Методика высокоточных угловых измерений и их обработка

По дисциплине: «Высшая геодезия и основы координатно-временных систем» для студентов 3-го курса Тема лекции: Методика высокоточных угловых измерений и их обработка 1.1 Способы измерения горизонтальных направлений и углов, их теоретическое обоснование, достоинства и недостатки Под методикой высокоточных угловых измерений понимается комплекс работ, выполняемых на пунктах геодезических сетей с целью определения их планового положения. К ним относятся: – выбор способа измерений и их производство; – обработка результатов измерений и оценка их качества; – определение элементов центрировки в случае несовпадения проекции центра инструмента и центра пункта; Рассмотрим более подробно указанные этапы производства высокоточных угловых измерений. При выполнение разного рода геодезических работ, связанных с определением планового положения объектов на поверхности Земли, широко используется два классических способа измерения горизонтальных направлений и углов, применяемых в разных геодезических построениях для решения указанной задачи. К ним относятся: способ круговых приемов и способ измерения отдельных углов во всех комбинациях. В силу их особенностей применение того или иного способа обусловлено точностью конечных результатов измерений, числом измеряемых направлений на пунктах сети, простотой и удобством измерений и их обработки. В геодезических сетях, где точность измерения углов задается средней квадратической ошибкой равной или более 1'', возможно одновременное применение на разных пунктах сети обоих способов, но с одинаковым значением весов измерений. Заданная точность измерения углов обеспечивается применением теодолитов соответствующего класса и числом приемов необходимых измерений на пункте сети. Независимо от выбранного способа измерений, перед их началом составляется рабочая программа наблюдений, представляющая таблицу установок лимба для каждого приема измерений. Она обеспечивает независимость измерений направлений и углов в отдельных приемах и исключает систематическое влияние погрешностей нанесения штрихов диаметров лимба. Для обеспечения точных и надежных результатов измерений любым известным способом должны быть соблюдены определенные правила наблюдений: 1. Перед началом измерений необходимо выполнить поверки и исследования теодолита. 2. Использовать для наведения сетки нитей на визирные цели среднюю часть наводящих винтов, работая ими только на ''ввинчивание''. 3. Для исключения влияния ''люфта подъемных винтов'' вращение алидады в каждом полуприеме должно быть в одну и ту же сторону, в случае пропуска направления делается дополнительный оборот в этом же направлении. 4. Не изменять фокусировку зрительной трубы в приеме измерений. 5. Равномерно распределять приемы измерений на утреннюю и вечернюю видимости. 6. При наблюдении визирных целей, зенитные расстояния на которые с наблюдаемого пункта отличаются более ± 1° для 1 класса и ± 2°для 2 класса, необходимо брать отсчеты по концам пузырька уровня при алидаде горизонтального круга. 7. Соблюдать методику измерений и требования “Инструкции ” [1] к их контролю. Исходя из общих требований, предъявляемых каждому способу измерений горизонтальных направлений и углов, рассмотрим теоретические основы двух известных способов, упомянутых выше. 1.1.1 Способ круговых приемов Сущность способа круговых приемов заключается в следующих положениях. Каждый прием измерений состоит из двух полуприемов. В первом полуприеме, после установки лимба на определяемый программой наблюдений отсчет, вращают алидаду по часовой стрелке последовательно наводя зрительную трубу на визирные цели пунктов и берут отсчеты по лимбу. Установка лимба, первое наведение и завершение наблюдений в полуприеме (замыкание горизонта) делается на начальное направление, выбираемое наблюдателем самостоятельно, обычно хорошо видимое и расположенное в южном или северном направлении от наблюдаемого пункта. Во втором полуприеме, после перевода зрительной трубы