Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Математические методы теории сетей связи и передачи данных

Замечание 1

Математические методы теории сетей связи и передачи данных — это методы кодирования, устойчивые к помехам и обеспечивающие нахождение и коррекцию ошибок, возникающих при передаче информации по каналам связи.

Введение

По дискретным каналам связи информационные данные транслируются при помощи определённого количества символов q, которые составляют ограниченный комплект, именуемый полем. Поле, имеющее конечное количество символов q, называется полем Галуа и обозначается как GF(q). Число q следует выбрать в виде степени некоего простого числа p:

q=pm.

Причём такое поле при m=1, то есть GF(p), именуется простым, а при m>1, то есть при GF(pm), считается расширенным или иначе, расширением степени m базового поля GF(p). Для случая q=2 подразумевается бинарный канал, имеющий символы нуль и единица.

Чтобы передать сообщения источника компоненты поля соединяют в кодовые комбинации, длиною n, которые называются также n-последовательностями.Набор всех n-последовательностей формирует линейное векторное пространство, где каждая n-последовательность отображается в векторном формате.

Определённое векторное множество именуется линейным кодом, когда оно представляет собой подпространство всех n-последовательностей. Для бинарных линейных кодов, у которых n-последовательности имеют в качестве знаков нуль и единицу, общепринятым считается наименование «групповой код». Это название сопряжено с тем обстоятельством, что набор векторов линейного векторного пространства формирует алгебраическую систему, именуемую группой.

Помимо группы и сопряжённых с ней разделов теории векторных пространств и матриц, чтобы описать и проанализировать свойства групповых кодов используют компоненты теории колец и конечных полей.

Под алгебраическими системами понимаются абстрактные системы, подчиняющиеся некоторым заданным правилам и законам, которые формулируются как аксиомы. Для двоичных каналов группа является системой, в которой определена одна из двух допустимых операций, а именно, суммирование (это аддитивная группа) или умножение (это мультипликативная группа) по модулю два и справедливы аксиомы А1-А4.

«Математические методы теории сетей связи и передачи данных» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

В поле и кольце могут также определяться операции суммирования и умножения. Причём компоненты кольца по операции суммирования обязаны отвечать всему набору групповых аксиом А1-А5, то есть они должны образовать абелеву группу, а по операции умножения должны отвечать аксиомам А1 и А2.В поле все компоненты должны образовать абелеву группу по сложению, а все компоненты, отличные от нуля, образуют абелеву группу по умножению. В кольце и поле компоненты могут суммироваться и умножаться, то есть в таких системах должна выполняться аксиома А6.

Аксиомы, определяющие алгебраические системы

Известны следующие аксиомы, определяющие алгебраические системы:

  • А1 — это аксиома замкнутости. Операцию можно использовать для двух любых компонентов группы, а в итоговом результате будут также компоненты группы.
  • А2 — это аксиома ассоциативного закона. Любые три выбранные компонента a, b и с группы для операции суммирования удовлетворяют выражению (a+b)+c=a+(b+c), или выражению a(bc)=(ab)с, если это операция умножения.
  • А3 — это аксиома наличия единичного компонента. Когда задаётся операция суммирования, то единичным компонентом является нуль и находится из уравнения 0+a=a+0=a, где a может быть любым компонентом группы. Если выполняется операция умножения, то единичным компонентом является единица и находится из уравнения 1a=a1=a.
  • А4 — это аксиома существования обратных компонентов. У всех компонентов группы «а» имеется обратный компонент. Обратный компонент для операции суммирования (-а) задаётся из уравнения a+(-a) =(-a)+a=0.Для операции умножения обратный компонент (a-1) задаётся уравнением aa-1= a-1a=1.
  • А5 — это аксиома коммутативного закона. Когда для компонентов группы по выбранной операции выполняются условия a+b = b+a или ab=ba соответственно для операций суммирования и умножения, то группа именуется абелевой или коммутативной.
  • А6 — это аксиома дистрибутивного закона. Она задаёт правило раскрытия скобок a(b+c) = ab+ас.

Кольцо именуется коммутативным, когда коммутативной является операция умножения.

Полем именуется коммутативное кольцо, в котором по операции умножения присутствует единичный компонент и обратные компоненты для каждого ненулевого компонента.

Перечень определений группы, кольца и поля изображены в следующей таблице:

Перечень определений группы, кольца и поля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Перечень определений группы, кольца и поля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Правила сложения и умножения определяются в виде действий по модулю два и в GF(2) и могут быть представлены в следующем табличном формате:

Правила сложения и умножения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Правила сложения и умножения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Поле GF(2) считается простым. В расширенном бинарном поле GF(2m) компонентами являются все m-разрядные бинарные последовательности. К примеру, GF(22) состоит из следующих компонентов:

00, 10, 01, 11.

Операция суммирования последовательностей в данном поле может быть выполнена путём поразрядного сложения символов, которые стоят на одних и тех же местах в суммируемых последовательностях, с применением приведённой выше таблицы. К примеру, 00+11=11, 10+11=01 и так далее.

Операция умножения осуществляется согласно законам умножения многочленов. Необходимо двоичные последовательности представить в формате многочленов, зависящих от формальной переменной «а»:

00=0, 10=1, 01= а, 11=1+а.

Чтобы сохранить разрядность компонентов поля GF(2m), операция умножения компонентов поля осуществляется по модулю определённого неприводимого многочлена π(α) степени m. Для поля GF(22) этим неприводимым многочленом считается π(α)=1+α+α2.Это единственный неприводимый многочлен второй степени над полем GF(2).

Дата написания статьи: 29.01.2021
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Ищешь информацию по теме "Математические методы теории сетей связи и передачи данных"?

Наши авторы готовы помочь тебе с любым заданием! 👨‍🎓

AI Assistant