Методика изучения математических понятий

4. Лекция. Методика изучения математических понятий План. Сущность понятия. Содержание и объем понятия. Определение математических понятий. Классификация математических понятий. Методика введения новых математических понятий.         Любая наука представляет собой систему понятий, поэтому в математике, как и в других учебных предметах, уделяется значительное внимание обучению понятиям. Понятие относится к формам теоретического мышления, которое является рациональной ступенью познания.  1. Сущность понятия. Содержание и объем понятия. При помощи понятий мы выражаем общие, существенные признаки вещей и явлений объективной действительности.             Восприятием называется непосредственное чувственное отражение действительности в сознании человека.             Представлением называется запечатленный в нашем сознании образ предмета или явления, в данный момент нами не воспринимаемого.             Восприятие исчезает, как только воздействие предмета на органы чувств человека кончается. Остается представление. Например, показываем куб, а потом его убираем. Мы знаем различные кубы, разного цвета и т.п., но мы от этого отвлекаемся, сохраняя общее и существенное.             Понятие абстрагируется от индивидуальных черт и признаков отдельных восприятий и представлений и является результатом обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных предметов и явлений, например, число, пирамида, окружность, прямая. Понятия образуются путем таких логических приемов, как анализ и синтез, абстрагирование и обобщение. Понятием будем называть мысль о предмете, выделяющую его существенные признаки. Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов (например, параллелограмм). В каждом понятии различают его содержание и объем. Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков объектов, охватываемых понятием. Основное содержание – достаточный набор свойств, т.е. все те свойства, каждое их которых, взятое отдельно, необходимо, а взятые в совокупности достаточны для отличения данного понятия от остальных. Объемом понятия называется совокупность объектов, на которое распространяется данное понятие. Между объемом и содержанием понятия существует соотношение: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем. Сокращение содержания понятия влечет за собой расширение его объема. Эту операцию называют обобщением понятия. Например, если из содержания понятия «равносторонний треугольник» изъять свойство «равенство всех сторон», то множество треугольников, удовлетворяющих новому содержанию, станет «шире» – будет  содержать множество равносторонних треугольников в качестве подмножества. Расширение содержания понятия ведет к сужению его объема и называется ограничением (специализацией) понятия. Пример такой операции – переход от понятия тождественных преобразований к понятию сокращение дробей. Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым, а второе – родовым. Понятия род и вид имеют относительный характер. Например, понятие «призма» является родовым по отношению к понятию «прямая призма», но видовым понятием по отношению к понятию «многогранник».              Круги Эйлера.                        2. Определение математических понятий. Содержание понятия раскрывается с помощью определения. Определение (дефиниция) понятия – это такая логическая операция, при помощи которой раскрывается основное содержание понятия или значение термина.              Определить понятие – это значит перечислить существенные признаки предметов, отображенных в данном понятии. Задача перечисления признаков бывает нелегкой, но она упрощается, если опираться на понятия, ранее уже установленные. Понятие фиксируется в речи с помощью слова или словосочетания, называемого именем или термином понятия. В математике понятие часто обозначается не только именем, но и символом. Например,  и другие. Таким образом, в определении сначала указывается род, в который определяемое понятие входит как вид, а затем указывают те признаки, которые отличают этот вид от других видов ближайшего рода. Такой прием определения понятия называется определением понятия через ближайший род и видовое отличие. Понятие = род + видовое отличие.   Типы определений   Вербальные                                                                         Невербальные   Явные                                                           Неявные Через род и видовые отличия                        Аксиоматические                         Описательные                                    (описываются системой аксиом)          Явными называются определения, в которых смысл определяемого термина полностью передается через смысл определяющих терминов, т.е. явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия. Определение через ближайший род и видовое отличие относится к явным. В неявных определениях смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами. Пример неявного определения – определение исходных понятий с помощью системы аксиом. Такие определения называются аксиоматическими. Примеры аксиоматических определений являются определения группы, кольца и поля и т.п. (аксиоматика Гильберта, Вейля, система аксиом Пеано для натуральных чисел).  Генетическим называется определение объекта путем указания способа его построения, образования, происхождения. Например, «усеченный конус есть тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной к основаниям трапеции». Или определение понятия «линейный угол двугранного угла». В индуктивном (рекуррентном) определении объект задается как функция  от натурального числа . Это задание обеспечивается указанием значения  и некоторого равенства, связывающего значения  и. Например, по индукции в математике вводится определение натурального числа. Остенсивные определения понятий и описательные описывают объекты с помощью моделей, рассмотрения частных случаев, выделения отдельных существенных свойств, вводятся с помощью непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальных классах и частично в 5-6 классах. Учитель, изображая треугольники на доске, знакомит учащихся с понятием треугольник. В средней школе преобладают вербальные определения. Чтобы дать логически правильное определение, нужно соблюдать правила определения:  1. Определение должно быть соразмерным, то есть определяемое и определяющие понятия должны быть равны по объему. Чтобы проверить соразмерность, нужно убедиться, что определяемое понятие удовлетворяет признакам определяющего понятия и наоборот. Например, дано определение: «Параллелограмм есть многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны». Проверим его: «Всякий многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, есть параллелограмм» – это неверно. Или: «параллельными прямыми называются прямые, которые не пересекаются» (неверно, это могут быть и скрещивающиеся прямые). 