через зенит, вращают алидаду в обратном направлении от начального и также берут отсчеты по лимбу при наведении трубы на каждый наблюдаемый пункт. В обработку берутся средние значения отсчетов по лимбу при круге лево и круге право . (1.1) Для исключения ошибки нанесения штрихов лимба перестановку лимба σ между приемами, от начальной установки 0°00ʹ делают на величину, определяемой следующей формулой (1.2) где r – число приемов; Δt – цена деления лимба. Определение вероятнейших значений углов, отсчитываемых от начального, по данным измерениям можно получить на основе использования метода необходимых неизвестных, решая данную задачу по способу наименьших квадратов. Обозначим на наблюдаемом пункте через WК установку лимба в каждом приеме (1.3) где k – порядковый номер приема, вероятнейшие значения углов через X1 , X2 ,…, Xn-1, а средние отсчеты по наблюдаемым направлениям A, B, C, …, N, через αК, βК, γК, …, vК и покажем их на рис.1.1. Из рисунка видно, что между необходимыми неизвестными и результатами измерений будут иметь следующие соотношения: Рис.1.1 - Схема наблюдаемых направлений (1.4) где v – вероятнейшие поправки к результатам измерений. Подобные уравнения можно написать для всех r приемов наблюдений. Перейдем от уравнений поправок вида (1.4) к нормальным уравнениям и путем преобразований получим их в следующем виде (1.5) отсюда (1.6) На основании полученного выражения (1.6) можно заключить, что любое неизвестное Хi может быть получено по разности средних отсчетов отыскиваемого неизвестного и начального направления. Вследствие этого, для получения однозначных значений измеренных направлений из m приемов необходимо в каждом приеме приводить результаты измерений к начальному направлению вычитая из их значений среднюю величину WK. (1.7) где Xʹ - приведенные к начальному результаты измерений по направлению. Надежность получения неизвестных определяется значениями их весов. Для определения их величин за единицу веса примем результат измерения направления одним приемом. Тогда каждому равноточно полученному направлению должен быть присвоен вес равный числу приемов наблюдений PN r. (1.8) Тогда квадратическая ошибка направления, то ее значение определяется по известной формуле способа наименьших квадратов (1.9) где v – вероятнейшие поправки к результатам измерений; n – число всех измерений; l – число независимых неизвестных. Средняя квадратическая ошибка направления, полученная из m приемов находится по формуле (1.10) Основным достоинством способа круговых приемов является экономичность, простота производства наблюдений и их математической обработки, а также быстрое оценивание результатов измерений на их соответствие требуемым допускам ''Инструкции''. Недостатком способа является требование наличия хорошей одновременной видимости по всем направлениям. Затягивание времени измерений в полуприеме приводит к снижению точности полученных результатов измерений за счет влияния внешних условий, вызывающих закручивание знака с установленным на нем теодолитом, что способствует получению больших значений незамыкания горизонта при повторном наведении на начальное направление. При вычислении же направлений, приведенных к начальному, в каждом приеме наблюдений величина незамыкания горизонта распределяется пропорционально в каждое направление, что может привести к искажению результатов измерений, так как точно неизвестен характер смещений лимба за счет указанного фактора. 