Математические утверждения и теоремы, их виды, работа с теоремами. Обоснования и доказательства

5. Лекция. Математические утверждения и теоремы, их виды, работа с теоремами. Обоснования и доказательства.          п.1. Основные понятия.        Суждениями принять называть предложения, в которых выражена мысль о предмете, объектах, явлениях. Существуют два основных свойства суждений: что-то отрицать или утверждать, являться истинным или ложным. Суждение состоит из логического подлежащего, логического сказуемого и логической связки.         Математическим предложением называют повествовательное предложение, выражающее суждение о математических объектах. Множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур, образует математическую теорию. В школе учащихся знакомят с таким методом построения научных теорий, как аксиоматический метод.          Дать определение всем понятиям невозможно. Определяя понятия через другие, приходят к исходным понятиям – «кирпичикам» теории. В математической теории эти понятия называют неопределяемыми, а описываются они аксиомами. Аксиома – математическое предложение, которое принимается без доказательств в рамках данной теории. Построение математической научной теории предполагает выделение конечной системы аксиом, обладающей свойствами непротиворечивости, полноты и независимости. Новые математические понятия вводятся через определения, которые включают лишь логически независимые свойства понятия (основное содержание). Остальные свойства логически зависимы от основного содержания и выводятся из него. Отношения между понятиями выражают математические предложения. Кроме аксиом, все остальные предложения теории выводятся логическим путем с использованием законов логики, правил вывода, положений теории множеств.             Доказательство – совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с данным суждений. Выделяют следующую структуру доказательства: тезис (суждение, истинность которого надо доказать), аргументы (истинные суждения, используемые при доказательстве тезиса), демонстрация, или форма доказательства (способ логической связи между тезисом и аргументами). В качестве аргументов выступают: - удостоверенные единичные факты, т.е. статистические данные, результаты эксперимента или наблюдения и др. - определение понятий. - аксиомы (суждения, которые принимаются в качестве аргументов без доказательства) и постулаты (суждения, принимаемые в рамках научной теории за истинные).    - законы науки и теоремы. При доказательстве необходимо соблюдать следующие правила доказательного рассуждения. Тезис должен быть логически определенным, ясным, точным и оставаться тождественным на протяжении всего доказательства или опровержения. Аргументы должны быть истинными, не противоречащими друг другу и являться достаточным основанием для подтверждения тезиса; истинность аргументов должна быть доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Необходимо, чтобы тезис был заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений, или был бы получен в соответствии с правилами косвенного доказательства. Доказательство является обязательным этапом в процессе аргументации. Все доказательства можно разделить на прямые и косвенные. При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых, по логическим правилам, получается тезис. Пример. Нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 3600. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 1800. Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 3600. Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса. Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является «доказательством от противного». Пример. Нужно построить косвенное доказательство тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Нетрудно показать ложность этого утверждения. С этой целью выводят из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: «У квадрата нет углов». Поскольку антитезис ложен, значит, тезис должен быть истинным. Опровержение – это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или не недоказанности.      Логико-математический анализ теорем и методические особенности их изучения. Под теоремой принято считать математическое предложение (утверждение), истинность которого устанавливается с помощью доказательства в рамках данной теории. С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации. Также в школьном курсе математики встречаются теоремы-тождества и теоремы-формулы (выраженные языком математических символов), теоремы существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование объекта, обладающего определенными свойствами). Среди теорем, представляемых в виде импликации, выделяют такие частные виды, как следствие (доказывается с помощью одной теоремы), лемма (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинно и прямое, и обратное утверждения, форма – эквиваленция).  Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии в основном рассматриваются теоремы, которые можно представить в виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа: 1. установление формы формулировки; 2. перевод формулировки, если необходимо, в импликативную форму (если…, то…); 3. запись структуры теоремы, т.е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний и содержания структурных элементов; 4. определение вида (простая или сложная); 5. формулирование утверждений, обратного данному, противоположного данному и обратного противоположному (определение их истинности или ложности). Пример. Анализ теоремы «Сумма смежных углов равна 180 градусам», а также утверждений: а) обратного данному, б) противоположного данному, в) противоположного обратному. 1. Теорема сформулирована в категоричной форме. В импликативной форме она будет иметь формулировку: «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам». Вид суждения – общеутвердительное, поэтому уточним формулировку: «Если любые два угла смежные, то их сумма равна 180 градусам». 2. Утверждение, обратное данному: «Если сумма двух углов равна 180 градусам, то углы смежные». Вид суждения – общеутвердительное, поэтому формулировка будет: «Если любые два угла в сумме равны 180 градусам, то они смежные». 3. Утверждение, противоположное данному: «Если углы не смежные, то их сумма не равна 180 градусам». Вид суждения – общеотрицательное. 4. Утверждение, обратное противоположному: «Если сумма углов не равна 180 градусам, то углы не смежные». Вид суждения – общеутвердительное. Работа с теоремой включает в себя следующие этапы. 1. Нулевой этап – выполнение логико-математического анализа. 2. Первый этап – подготовительный, который подразумевает: актуализацию знаний, мотивацию необходимости изучения факта, подведение к теоретическому факту. 3. Второй этап – основной – включает: 1)      формулировку теоремы; 2)      работу с формулировкой: перевод из категоричной формы в импликативную, если это необходимо, переформулирование, выделение условия и заключения; 3)      мотивацию необходимости доказательства; 4)      анализ условия и заключения, поиск способа доказательства, составление схемы доказательства или образца доказательства; 5)      работу с доказательством: выделение основной идеи, общей структуры и шагов доказательства, выдвижение аргументов и демонстрация доказательства; 6)      подведение итогов (основные идеи и теоретические факты, положенные в основу доказательства). 1. Третий этап – закрепление, т.е. непосредственное применение теоремы «в лоб» (используется в качестве аргументов преимущественно только изучаемая теорема, и доказательство имеет 1-2 шага). В дальнейшем, при вторичном закреплении при решении задач используются кроме изученной теоремы теоретические факты из других тем.