтения, частичной упорядоченности, включения, определение принадлежности и т.п.). Различные математические правила манипулирования со связями системы позволяют делать предсказания относительно тех изменений, которые могут произойти в исследуемых системах, когда изменяются их составляющие. Сложность формирования математической модели связана с необходимостью владения математическими методами и предметных знаний, т.е. знаний в той области, для которой создается модель. В реальности специалисту в данной практической области часто не хватает математических знаний, сведений о моделировании вообще, а для сложных задач – знания системного анализа. С другой стороны, прикладному математику трудно хорошо ориентироваться в предметной области. Следует заметить, что деление моделей на вербальные, натурно знаковые в определенной степени условно. Так, существуют смешанные типы моделей, скажем, использующие и вербальные, и знаковые построения. Можно даже утверждать, что нет знаковой модели без сопровождающей описательной – ведь любые знаки и символы необходимо пояснять словами. Часто и отнесение модели к какому-либо типу является нетривиальным. Общие и конкретные модели. Все типы моделей необходимо перед их применением к конкретной системе наполнить информацией, соответствующей используемым силам, макетам, общим понятиям. Наполнение информацией в большей степени свойственно знаковым моделям, в наименьшей – натурным. Так, для математической модели – это выделенные (вместо буквенных) значения физических величин коэффициентов, параметров; конкретные виды функций, определенные последовательности действий, графы структуры Наполненную информацией модель принято называть конкретной, содержательной. Модель без наполнения информацией до уровня соответствия единичной реальной системе называется общей (теоретически абстрактной, системной). Так, в процессе декомпозиции мы используем понятие формальной модели. Это относится ко всем типам моделей, в том числе, к математическим. Чтобы уяснить место математической модели рассмотрим процесс формирования собственно научного знания. Принято делить науки на две группы. а) точные – (скорее термин «точные» основан на вере, что открываемые закономерности являются абсолютно точными); б) описательные. Точные науки – обладают средствами предвидеть с практически достаточной точностью развитие процессов, изучаемых данной наукой на достаточно длительный (опять-таки по практическим соображениям) промежуток времени, или же предвидеть достаточно точно свойства и отношения изучаемых объектов по некоторой частичной информации о них. Описательные науки – по сути перечень фактов об изучаемых ими объектах и процессах, иногда не связанных между собой, иногда связанных некоторыми качественными отношениями, а также порой разрозненными количественными (как правило, эмпирическими связями). К точным наукам относятся математика и науки физического цикла. Остальные науки – в большей или меньшей степени являются описательными. Однако в Древнем Египте даже математика не могла быть в полной мере отнесена к точным наукам (так, геометрия была представлена как «сборник рецептов», например, вычислять площадь круга как ¾ площади описанного квадрата). Развитие науки идет параллельными путями («руслами»). Различные русла начинаются в разное время, но раз начавшись, продолжаются. 1) накопление информации об объектах изучения; (научное накопление информации отличается от стихийного целеустремленностью); 2) процесс упорядочивания информации – классификация объектов (отличие от «наивной», «потребительской» классификации – цель: обеспечить анализ, следовательно субъективизма меньше) → находятся в постоянной взаимосвязи (процесс идентификации), т.е. каждый новый объект анализируется: принадлежит ли он к уже установленным классификационным группам, или указывает на необходимость перестройки системы классификации; 3) установление связей и соотношений (качественных или количественных) между объектами. Эти связи обнаруживаются в результате постоянного анализа накапливаемой и упорядоченной информации. Эти три русла характеризуют «описательный» период развития науки, который может длиться весьма долго. Примером может служить развитие механики, геометрии. Переход к точной науке означает попытки построения математического моделирования процессов. Но математическая модель может строиться на каких-то количественно строго определенных величинах. Отсюда – два необходимых этапа математического моделирования: 4) установление величины; 5) установление взаимосвязи. Можно привести следующий пример: законы статики сформулировал Архимед, Аристотель ввел понятие силы, скорости, пути. Но потребовалось около 2000 лет (!) на установление связи величин. Становление механики как точной науки стало возможным, когда Ньютон понял, что силу надо связывать с ускорением, а не скоростью, как это пытались делать раньше. Задачи математического моделирования сами имеют свою сложную структуру. Модель, описывающая широкий класс явлений (например, математическая модель механических движений – законы Ньютона) подразделяются на частные классы математических моделей: механика точки, системы материальных точек, сплошной среды, твердого тела → еще более частные модели, например, упругого тела и т.п. на самом нижнем уровне – ММ конкретных процессов. Обычно процесс построения моделей часто осуществляется не дедуктивно, а «снизу вверх». 