1.1.2 Способ измерения горизонтальных углов во всех комбинациях Наряду со способом круговых приемов в полигонометрии и при высокоточных измерениях в геодезических сетях находит способ измерения углов во всех комбинациях. Сущность способа заключается в том, что на каждом пункте измеряются все углы составленные направлениями на наблюдаемые пункты. Их число определяется формулой числа сочетаний из n элементов по два (1.11) Для получения равноточных измерений на пункте каждый угол измеряется одним и тем же числом приемов. В тоже время при использовании в одной сети разных способов измерений углов их веса должны быть одинаковыми. Каждый прием измерений состоит из двух полуприемов. С целью исключения систематических погрешностей штрихов диаметров лимба измерения углов выполняются на разных частях лимба. В связи с этим перед началом измерений составляется рабочая программа, обеспечивающая независимость и удобство измерений отдельных углов. Установки лимба в рабочей программе находятся, исходя из заданного веса измерений Р =r·n, (1.12) где r – число приемов измерений каждого угла; n – число направлений. Для исключения люфта подъемных винтов вращение алидады при наведении на левое и правое направление при круге лево и круге право выполняется в одну сторону. Отыскание вероятнейших значений углов, полученных из непосредственных измерений и их комбинаций, покажем применительно к рис.2 на основе использования аппарата способа наименьших квадратов при уравнивании их значений методом необходимых неизвестных. На рис.2 обозначим наблюдаемые пункты через 1,2,3,…,n-1, а углы отсчитываемые от начального направления x1, x2, x3, … , xn-1. Рис.1. 2 - Схема сети. Через их значения можно выразить любой измеренный угол, не связанный с начальным направлением. Их средние значения, полученные измерением при двух кругах (КП и КЛ) обозначим через 12 13 14 . . . 1n 23 24 . . . 2n . . . . . . . . . . (n-1) n Зависимость между вероятнейшими значениями неизвестных и результатами измерений можно выразить в виде уравнений поправок, имеющих следующий вид (1.13) Общее число уравнений поправок будет равно числу измеренных углов (1.14) Если за единицу веса взять вес среднего результата одного угла, измеренного m, приемами, то веса сумм или разностей двух углов будут соответственно равны 1/2, а вероятнейшее значение неизвестного угла будет равно среднему весовому из всех (n-1) значений углов, полученных из непосредственных измерений и их комбинаций. При этом после преобразований вес результата непосредственного измерения угла будет равен 2, а вес данного угла из комбинаций равен 1. Данное положение подтверждается преобразованием уравнений поправок (1.14) в нормальные и после их решения найденными значениями искомых неизвестных в виде следующих выражений (1.15) Оценка точности измеренных и уравненных углов выполняется на основе способа наименьших квадратов по известной формуле определения средней квадратической ошибки единицы веса (1.16) Тогда средняя квадратическая ошибка угла, измеренного r, приемами будет равна (1.17) а средняя квадратическая ошибка измерения угла одним приемом (1.18) Средняя квадратическая ошибка уравненного на пункте угла M находится, как (1.19) Средняя квадратическая ошибка уравненного угла вычисляется согласно . (1.20) Средняя квадратическая ошибка уравненного направления составит . (1.21) Вычисления интересующих нас оценочных характеристик выполняются в сводке результатов измерений на пункте в следующей последовательности: - вычисляют среднее значение непосредственно измеренных углов и углов, полученных из их комбинаций; - на основе формулы (16) вычисляют средне весовые значения всех уравненных углов; - по найденным отклонениям среднего значения угла, полученного из непосредственных измерений от их средневесового с учетом всех комбинаций, вычисляют среднюю квадратическую ошибку измеренного угла одним приемом (1.20) и среднюю квадратическую ошибку уравненного направления (1.21). Основными достоинствами этого способа являются: - небольшая продолжительность времени измерений отдельного угла, что позволяет исключить или приуменьшить влияние внешних факторов на результаты измерений (кручение знака, ветровые и температурные воздействия, рефракция и т.