2. Определение не должно содержать в себе «порочного круга». Это означает, что нельзя строить определение таким образом, чтобы определяющим понятием было такое, которое само определяется при помощи определяемого понятия. Например, «прямым углом называется угол, содержащий , а градусом называется 1/90 часть прямого угла». Иногда «порочный круг» принимает форму тавтологии (то же посредством того же) – употребление слова, имеющего то же самое значение. 3. Определение по возможности не должно быть отрицательным. В определение должны указываться существенные признаки предмета, а не то, чем не является предмет. Например, «ромб – это не треугольник», «эллипс – это не окружность». В математике в некоторых случаях отрицательные определения допустимы, например, «трансцендентной функцией называется всякая неалгебраическая функция». 4. Определение должно быть четким и ясным, не допускающим двусмысленных или метаморфических выражений. Например, «арифметика есть царица математики» – образное сравнение, а не определение, утверждение «лень – мать всех пороков», поучительно, но не определяет понятие лени. 3. Классификация математических понятий. Объем понятия раскрывается путем классификации. Классификация – это систематическое распределение некоторого множества по классам, возникающее в результате последовательного деления, основанного на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов.   Операция деления – логическая операция, раскрывающая объем понятия путем выделения в нем возможных видов объекта. Например, всех студентов педагогического университета можно разделить на собирающихся идти работать в школу и не собирающихся. Основанием деления является свойство, в соответствии с которым выделяются виды. В нашем примере основанием является свойство: «иметь намерение работать в школе». При осуществлении классификации важен выбор основания: разные основания дают разные классификации. Классификация может производиться по существенным свойствам (естественная) и по несущественным (вспомогательная). При естественной классификации, зная к какой группе принадлежит элемент, можем судить о его свойствах. Два вида деления: 1. деление по видоизменению признака – это деление, при котором свойство – основание деления присуще объектам выделенных видов в разной степени 2. дихотомическое деление – это деление, при котором данное понятие делится на два вида по наличию или отсутствию некоторого свойства. Операция деления подчиняется следующим правилам: 1. деление должно быть соразмерным, т.е. объединение выделенных классов должно образовывать исходное множество (сумма объемов видовых понятий равна объему родового понятия). 2. деление должно проводится только по одному основанию. 3. пересечение классов должно быть пусто. 4. деление должно быть непрерывным. 4. Методика введения новых математических понятий. В методике преподавания математики выделяются два метода введения понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный. Эти методы определяются логическими методами познания: индукцией и дедукцией. Схема применения конкретно-индуктивного метода. 1. Рассматриваются и анализируются примеры (анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение,…). 2. Выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют. 3. Формулируется определение. 4. Определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров. 5. Дальнейшее усвоение понятия и его определения проходит в процессе их применения: а) распознавание понятия. б) конструирование (нарисовать). в) применение данного определения к решению задач. Например, понятие параллелограмма. Пример. Введение понятия – вертикальные углы. Задания: 1. нарисуйте угол                 2. постройте лучи  и , противоположные данным.                 3. какую фигуру образуют лучи  и ?                 4. углы и называются вертикальными.     5. попробуйте дать определение вертикальных углов.     6. нет ли на рисунке еще вертикальных углов?     7. назовите вертикальные углы.       8. как нарисовать два вертикальных угла? Схема применения абстрактно-дедуктивного метода. Формулируется определение понятия. Приводятся примеры и контрпримеры. Закрепляется понятие путем выполнения различных упражнений. Например, введение квадратного уравнения, понятия декартовых координат и т.п. При формировании понятий целесообразно применять рекомендации психолого-педагогических наук, например, теорию поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина. 1 этап. Разъясняют цель вводимого понятия, дают ориентировку. 2 этап. Учащиеся формулируют определение исходя из рисунка. 3 этап. Учащиеся формулируют определение, пользуясь громкой (внешней) речью без опоры на рисунок. 4 этап. Определение проговаривается в форме внешней речи про себя. 5 этап. Определение проговаривается в форме внутренней речи. При изучении понятий надо варьировать несущественные признаки (принципы варьирования) – это разнообразное расположение на доске рисунков и чертежей, например, треугольника, его высоты, перпендикуляра к прямой и т.д. (не только горизонтальное расположение прямой, основания треугольника и т.п.) Усвоению определений помогает анализ логической структуры определения. С этой целью составляются алгоритмы распознавания понятий, математические диктанты и тесты.