2.2. Типы и виды математических моделей В рамках данного курса невозможно рассмотреть все виды математических моделей. Остановимся на некоторых из них. 1. Динамические модели. Динамические модели стали развиваться во многом благодаря развитию вычислительной техники, так как связаны с необходимостью решать большое число (сотни) уроавнений за котороткий промежуток времени. Эти уравнения являются более или менее сложными математическими описаниями того, как функционирует исследуемая система и даются они в форме выражений для “уровней” различных типов, “темп” изменения которых регулируется управляющими функциями. Уравнения для уровней описывают накопление в системе таких, например, величин, как вес, количество энергии, количество организмов, а уравнения для темпов управляют изменением этих уровней во времени. Управляющие функции отражают правила, регулирующие функционирование системы. В динамических моделях часто используются уравнения неразрывности - соотношения между потоками переменной в какую-то часть системы и из нее со скоростью изменения этой переменной. Балансовые модели представляют моделируемый объект как совокупность неких потоков вещества и энер­гии, баланс которых рассчитывается на каждом шаге моделирования. Являются разновидностью динамических моделей. В настоящее время эти модели получили очень широкое распространение благодаря наглядности и сравнительно простой реализации. Однако применение их возможно лишь при решении, общеметодологических вопросов: баланс каких веществ является наиболее важ­ным для рассмотрения; насколько целесообразно подроб­но прослеживать потоки данного вещества; как, выра­зить смену режимов трансформация веществ и.;т.п. поиск равновесия. Этот подход основан на постулате о том, что любая большая система может иметь состояние равновесия. Например, в экономических системах это равновесие между спросом и предложением (по Н.Д.Кондратьеву – это равновесие «1-го порядка»), равновесие в структуре цен (равновесие 2-го порядка), равновесие основных капитальных благ» - промышленных изделий, сооружений, квалифицированной рабочей силы, технологий, источников энергии и т.д. (равновесие 3-го порядка). В экологии может рассматриваться равновесие между определенной численностью хищников и их жертв, между загрязнением окружающей среды и ее способностью к самовосстановлению. Поиск равновесия очень важен для исследования экономических и экологических систем. При этом следует различать динамическое и статическое равновесие. Динамическое («подвижное») равновесие предполагает непрерывный обмен веществом и энергией между системой веществ и энергии, поглощаемых и выделяемых системой одинаковы. При динамическом равновесии сохраняется соответствие между частями системы, все размеры которой одновременно меняются. Статическое равновесие означает сохранение того же соответствия при неизменных размерах (величинах) частей системы и системы в целом. Можно проиллюстрировать поиск равновесия на примере определения состояния насыщения рынка. Для этого было предложено уравнение где х – количество товара, t - время, А,Р – константы. Эта функция описывается «затухающей кривой». Было показано, что она описывает ряд общественных и экономических процессов, например, насыщение рынка книгами по специальным дисциплинам и т.п., если выполняются такие условия, как ◦ незаменимость товара, ◦ неизменность цен; ◦ отсутствие спекулятивных перепродаж; ◦ приобретение каждым покупателем равного количества; ◦ отсутствие повторных покупок товара. Разумеется, это достаточно примитивное уравнение, которое не соответствует подвижному и динамическому равновесию. Для построения более адекватных моделей с равновесием необходимо использование обратных связей. 2. модели с обратной связью. Если при составлении модели попытаться учесть внутреннюю структуру и отойти от модели «черного ящика» и поставить одни параметры («входы») в зависимость от других («выходы») получим модель с обратной связью: Если результат меньше эталона, то за счет регулирования подается сигнал, увеличивающий интенсивность входа. Если больше эталона – подается сигнал, уменьшающий интенсивность входа. Обратная связь положительна, если возрастающие результаты увеличивают интенсивность входа и отрицательна, если возрастающие результаты ослабляют интенсивность входа. В сложных системах можно выделить несколько последовательно и параллельно связанных между собой контуров обратной связи, т.е. сложные системы являются многоконтурными. 3. Оптимизационные модели Оптимизационные модели охватывают модели, ма­тематический .аппарат которых позволит решать задачи оптимального управления моделируемым объектом. Они применяются при решении экономических, технических задач, проблем взаимодействия природы и общества. Их построение основано на исполь­зовании методов математического программирования (линейного, нелинейного и динамического программи­рования) при .исследовании систем, описанных дифференциальными уравнениями. Другим примером оптимизационных моделей являются модели, построенные с помощью теории игр. В общем случае они тоже не исключают вероятностного подхода. 4.