п); - не требуется одновременной видимости по всем направлениям. К недостаткам способа относятся: - при заданном значении веса P = r·n с увеличением числа направлений уменьшается число приемов измерений непосредственного угла, что снижает надежность его получения и очень трудно выдержать допуск на его отклонение от значений данного угла, полученного из комбинаций других углов; - более сложная чем в способе круговых приемов обработка результатов измерений при составлении сводок. При выполнении измерений в геодезических сетях наблюдателями могут быть использованы оба рассмотренных способа, но при условии равенства их весов с целью получения равноточных результатов измерений. Тема лекции: Параметрический способ уравнивания 2.1. Теория параметрического способа уравнивания В геодезической практике встречаются случаи, когда необходимо определить некоторые величины косвенным путем, причем эти величины должны быть связаны с измеряемыми функциональными зависимостями. Предположим нам известны результаты измерений n величин x1, x2, ... , xn . Требуется определить надежные значения k величин T1, T2, ... , Tk, которые связаны с уравненными значениями X1, X2, ... , Xk измеренных величин определенными функциональными зависимостями: (2.10) Равенства такого вида называются параметрическими уравнениями связи. Согласно (2.10) имеем (2.11) В случае, если имеют место результаты неравноточных измерений x1, x2, ... , xn , устанавливают веса p1 , p2 , ... , pn . Уравненные значения измеренных величин будут Xi = xi + vi , (2.12) где vi - поправки в результаты измерений. Тогда равенства (2.11) с учетом (2.12) примут вид (2.13) Полученные равенства называются уравнениями поправок в общем виде. В системе (2.13) число неизвестных будет n + k > n , т.е. превысит число уравнений в системе, что приводит к неопределенности решения. Для нахождения неизвестных воспользуемся принципом наименьших квадратов. Определим значения T1, T2, ... , Tk при условии . Сделаем замену неизвестных через приближенные значения tj и поправки к ним δtj Tj = tj + δtj . (2.14) Полученные значения неизвестных из (2.14) подставляем в уравнения системы (2.13). В результате чего получим (2.15) Приведем уравнения системы (2.15) к линейному виду, разложив в ряд Тейлора, при этом ограничиваясь только первыми степенями разложения (2.16) Введем следующие обозначения . Подставив введенные обозначения в уравнения (2.16), получим уравнения поправок в линейном виде (2.17) Следовательно, коэффициенты ai , bi , ... , gi являются частными производными от соответствующих функций по приближенным значениям искомых аргументов, а свободный член li - разность между приближенными и измеренными значениями функций. Для решения и нахождения поправок δtj согласно принципу наименьших квадратов составим функцию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2.18) Исследуем функцию (2.18) на экстремум, взяв частные производные по δti , полученные выражения приравняем к нулю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сократив все члены равенств на 2 и приведя подобные, получим в символах Гаусса следующие уравнения в символах Гаусса: (2.19) Согласно (2.17 и (2.19) можно увидеть следующие свойства поправок . (2.20) Уравнения системы (2.19) называются нормальными уравнениями и обладают следующими свойствами: 1. По диагонали слева вниз направо расположены квадратичные коэффициенты. 2. Остальные коэффициенты располагаются относительно квадратичной диагонали симметрично. В том случае, если однородные измерения равноточны, то их веса принимаются равными единице и система уравнений (2.19) принимает следующий вид: (2.21) Системы (2.19) и (2.21) имеют вполне определенное решение, поскольку мы имеем k число неизвестных и такое же число уравнений. 2.2. Матричный вид параметрического уравнивания Система параметрических уравнений поправок (2.17) в матричной форме можно представить в следующем виде: , (2.22) где V - вектор искомых поправок в результаты измерений: A – матрица коэффициентов уравнения; T – вектор поправок в принятые приближенные значения неизвестных; L – вектор свободных членов; P – диагональная матрица весов. Все члены, входящие в уравнение матрицы, равны: (2.23) Условие наименьших квадратов (2.1) в матричной форме имеет вид: (2.24) где транспонированный вектор (2.25) В условие (2.24) подставим правые части выражений (2.22) и (2.25) Поскольку в полученном выражении , то условие наименьших квадратов (2.24) примет вид: Найдем производную функции Φ по T′ и приравняем к нулю, в результате получим следующее , откуда после сокращений (2.26) Введем обозначения , тогда (2.27) В результате получена матрица системы нормальных уравнений, где , (2.28) а вектор свободных членов . (2.29) Подставив полученные значения из (2.28) и (2.29) в уравнение (2.27), получим обычный вид системы нормальных уравнений в параметрическом способе уравнивания 2.3 Составление нормальных уравнений Составим коэффициенты нормальных уравнений, используя уравнения поправок в линейном виде . Для этого воспользуемся табличным способом (табл. 1) Таблица 1 Определение коэффициентов нормальных уравнений № уравнения a] b] … g] l] s] p v pv pvv plv 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 a1 b1 … g1 l1 s1 p1 v1 p1v1 p1v1v1 p1l1v1 2 a2 b2 … g2 l2 s2 p2 v2 p2v2 p2v2v2 p2l2v2 … … … … … … … … … … … … n an bn … gn ln sn pn vn pnvn pnvnvn pnlnvn Суммы [a] [b] … [g] [l] [s] [v] [pv] [pvv] [plv] Неизвест. δt1 δt2 … δtk [pa [paa] [pab] … [pag] [pal] [pas] [pb [pbb] … [pbg] [pbl] [pbs] … … … … … … … [pg [pgg] [pgl] [pgs] [pl [pll] [pls] [ps [pss] В результате получаем коэффициенты и свободные члены нормальных уравнений в параметрическом способе уравнивания: При заполнении верхней части таблицы выполняется контроль сумм: . (2.30) Умножая равенства (2.30) последовательно на piai , pibi , ... , pigi , pili и pisi и просуммировав, получим: (2.31) Контролем будут следующие выражения: (2.32) 2.4. Решение нормальных уравнений Способ последовательного исключения неизвестных. Способы решения нормальный уравнений делятся на строгие (точные) и приближенные (итеративные). Из значительного числа способов решения нормальных уравнений можно выделить способ последовательного исключения неизвестных, предложенный Гауссом. Для простоты изложения данного способа ограничимся системой, содержащей три нормальных уравнения: (2.33) Из первого уравнения системы (2.33) выразим первое неизвестное δt1 (2.34) Мы получили первое элиминационное уравнение. Значение первого неизвестного подставляем во второе и третье уравнения системы (2.33) Введем обозначения (2.35) В результате получим систему следующих уравнений (2.36) Из первого уравнения системы (2.36) находим второе неизвестное . (2.37) Получили второе элиминационное уравнение. Подставляя значение δt2 во второе уравнение системы (2.36), соответственно получим или в символах Гаусса (2.38) Откуда и определяем третье неизвестное δt3 (2.39) Из полученного третьего элиминационного уравнения (2.39) найденное значение третьего неизвестного подставляем в равенство (2.37) и определяем второе неизвестное δt2 , а затем оба вычисленных значений δt3 и δt2 подставляем в равенство (2.34) и находим первое неизвестное δt1. Таким образом, систему нормальных уравнений (2.33) можно заменить эквивалентной системой: (2.40) Правило раскрытия символов Гаусса: раскрываемый алгорифм представляет собой разность двух членов, первый из которых имеет те же буквенные символы как и у раскрываемого, с числовым индексом на единицу меньше, а второй член представляет собой дробь, в знаменателе которой квадратичный символ с буквами, соответствующими предыдущему индексу, а в числителе - произведение двух символов, первые буквы которых те же, что в знаменателе, а вторые, как у раскрываемого символа. Решение нормальный уравнений осуществляется согласно схеме Гаусса- Дулитля (табл. 2). Итеративные способы. Рассмотрим способ последовательных приближений (способ Якоби). Для простоты изложения ограничимся системой из трех нормальных уравнений (2.41) Из каждого уравнения найдем соответствующее неизвестное (2.42) Равенства (2.42) получили название итерационных уравнений. Для дальнейшего решения примем нулевые приближения (2.43) Подставим значения нулевых приближений в равенства (2.42), в результате чего получим (2.44) Полученные значения первых приближений снова подставляем в равенства (2.42) и