Математические методы теории сетей связи и передачи данных

Введение

По дискретным каналам связи информационные данные транслируются при помощи определённого количества символов $q$, которые составляют ограниченный комплект, именуемый полем. Поле, имеющее конечное количество символов $q$, называется полем Галуа и обозначается как $GF(q)$. Число $q$ следует выбрать в виде степени некоего простого числа $p$:

$q=p^m$.

Причём такое поле при $m=1$, то есть $GF(p)$, именуется простым, а при $m>1$, то есть при $GF(p^m) $, считается расширенным или иначе, расширением степени $m$ базового поля $GF(p) $. Для случая $q=2$ подразумевается бинарный канал, имеющий символы нуль и единица.

Чтобы передать сообщения источника компоненты поля соединяют в кодовые комбинации, длиною n, которые называются также n-последовательностями.Набор всех n-последовательностей формирует линейное векторное пространство, где каждая n-последовательность отображается в векторном формате.

Определённое векторное множество именуется линейным кодом, когда оно представляет собой подпространство всех n-последовательностей. Для бинарных линейных кодов, у которых n-последовательности имеют в качестве знаков нуль и единицу, общепринятым считается наименование «групповой код». Это название сопряжено с тем обстоятельством, что набор векторов линейного векторного пространства формирует алгебраическую систему, именуемую группой.

Помимо группы и сопряжённых с ней разделов теории векторных пространств и матриц, чтобы описать и проанализировать свойства групповых кодов используют компоненты теории колец и конечных полей.

Под алгебраическими системами понимаются абстрактные системы, подчиняющиеся некоторым заданным правилам и законам, которые формулируются как аксиомы. Для двоичных каналов группа является системой, в которой определена одна из двух допустимых операций, а именно, суммирование (это аддитивная группа) или умножение (это мультипликативная группа) по модулю два и справедливы аксиомы А1-А4.

В поле и кольце могут также определяться операции суммирования и умножения. Причём компоненты кольца по операции суммирования обязаны отвечать всему набору групповых аксиом А1-А5, то есть они должны образовать абелеву группу, а по операции умножения должны отвечать аксиомам А1 и А2.В поле все компоненты должны образовать абелеву группу по сложению, а все компоненты, отличные от нуля, образуют абелеву группу по умножению. В кольце и поле компоненты могут суммироваться и умножаться, то есть в таких системах должна выполняться аксиома А6.

Аксиомы, определяющие алгебраические системы

Известны следующие аксиомы, определяющие алгебраические системы:

• А1 — это аксиома замкнутости. Операцию можно использовать для двух любых компонентов группы, а в итоговом результате будут также компоненты группы.
• А2 — это аксиома ассоциативного закона. Любые три выбранные компонента a, b и с группы для операции суммирования удовлетворяют выражению (a+b)+c=a+(b+c), или выражению a(bc)=(ab)с, если это операция умножения.
• А3 — это аксиома наличия единичного компонента. Когда задаётся операция суммирования, то единичным компонентом является нуль и находится из уравнения 0+a=a+0=a, где a может быть любым компонентом группы. Если выполняется операция умножения, то единичным компонентом является единица и находится из уравнения 1a=a1=a.
• А4 — это аксиома существования обратных компонентов. У всех компонентов группы «а» имеется обратный компонент. Обратный компонент для операции суммирования (-а) задаётся из уравнения a+(-a) =(-a)+a=0.Для операции умножения обратный компонент (a-1) задаётся уравнением aa-1= a-1a=1.
• А5 — это аксиома коммутативного закона. Когда для компонентов группы по выбранной операции выполняются условия a+b = b+a или ab=ba соответственно для операций суммирования и умножения, то группа именуется абелевой или коммутативной.
• А6 — это аксиома дистрибутивного закона. Она задаёт правило раскрытия скобок a(b+c) = ab+ас.

Кольцо именуется коммутативным, когда коммутативной является операция умножения.

Полем именуется коммутативное кольцо, в котором по операции умножения присутствует единичный компонент и обратные компоненты для каждого ненулевого компонента.

Перечень определений группы, кольца и поля изображены в следующей таблице:

Рисунок 1. Перечень определений группы, кольца и поля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Правила сложения и умножения определяются в виде действий по модулю два и в $GF(2)$ и могут быть представлены в следующем табличном формате:

Рисунок 2. Правила сложения и умножения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Поле $GF(2)$ считается простым. В расширенном бинарном поле $GF(2^m)$ компонентами являются все m-разрядные бинарные последовательности. К примеру, $GF(2^2)$ состоит из следующих компонентов:

00, 10, 01, 11.

Операция суммирования последовательностей в данном поле может быть выполнена путём поразрядного сложения символов, которые стоят на одних и тех же местах в суммируемых последовательностях, с применением приведённой выше таблицы. К примеру, 00+11=11, 10+11=01 и так далее.

Операция умножения осуществляется согласно законам умножения многочленов. Необходимо двоичные последовательности представить в формате многочленов, зависящих от формальной переменной «а»:

00=0, 10=1, 01= а, 11=1+а.

Чтобы сохранить разрядность компонентов поля $GF(2^m)$, операция умножения компонентов поля осуществляется по модулю определённого неприводимого многочлена $π(α)$ степени $m$. Для поля $GF(2^2)$ этим неприводимым многочленом считается $π(α)=1+ α+ α^2$.Это единственный неприводимый многочлен второй степени над полем $GF(2)$.