Модели макрокинетики трансформации веществ и потоков энергии. К этим моделям относятся модели прогнозирования зон неуправляемого распространения потоков энергии и вредных веществ, прогнозирования концентрации вредных веществ в техносфере. Подобные модели применяются также при моделировании водных экосистем, распространения загрязнителей воздушной среды. Это модели, математическим аппаратом построе­ния которых являются уравнения диффузии. Примене­ние этих моделей ограничено, во-первых, необходи­мостью при их построении делать ряд допущений в общем случае неверных в реальных ситуациях (напри­мер, допущение об отсутствии влияния примесей на скоpoсть течения воды, хотя в реальных условиях в реках, озерах движение воды сплошь и рядом вызвано именно различиями в мутности), Во-вторых, существуют и чисто математические трудности решения систем уравнений в частных производных, каковыми являются уравнения диффузии. Например, непростая проблема выбора шага моделирования (интегрирования) при существенно различных характер­ных временах изменения параметров системы. 5. Статистические модели Статистические модели том, что исследуемый процесс случаен и исследуется статистическими методами, в частности, так называемы­ми методами Монте-Карло. Наиболее успешно последние применяются при неполной информации о соответствую­щих объектах. Существует мнение, что статистические модели эффективны именно при этих условиях. Здесь возникает вопрос, сколь под­робную информацию об объекте вообще нужно учиты­вать в модели и в какой ситуации можно говорить о недостатке информации. При построении и использовании статистических моделей воз­никают следующие проблемы: во-первых, необходим об­ширный фактический естественный материал, позволяю­щий провести его корректную статистическую обработку; во-вторых, установленные зависимости; верные для од­ной системы не всегда будут верны для другой, Например, в экологии смена одной экосистемы* другой (напри­мер, смена сукцессий) не всегда может быть передана прежней моделью. При моделировании процессов в техносфере необходимо не только определить размер ущерба и зон поражения, но и определить вероятность определенного ущерба. Это видно из самой структуры формулы риска: {Риск} = {вероятность события}{значимость события}. Кроме того, и определение самого характера опасного воздействия вредного везщества или разрушительного воздействия потоков энергии связано с необходимость учета большого числа факторов и параметровю Одни из них должны отражать специфику вредного выброса, другие – состав и характеристики людских, материальных и природных ресурсов, которые определяют их стойкость по отношению к соответствующим воздействиям. При этом число таких существенных факторов велико, они имеют разную направленность и недетерминистскую природу. Здесь, таким образом, необходимо использовать накопленные к настоящему времени статистические данные. 6. Модели типа «хищник — жертва» или «паразит-хозяин» Эти модели применяются», как это видно из названия, при изучении частных случаев взаимодействия популяций нескольких видов. С помощью данных моделей, также использующих уравнения неразрывности, получен ряд интересных выводов. Однако взаимодействием двух-трех и даже более видов, которые реализуются в таких моделях, не исчерпывается динамика объектов окружаю­щей среды, поэтому такие модели имеют прикладное значение и не являются универсальными. При моделировании сложных систем их разбивают на подсистемы и потому их математическая модель предстает как некий комплекс подмоделей; для каждой из них может быть использован различ­ный математический аппарат. При этом возникают про­блемы стыковки таких подмоделей. Хотя это довольно сложные вопросы, они успешно решаются. 7. имитационное моделирование. Начнем рассмотрение имитационного моделирования с простого примера. Пусть моделью является некоторое дифференциальное уравнение. Решим его двумя способами. В первом получим аналитическое решение, запрограммируем найденный набор формул и просчитаем на ЭВМ ряд интересующих нас вариантов. Во втором воспользуемся одним из численных методов решения и для тех же вариантов проследим изменения системы от начальной точки до заданной конечной. Какой способ лучше, и с каких позиций? Если запись аналитического решения сложна, включает операции вычисления интеграла, то трудоемкость обоих способов будет вполне сравнима. Есть ли принципиальная разница между двумя этими способами? Кажется, что 1-й способ обладает известными преимуществами даже при громоздком аналитическом решении (точность, простота программирования). Но обратим внимание на то, что в первом способе решение в конечной точке дается как функция начала и постоянных коэффициентов дифференциального уравнения. Во втором для его нахождения приходится повторять путь, который система проходит от начальной до конечной точки. В ЭВМ осуществляется воспроизведение, имитация хода процесса, позволяющая в любой момент знать и при необходимости фиксировать его текущие характеристики, такие, как интегральная кривая, производные. Мы подходим к понятию имитационного моделирования. Но чтобы лучше разобраться в смысле этого термина, рассмотрим применительно к той области, где он возник, - в системах со случайными воздействиями и процессами. Для таких систем в ….