получаем вторые приближения (2.45) Подстановку полученных последующих приближений выполняют до тех пор, пока не получим искомые значения неизвестных с заданной степенью точности. Данный способ целесообразно использовать в случае малости неквадратичных коэффициентов по сравнению с квадратичными. Для систем нормальных уравнений с любыми коэффициентами выгодно применить способ простой итерации (способ Гаусса-Зейделя). В этом случае в итерационные уравнения (2.42) подставляем значения нулевых приближений: (2.46) Приближения производятся до тех пор, пока полученные значения неизвестных не будут повторяться. Матричный способ. Матричный способ. Воспользуемся исходной матрицей нормальных уравнений (2.47) Умножим уравнение (2.47) на обратную матрицу N-1 Принимая во внимание, что N-1N = E, выразим искомый вектор T = - N-1A'PL = B L, (2.48) где B = - N-1A'P - матрица линейных преобразований. Согласно вышесказанному мы можем вычислить вектор поправок T в приближенные значения искомых неизвестных. Подставляя вектор поправок в равенство (2.22), можно получить вектор поправок в результаты измерений Тема лекции: Оценка точности по материалам параметрического уравнивания 2.5. Весовые коэффициенты и оценка точности определяемых величин Одной из задач, решаемых геодезистом, является оценка точности, как самих производимых измерений, так и получаемых в процессе обработки результатов. Эту задачу можно решить в процессе выполнения уравнительных вычислений, определяя средние квадратические ошибки измеренных и уравненных значений в том числе и функций от этих величин. Согласно теории ошибок измерений среднюю квадратическую ошибку какой-либо величины в общем случае определяем по формуле , (2.54) где МY – средняя квадратическая ошибка оцениваемой величины; μ – ошибка единицы веса; PY – вес оцениваемой величины. На начальной стадии уравнивания произвольно принимается ошибка единицы веса μ0 в зависимости от вида работ, которая позволяет установить веса измеряемых величин. В результате уравнительных вычислений определяют фактическое значение ошибки единицы веса по найденным поправкам vi согласно формуле , (2.55) где n – количество всех выполненных измерений; k – число независимых неизвестных. В геодезической практике по результатам измерений нескольких величин вычисляют значение какой-либо величины. Причем между определяемой и измеренными величинами имеется определенная функциональная зависимость. В этом случае возникает задача оценки точности искомой величины. Предположим, что оцениваемая величина задана в общем виде Y = F(X1 + X2 + … + Xn). (2.56) Средняя квадратическая ошибка функции (2.56) определяется по формуле (2.54), в которой Сложность в этом случае заключается в том, что оценивать приходиться через результаты измерений. Поэтому в параметрическом способе уравнивания оцениваемую величину представляют через необходимые неизвестные Xi = Fi(T1, T2, … , Tk). (2.57) Уравнения поправок будут иметь следующий вид aiδt1 + biδt2 + … + giδk + li = vi . (2.58) Предположим, что в процессе обработки результатов было установлено три независимых неизвестных, тогда получим следующие уравнения поправок aiδt1 + biδt2 + ciδ3 + li = vi . (2.59) Согласно принципу наименьших квадратов [pvv], получим следующую систему нормальных уравнений (2.60) Для решения данной системы и нахождения неизвестных воспользуемся способом неопределенных множителей Qij . Каждое уравнение системы (2.60) умножим соответственно на неопределенные множители Q11, Q12, Q13. В результате группирования относительно неизвестных δt1, δt2, δt3 получим следующее равенство (2.61) Из равенства (2.61) найдем первое неизвестное δt1, подобрав множители таким образом, чтобы коэффициенты (выражения в скобках) при δt2 и δt3 равнялись нулю, а при δt1 был равен единице. Тогда равенство (2.61) примет вид (2.62) Коэффициенты при неизвестных образуют систему нормальных уравнений (2.63) Аналогичным образом, умножая уравнения системы (2.60) соответственно на множители Q21, Q22 и Q23 и приравняв коэффициент