Общие сведения о системах счисления

Различные системы счисления, которые существовали раньше и используются сегодня, подразделяются на следующие типы:

• Позиционные системы счисления.
• Непозиционные системы счисления.

Обозначения, используемые для отображения чисел, принято называть цифрами. Когда применяется непозиционная система счисления, фактический вес цифры в обозначении числа никак не зависит от её местоположения. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления, которая использует латинские символы для обозначения цифровых величин. Для позиционной системы счисления существует характерная зависимость цифровой величины в обозначении числа от той позиции, в которой расположена цифра.

Количество используемых цифр в любой системе счисления является её основанием. Каждая цифра в числе располагается на определённом месте, именуемом позицией. Первой позиционной системой счисления принято считать шестидесятеричную систему счисления древнего Вавилона. Цифры в данной системе могли быть двух типов, то есть это единицы и десятки. Но широкого распространение такая система не получила, однако его получила арабско-индийская десятичная система счисления. В Индии люди первыми стали использовать нуль для указания того, каким весом обладает текущая позиция в строке цифр. Система получила название десятичной, так как обладала совокупностью, состоящей из десяти цифр.

Перевод числа в разные системы счисления

Как отмечалось выше, системой счисления является метод представления чисел. Одно и то же число можно представить в разных видах. К примеру, число 200 в привычной всем десятичной системе имеет несколько другое отображение в других системах счисления, а именно:

1. 11001000 в двоичной системе счисления.
2. 310 в восьмеричной системе счисления.
3. C8 в шестнадцатеричной системе счисления.

Чтобы указать тип системы счисления при записи числа применяется так называемый используется нижний индекс, который следует поставить после числа:

$200_{10} = 11001000_2 = 310_8 = C8_{16}$

Десятичная система счисления применяется в повседневной жизни человека и считается самой распространенной. Все числа, которые необходимы для вычислений, представлены в этой системе. В любом разряде таких чисел может располагаться лишь одна цифра от нуля до девяти.

Двоичная система счисления в основном применяется в вычислительной технике. Для записи чисел в этой системе применяются всего две цифры, а именно, нуль и единица.

Восьмеричная система счисления тоже иногда используется в вычислительной технике. Для записи чисел в этой системе применяются цифры от нуля до семи.

Шестнадцатеричная система счисления, пожалуй, является самой распространённой современном компьютерном оборудовании. С её помощью может быть указан цвет, например:

FF0000 обозначает красный цвет.

Для записи чисел в этой системе применяются цифры от нуля до девяти, а также буквы A, B,C,D,E,F, обозначающие соответственно числа 10,11,12,13,14,15.

Выполнить преобразование числа из какой-либо системы счисления в десятичную систему возможно путём осуществления следующих действий:

1. Все разряды числа следует умножить на $X_n$, где X является основанием исходного числа, а n определяет номер разряда.
2. Выполнить суммирование полученных значений.

Формула этих действий имеет следующий вид:

$abc_x = (a*x^2 + b*x^1 + c*x^0)_{10}$

Ниже приведены примеры подобных преобразований:

$567_8 = (5*8^2 + 6*8^1 + 7*8^0)_{10} = 375_{10}$

$110_2 = (1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0)_{10} = 6_{10}$

$A5_{16} = (10*16^1 + 5*16^0)_{10} = 165_{10}$

Для перевода числа из десятичной системы счисления в другие системы, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выполнить деление десятичного число на основание системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод, и записать остатки от деления.
2. Записать полученные остатки в обратном порядке, что и даст в итоге искомое число.

Рассмотрим пример перевода числа $375_{10}$ в восьмеричную систему:

1. 375 / 8 = 46 (остаток семь)
2. 46 / 8 = 5 (остаток шесть)
3. 5 / 8 = 0 (остаток пять)
4. Выполняем запись остатков, что в итоге даёт число 5678

Рассмотрим способы преобразования числа из двоичной системы счисления в восьмеричную систему. Первый способ:

1. Чтобы выполнить перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную, следует разбить двоичное число на группы по три цифры справа налево.
2. В последней группе, которая слева, вместо недостающих цифр следует ставить слева нули.
3. Для каждой сформированной группы нужно выполнить умножение всех разрядов на $2^n$, где n является номером разряда.

Ниже приведён пример такого преобразования:

$1101_2 = (001) (101) = (0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0) (1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0) = (0+0+1) (4+0+1) = (1) (5) = 15_8$

Второй способ предполагает следующие действия:

1. Аналогично первому способу необходимо разбить число на группы.
2. Вместо преобразований в скобках следует просто заменить сформированные триадные группы на необходимые цифры восьмеричной системы счисления, с помощью следующей таблицы триад:

Рисунок 1. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ниже приведён пример преобразования по этому способу:

$10111010_2 = (010) (111) (010) = 272_8$

Рассмотрим способы преобразования числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему. Первый способ заключается в выполнении следующих операций:

1. Выполнить разбиение числа на группы по четыре цифры справа налево.
2. Последнюю (левую) группу следует при необходимости дополнить ведущими нулями.
3. Внутри каждой сформированной группы следует осуществить умножение каждой цифры на $2^n$, где n является номером разряда.
4. Выполнить сложение результатов.

Ниже приведён пример такого преобразования:

$11010_2 = (0001) (1010) = (0*2^3 + 0*2^2 + 0*21 + 1*2^0) (1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0) = (0+0+0+1) (8+0+2+0) = (1) (10) = 1A_{16}$

Второй способ предполагает выполнение следующих операций:

1. Выполнить разбиение числа на группы по четыре цифры.
2. Заменить сформированные тетрадные группы на необходимые цифры из шестнадцатеричной системы, применяя тетрадную таблицу.

Ниже приведён пример такого преобразования:

$101111100_2 = (0001) (0111) (1100) = 17C_{16}$