-х годах стали моделировать на ЭВМ пошаговое протекание процессов во времени с вводом в нужный момент случайных действий. При этом однократное воспроизведение хода такого процесса в системе мало что давало. Но многократное повторение с разными воздействиями уже неплохо ориентировало исследователя в общей картине, позволяло делать выводы и давать рекомендации по улучшению системы. Метод стали распространять на классы систем, где надо учесть возможно большее разнообразие в исходных данных, меняющиеся значения внутренних параметров системы, многовариантный режим работы, выбор управления при отсутствии четкой цели и др. Общим оставались специальная организация имитации поведения системы и многократное возобновление процесса по измененным сценариям. Теперь дадим определение имитационному моделированию. Цель этого вида моделирования – получить представление о возможных границах или типах поведения системы, влиянии на нее управлений, случайных воздействий, изменений в структуре и других факторов. Важной особенностью имитационного моделирования является удобное включение человека, его знаний, опыта, интуиции в процедуру исследования модели. Это делается между отдельными имитациями поведения системы или сериями имитации. Человек изменяет сценарий имитации, что является важным звеном этого вида моделирования. Именно исследователь по результатам проведенных имитаций формирует следующие виды, домысливая полученные сведения, эффективно познает систему, двигается в ее исследовании к поставленной цели. Правда, следует заметить, что управлять процедурой многократной интуиции может и ЭВМ. Однако наиболее полезным ее примером оказывается все-таки в сочетании с оперативным экспертным просмотром и оценкой отдельных имитаций. Значительная роль человека в имитационном моделировании даже позволяет говорить об определенном противопоставлении методов чисто математического моделирования и имитации. Поясним это на примерах. Пусть мы имеем задачу оптимизации, которую решаем на ЭВМ при помощи некоторого запрограммированного алгоритма. В ряде сложных ситуаций алгоритм может остановиться или «зациклиться» далеко от оптимального решения. Если же учесть весь путь решения шаг за шагом будет контролироваться исследователем, то это позволит, подправляя и возобновляя работу алгоритма, достичь удовлетворительного решения. Второй пример возьмем из области систем со случайными воздействиями. Последние могут иметь такие «плохие» вероятностные свойства, что математическая оценка их влияние на систему практически невозможна. Вот тогда исследователь начинает машинные эксперименты с разными видами этих действий и постепенно получает хоть какую-то картину их влияний на систему. Однако противопоставлять имитационное моделирование математическому в целом было бы методически неверно. Правильнее ставить вопрос об их удачном совмещении. Так, строгое решение математических задач, как правило, является составной частью имитационной модели. С другой стороны, исследование крайне редко удовлетворяется однократным решением поставленной математической задачи. Обычно он стремится решить наиболее близких задач для выяснения «чувствительности» решения, уравнения с альтернативными вариантами задания исходных данных, а это не что иное, как элементы имитации. Есть и другая веская причина широкого распространения имитационных моделей. Достоинством перечисленных ранее математических моделей (оптимизационные, балансовые, статистические и т.п.) является на­личие развитого математического аппарата, а проблемы и трудности заключаются в выполнении допущений, на­лагаемых использованием данного аппарата, при фор­мализации имеющейся информации. Другой проблемой следует считать недостаток информации. В связи с этим необходимо отметить, что имеющийся математический аппарат в основном создавался для решения специфи­ческих задач классической физики 19-го и начала 20 в. Бурное развитие естествознания в 20 в. предъявило ряд новых требований, что привело к созданию совре­менных отраслей математики, сгруппированных вокруг кибернетики. Следовательно, основные проблемы применения упо­мянутых методов моделирования в исследованиях по безопасности и в экологии связаны с неподготовленностью математического аппарата для ис­следования новых систем. Поэтому при разработке нового аппарата и в математике иногда идут от объекта к теории, а не наоборот. Как раз такому подходу и соответствует метод имитационно­го математического моделирования. Здесь можно дать еще одно определение имитационному моделированию, характеризующее его с другой стороны: То есть, имитационная модель представляет собой пол­ное формализованное описание в ЭВМ изучаемого явле­ния на грани нашего понимания. Слова «на грани на­шего понимания» означают, что в процессе имитацион­ного моделирования причинно-следственные связи необя­зательно прослеживать «до последнего гвоздя». Для по­строения модели достаточно знать лишь внешнюю сторо­ну каких-либо связей типа: «если Л, то В». Для постро­ения модели не столь важно, почему произошло событие В: то ли в результате каких-то сдвигов в балансе веще­ства, то ли по другим причинам. Существенно, что оно произошло после события Л. Это дает возможность более результативно использовать традиционные зна­ния наук о Земле, что было невозможно при попытках учесть все причинно-следственные связи. В процессе имитационного моделирования при отсутствии информации о функциональных связях элементов системы необходимо шире использо­вать логические переключатели состояний модели, кото­рые в определенной мере отражают эти связи. Кроме того, целесообразно членение модели на отдельные бло­ки, которые сами могут являться самостоятельными мо­делями, причем принципы построения и математический аппарат в каждом блоке могут быть свои. Например, один блок является вероятностной моделью, другой— балансовой н. В этих условиях математический