при втором неизвестном единице, а при первом и третьем - нулю, получаем второе неизвестное δt2 (2.64) Образовалась вторая система нормальных уравнений с неизвестными Q21, Q22 и Q23 (2.65) Таким же образом, используя множители Q31, Q32 и Q33, получаем третье неизвестное δt3 и третью систему нормальных уравнений (2.66) Новая система примет вид (2.67) Рассмотренный способ нахождения неизвестных δtj является менее эффективным по сравнению со способом последовательного исключения неизвестных. Неопределенные множители можно использовать для оценки точности вычисленных значений неизвестных. Для этого рассмотрим свойства наших множителей Qij. Представим уравнение (2.62) в следующем виде: (2.68) Обозначим (2.69) Следовательно, равенство (2.57) примет вид: (2.70) Умножим равенства (2.69) на a1, a2, ... , an,, вследствие чего получим (2.71) По аналогии, умножив равенства (2.69) соответственно на b1, b2, … , bn , получим (2.72) Аналогично при умножении на с1, с2, … , сn имеем (2.73) Для дальнейшего перемножим левые и правые части равенств (2.69) на , в результате сложения получим . (2.74) Определим вес линейной функции (2.70). Поскольку в данном равенстве li являются функцией результатов измерений xi, следовательно, и имеют соответствующие веса, тогда вес функции (2.61) будет равен . (2.75) Сравнивая выражения (2.74) и (2.75), делаем вывод, что множитель Q11 является обратным весом первого неизвестного δt1, т.е. . (2.76) Таким образом, можно принять неопределенные множители за весовые коэффициенты. Рассмотрим равенство (2.64). По аналогии с предыдущим это выражение можно представить в виде . (2.77) Исходя из свойств весовых коэффициентов, получим следующие значения (2.78) а . (2.79) Если воспользоваться уравнением (2.66) для третьего неизвестного δt3, то в результате соответствующих обозначений и преобразований получим . (2.80) Дальнейший анализ свойств весовых коэффициентов приводит к следующим результатам (2.81) (2.82) В случае, если умножить равенства (2.69) на , то в итоге получим после соответствующих преобразований или . (2.83) По аналогии, если проделать то же самое с коэффициентами βi , умножив их значения на , то получим = Q21, (2.84) следовательно Q12 = Q21 . Таким образом, парные весовые коэффициенты являются обратными весами неизвестных, а значения непарных равны между собой, т.е. Qij = Qji . Контролем вычисления весовых коэффициентов является следующее выражение (2.85) где S1 = [pas] - [pal]; S2 = [pbs] - [pbl]; ... ; Sk = [pgs] - [pgl]. 2.6. Оценка точности функций уравненных величин В том случае, если возникает необходимость оценить какую-либо величину, связанную с уравненными значениями измеренных величин определенными функциональными зависимостями, т.е. . (2.86) Тогда . Как мы видим, задача сводится к нахождению обратного веса функции. Выразим нашу функцию через приближенные значения t1, t2, ... , tk и поправки к ним δt1, δt2, ... , δtk . (2.87) Разложим данную функцию в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми степенями разложения, получим обозначим F(t1, t2, ... , tk) = f0; = fj , тогда U = f0 + f1 δt1 + f2 δt2 + ... + fkδtk . (2.88) Частные производные fj функции (2.88) называются коэффициентами весовой функции. Дальнейшая замена в равенстве (2.88) неизвестных δt1, δt2, ... , δtk согласно уравнений (2.70), (2.77) и (2.80) с использованием формулы (1.26) и на основании свойств весовых коэффициентов в окончательном виде будем иметь (2.89) Выражение (2.89) сгруппируем относительно fj , получим Введем обозначения (2.90) В результате получим (2.91) Умножая равенства (2.90) на коэффициенты нормальных уравнений соответственно [paa], [pab], ... , [pgg] и после преобразований вычислим значения φ1, φ2, ... , φk , которые подставим в (2.82), и получим (2.92) Формула (2.92) позволяет вычислить обратный вес функции совместно с неизвестными, а также с весовыми коэффициентами в схеме Гаусса-Дулитля (табл. 3). Контрольной формулой вычисления обратного веса является следующее выражение (2.93) где (2.94)