аппарат играет под­чиненную роль. Гораздо большего внимания требует со­держательная часть моделирования, предварительная типизация, структурирование изучаемых объектов. Обоснованием для проведения имитационного моделирования служит массовость и стохастичность результатов функционирования исследуемых систем. В отношение моделирования процессов в техносфере, можно сказать следующее: 1) выполнение большинства технологических операций удобно рассматривать в виде процесса функционирования человеко-машинной системы; при этом успешное или неуспешное завершение какой-либо из них следует считать случайным исходом; 2) при рассмотрении конкретной производственной операции, многократно выполняемой на различных объектах промышленности, энергетики и транспорта, можно утверждать массовый характер этих работ. Таким образом, при анализе безопасности техносферы имитационное моделирование обосновано и целесообразно. Можно также сказать, что имитационное моделирование является одной из форм диалога человека с ЭВМ и резко повышает эффективность изучения системы. Оно является особенно незаменимым, когда невозможна строгая постановка математической задачи (полезно попробовать разные постановки), отсутствует математический метод решения задачи (можно использовать имитацию для целенаправленного перебора), имеется значительная сложность полной модели (следует имитировать поведение декомпозиционных частей). Наконец, имитацией пользуются и в тех случаях, когда невозможно реализовать математическую модель из-за недостатка квалификации исследователя. Кроме термина «имитационное моделирование» в литературе употребляется словосочетание «машинное моделирование». В него вкладывают весьма широкий смысл – от синонима имитации до указания на то, что в исследовании для каких-либо целей используется ЭВМ. Однако некоторыми авторами [1] отмечается наш взгляд, наиболее логичным является использование этого понятия в тех случаях, когда манипуляции с моделью целиком или почти целиком выполняются вычислительной техникой и не требуют участия человека. 2.3. Процесс построения математической модели Процесс построения математической модели не является строго формализованным (зависит от исследователя, его опыта, таланта, опирается на определенный опытный материал (феноменологическая основа моделирования, содержит предположения, определяющую роль играет и интуиция). В разработке моделей можно выделить три основные стадии: ◦ построение модели; ◦ пробная работа с моделью; ◦ корректировка и изменение модели по результатам пробной работы. Современное математическое моделирование немыслимо без привлечения вычислительной техники (численное моделирование, численный эксперимент). Схематически процесс создания математической модели можно разбить на следующие этапы, отражающие степень взаимодействия человека и ЭВМ: 1) установление возможных форм связей (человек); 2) составление варианта математического моделирования (человек): ◦ определение входных и выходных переменных; ◦ введение допущений; ◦ установление ограничений; ◦ формирование математических зависимостей; 3) решение модельных задач (машина); 4) сравнение результатов решения с накопленной информацией, определение несоответствий (машина, человек); 5) анализ возможных причин несоответствия (человек); 6) составление нового варианта модели (человек). При моделировании процессов в техносфере, как при нормальном функционировании человеко-машинных систем, так и в ЧС приходится иметь дело с их большим разнообразием и высокой сложностью, что требует знания не только наиболее общих законов, но и частных закономерностей. К числу наиболее общих законов техносферы относятся уравнения баланса массы, законы сохранения центра масс, количества движения, момента количества движения, энергии, справедливые при определенных условиях для любых материальных тел и технологических процессов, независимо от их структуры, состояния и химического состава. Эти уравнения подтверждены огромным количеством экспериментов. Более частные соотношения в физике и механике в частности называются физическими уравнениями или уравнениями состояния. Например, закон Гука, устанавливающий связь между механическим напряжением и деформацией упругих тел, или уравнение Клапейрона – Менделеева. Объективная сложность процессов в техносфере делает невозможным их изучения с помощью моделей какого-либо одного типа. Моделирование таких процессов предполагает их представление в виде системы взаимодействующих разнородных компонентов. Таким образом, модель таких процессов может содержать в себе несколько разнородных субмоделей. Это накладывает свой отпечаток и на само моделирование, который удобно представить в виде определенных этапов, на которых проявляются особенности процессов в человеко-машинных системах (ЧМС)1. Основные этапы моделирования техносферных процессов представлены на рис. 5. Этап 1. Содержательная постановка Необходимость в новых моделях возникает при выполнении проектно-конструкторских работ, создания систем управления и контроля, а также выполнения работ на стыке различных отраслей. При этом вначале следует определить, нет ли более простых решений проблемы: возможности использовать существующие модели, модифицируя их. Конечной целью этапа 1 служит является разработка технического задания. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи: 1) исследовать моделируемый объект или процесс с целью выявления основных его свойств, параметров и факторов; 2) собрать и проверить доступные экспериментальные данные об объектах-аналогах; 3) проанализировать литературные источники и сравнить между собой построенные ранее модели данного объекта или ему подобные; 4) систематизировать и обобщить накопленный ранее материал; 5) разработать общий план создания и использования комплекса моделей. На данном этапе осуществляется, таким образом, содержательная постановка задачи моделирования. При этом важно правильно поставить вопросы, на которые должна ответить модель. Для этого нужны специалисты, хорошо знающие предметную область и, вместе с тем имеющие достаточно широкий научный кругозор, чтобы общаться со специалистами в различных областях знания, в частности с заказчиком модели. Это является условием успешного формулирования таких требований к создаваемой модели, которые, с одной стороны, удовлетворят заказчика, а с другой стороны – удовлетворят ограничениям на сроки и ресурсы, выделенные для создания и реализации модели. В целом выполнение этого этапа может занять до 30% времени, отпущенного на разработку модели, а с учетом возможных уточнений – и более. Этап 2. Концептуальная постановка В отличие от 1-го этапа этап семантического моделирования выполняется рабочей группой без привлечения заказчика. Исходной информацией здесь являются сведения, полученные на 1-м этапе сведения о моделируемом объекте и уточненные требования к будущей модели. При формулировке гипотез, которые должны лечь в основание концептуальной модели приходится преодолевать противоречия в преставлениях о процессах и происшествиях в человеко-машинных системах. Это касается причин возникновения ошибок, отказов, нерасчетных внешних воздействий, которые могут привести к аварии, катастрофе или несчастному случаю. Зачастую различные специалисты выдвигают разные версии развития подобных ситуаций. При моделировании аварийности и травматизма семантическая модель исследуемого явления может быть представлена в виде явления, декомпозируемого на потоки случайных событий – аварий и несчастных случаев. При этом каждое из них считается результатом совокупности других событий, образующих причинно-следственную цепь. Далее явление может быть представлено в виде схем, графов. Оформление результатов моделирования в форме причинно-следственных диаграмм явится в дальнейшем исходным материалом для последующего контроля и анализа. Этап 3. Качественный анализ Постановка задачи моделирования должна быть подвержена всесторонней проверке а затем и предварительному качественному анализу. Цель данного этапа состоит в проверке обоснованности концептуальной постановки задачи и коррекции. Это также проводится с членами рабочей группы, иногда с привлечением не входящих в нее экспертов. Все принятые ранее гипотезы подлежат проверке, а затем предварительному (качественному) анализу. Выявляются возможные ошибки. Например, в причинно-следственных диаграммах наиболее распространенными ошибками являются избыточные или же недостающие элементы, а также излишне произвольная трактовка учитываемых событий и связей между ними. Иногда на данном этапе моделирования уже могут быть получены те дополнительные сведения объекте-оригинале, ради которых он подвергается моделированию. Особенно часто удается это сделать в результате качественного анализа причинно-следственных диаграмм, позволяющих учесть такое количество существенных факторов, которыми невозможно одновременно манипулировать мысленно. Среди этого множества факторов (например, влияющих на вероятность аварии или травмы) на могут быть выявлены их сочетания, включающие малое число факторов, появление и/или отсутствие которых необходимо и достаточно для возникновения или недопущения конкретного нежелательного события. Этап 4. Построение математической модели После завершения проверки концептуальной постановки задачи и предварительного анализа соответствующей семантической модели рабочая группа приступает к построению математической модели, а затем к выбору наиболее подходящего метода ее исследования. Наиболее предпочтительной считается аналитическая постановка и такое же решение моделируемой задачи, поскольку в этом случае используется арсенал математического анализа, включая оптимизацию. Чаще всего, это системы алгебраических уравнений, для получения которых применяются различные методы аппроксимации в имеющихся статистических данных. Особая ценность аналитического моделирования заключается в возможности точного решения поставленной задачи, в том числе нахождения оптимальных результатов. Вместе с тем, область использования аналитических методов ограничена размерностью учитываемых факторов и зависит от уровня развития соответствующих разделов математики. Поэтому для создания математических моделей сложных систем и процессов (как в техносфере, например) требуются уже алгоритмические (численные) модели, которые могут давать лишь приближенные решения. Степень приближения результатов, например, численного и имитационного моделирования зависит от погрешностей, обусловленных преобразованием исходных математических соотношений в численные или имитационные алгоритмы, а также от ошибок округления, возникающих при выполнении любых расчетов на ЭВМ в связи с конечной точностью представления чисел в ее памяти. Вот почему основным требованием к каждом такому алгоритму служит необходимость получения решения исходной задачи за конечное число шагов с заданной точностью. В случае применения численного метода совокупность исходных математических соотношений заменяется конечномерным аналогом, обычно получаемым в результате замены функций непрерывных аргументов на функции дискретных параметров. После такой дискретизации составляется вычислительный алгоритм, представляющий собой последовательность арифметических и логических действий, позволяющих за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. При имитационном моделировании дискретизации подвергаются не математические соотношения как в предыдущем случае, а сам объект исследования, который разбивается ена отдельные компоненты. Кроме того, здесь не записываетея совокупность математическихх соотношений, описывающих поведение всего обьекта-оригинала. Вместо этого обычно составляется алгоритм, моделирующий функционирование моделируемого объекта с помощью аналитических или алгоритмических моделей. Следует заметить, что использование математической модели, построенной с применением алгоритмических методов, аналогично проведению экспериментов с объектом, только вместо натурного эксперимента с объектом проводится так называемый машинный (вычислительный) эксперимент с его моделью. Контроль правильности математической модели. Контроль правильности математических соотношений осуществляется с помощью следующих действий: контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться, складываться, перемножаться и делиться могут только величины одинаковой размерности. При переходе к вычислениям добавляется дополнительное требования соблюдения одной и той же системы единиц для значений всех параметров; проверка порядков, состоящая в сравнении порядков складываемых или вычитаемых величин и исключении из математических соотношений малозначимых параметров; контроль характера зависимости, предполагающий, что направление и скорость изменения выходных параметров модели должны соответствовать физическому смыслу изучаемых процессов; проверка экстремальных ситуаций, которая заключается в наблюдении за выходными результатами модели при приближении значений ее параметров к предельно допустимым. Зачастую это делает математические соотношения более простыми и наглядными (например, при равенстве нулю какой-либо величины); контроль физического смысла, связанный с установлением физического смысла результата и проверкой его неизменности при варьировании параметров модели от исходных до промежуточных и граничных значений; проверка математической замкнутости, состоящая в выявлении принципиальной возможности решения системы математических соотношений и получении на ее основе однозначно интерпретируемого результата. Математически замкнутой или «корректно поставленной» задачей принято считать такую ее постановку, при которой малым изменениям непрерывно меняющихся исходных параметров соответствуют такие же незначительные изменения выходных ее результатов. Если это условие не удовлетворяется, численные алгоритмы не могут быть применены. Этап 5. Разработка компьютерных программ Использование электронно-вычислительной техники, что требует наличия соответствующих алгоритмов и компьютерных программ. Несмотря на наличие в настоящее время богатого арсенала математических алгоритмов и прикладных программ, нередко возникает потребность в самостоятельной разработке новых программ. Сам процесс создания компьютерных программ в свою очередь может быть разбит на последовательные этапы: разработка технического задания (ТЗ), проектирования структуры программ, собственно программирование (кодирование алгоритма), тестирование и отладка программ. Само ТЗ при этом имеет следующую структуру: 1) название задачи – имя программы (компьютерного кода), система программирования (язык), требования к аппаратному обеспечению; 2) описание – содержательная и математическая постановка задачи, метод дискретизации или обработки входных данных; 3) управление режимами – интерфейс «пользователь–компьютер»; 4) входные данные – содержание параметров, пределы их изменения; 5) выходные данные – содержание, объем, точность и форма представления; 6) ошибки – возможный перечень, способы выявления и защиты; 7) тестовые задания – примеры, предназначенные для тестирования и отладки программного комплекса. Общая структура компьютерного кода, как правило, содержит три части: препроцессор (подготовка и проверка исходных данных), процессор (проведение вычислений) и постпроцессор (отображение результатов. Этап 6. Анализ и интерпретация результатов моделирования Системное исследование предполагает качественный и количественный анализ модели и полученных результатов. Качественный анализ предназначен для выявления общих закономерностей, связанных с функционированием исследуемого объекта, осуществляется рабочей группой, иногда с привлечением представителей заказчика. Цель количественного анализа достигается решением двух задач: 1) прогнозирование характеристик моделируемого объекта; 2) априорная оценка эффективности различных стратегий его совершенствования. Процедура количественного анализа зависит от вида полученных математических зависимостей. Для сравнительно простых аналитических выражений она может проводиться преимущественно вручную, с использованием инструментария математического анализа и принятия решений. Анализ сложных, громоздких моделей реализуется на ЭВМ с помощью численных и имитационных методов. Проверка адекватности модели. Эта проверка проводится путем установления соответствия между результатами моделирования и какими-либо другими данными, непосредственно относящимися к решаемой задаче. Обычно используют для этого эмпирические данные (результаты натурных экспериментов, статистику), либо подобные результаты, полученные в ходе решения так называемой тестовой задачи с помощью других моделей. Различают качественное и количественное согласие результатов сравнения. Качественное согласие подразумевает совпадение некоторых характерных особенностей в распределении оценочных параметров, например, их знаков, тенденций изменения, наличия экстремальных точек и т.п. Если качественное согласие достигнуто, оценивается совпадение на количественном уровне. При этом для моделей с оценочными функциями оно может оцениваться расхождением в 10-15%, а для используемых в управляющих и контролирующих системах – в 1–2% и ниже. Причины неадекватности модели могут быть следующие: 1) значения параметров модели не соответствуют области, определяемой принятой системой гипотез; 2) константы и параметры в определяющих соотношениях, использованных в модели, установлены неточно; 3) вся исходная совокупность принятых гипотез неприменима для изучаемого объекта или условий его функционирования. Для устранения этих причин требуется проведение дополнительных исследований как модели, так и объекта-оригинала. Если модель неадекватна, следует изменить значения констант и исходных параметров. Если и при этом положительный результат не достигнут, должны быть изменены принятые гипотезы (например, о характере влияния одного параметра на другой, учет новых факторов и т.п.). Таким образом, последний этап в разработке математической модели исключительно важен, и пренебрежение им может стоить огромных издержек в будущем. Действительно, не всегда правдоподобный результат свидетельствует об адекватности модели, и в других случаях она будет давать качественно неверные решения. Далее показано применение поэтапного моделирования на примере исследования аварийности и травматизма. 2.4. Структура моделирования происшествий в техносфере 2.4.1. Содержательная постановка задачи 2.4.1.1 Разработать комплекс смысловых и знаковых моделей, позволяющих установить основные закономерности возникновения техногенных происшествий и количественно оценить меру возможности их появления. 2.4.1.2. Модели должны: а) выявлять условия появления и предупреждения происшествий; б) вычислять вероятность их появления. 2.4.1.3. Исходные данные: параметры производственного объекта Ч (человека), М (машины) и С (среды), проводимых на нем технологических процессов Т, а также статистические данные по состоянию этих компонентов и их аналогов – Q(). 2.4.2. Концептуальная постановка задачи 2.4.2.1. Исходные гипотезы и предпосылки относительно моделируемого явления: а) аварийность и травматизм на производстве могут быть описаны в соответствии с канонами теории случайных процессов в сложных системах; б) объектом моделирования должен быть случайный процесс, возникающий на производственном объекте и завершающийся появлением происшествий (аварий или несчастных случаев); в) поток таких происшествий допустимо считать простейшим, т. е. удовлетворяющим условиям стационарности, ординарности и отсутствия последействия; г) каждое происшествие может возникать при выполнении конкретных технологических операций, из-за случайно возникших ошибок персонала, отказов техники и нерасчетных внешних воздействий. 2.4.2.2. С учетом вышеизложенного можно сформулировать концептуальную постановку задачи моделирования следующим образом: а) представить аварийность и травматизм в виде процесса просеивания потока заявок (t) на конкретные технологические операции в выходной поток случайных происшествий с вероятностью Q(t) их появления в момент времени t; б) изобразить данный процесс в виде потоков( графа, интерпретирующего возникновение причинной цепи происшествий из отдельных предпосылок. 2.4.3. Проверка и качественный анализ семантической модели 2.4.3.1. Проверить обоснованность гипотез относительно природы потоков моделируемых событий и необходимости учета факторов внешней среды: а) возможность представления простейшим потоком также и входного потока требований на проведение технологических операций; б) правомерность допущения о несущественности предпосылок к происшествию, обусловленных неблагоприятными внешними воздействиями; 2.4.3.2. Провести качественный анализ потокового графа с целью ответа на следующие вопросы: а) какие производственные процессы можно считать относительно «безопасными»? б) какое технологическое и производственное оборудование следует рассматривать более «безопасным» в эксплуатации. 2.4.4. Математическая постановка и выбор метода решения задачи 2.4.4.1. Сформулировать задачу моделирования в виде системы алгебраических уравнений и проверить корректность математических соотношений, полученных каким-либо образом: а) с учетом гипотезы о простейшем характере потока требований на выполнение технологических операций использовать свойство его инвариантности после разрежения за счет исключения событий для получения зависимостей Q(t) = f (Ч, М, С, Т, t); 2.4.4.2. Разработать процедуру априорной оценки каждого из пара метров аналитической модели и проверить корректность всех по лученных математических соотношений с применением всех соответствующих правил. Практическая реализация рассмотренного здесь подхода может способствовать совершенствованию безопасности техносферы в целом.