Математическая логика — это подраздел математики, который занимается изучением формальных систем.
История возникновения
Термин логика обозначает науку, которая изучает правила и законы мышления, методы формирования доказательств и опровержения разных положений.
Основоположником логики считается древнегреческий философ Аристотель, который жил в четвёртом веке до нашей эры. Изначально он заметил, что при доказательстве каких-либо положений на основании других утверждений, за основу берут не их конкретное содержание, а только взаимные отношения их форм. Другой учёный времён Древней Греции, Евклид, выполнил систематизацию большого числа утверждений геометрии с точки зрения логики. Он ввёл в обиход понятие метода аксиом и заложил начало пониманию геометрии как науки, основанной на аксиомах, а понимание всей математической науки как набор математических теорий.
Логические постулаты Аристотеля подвергались доработкам в течение длительного временного периода. Существенный качественный скачок в прогрессе логической науки настал с приходом в логику математических методик. Начал их применять известный немецкий учёный Г. Лейбниц, живший в семнадцатом и восемнадцатом веках нашей эры. Он хотел сформировать универсальную языковую форму, которая позволила бы сделать формализацию разнообразных выкладок и все разногласия, и споры свести к математическим формулам.
Появление науки, названной математической логикой, связано с трудами английского учёного Джона Буля. Он создал алгебру логики, которая впоследствии получила название Булева алгебра. Она явилась итогом использования в логике методов алгебры. Заметным шагом в развитии математической логики явилось появление неевклидовой геометрии, прописанной в работах русского учёного Н.И. Лобачевского. В конце девятнадцатого века были выявлены парадоксы в теории множеств, которые выдвинули в число проблем математической логики проблему обоснования самой математики. Немецкий учёный Г. Фреге увидел разрешение этой проблемы в приведении математики к логике. Он использовал инструментарий математической логики, чтобы обосновать арифметику. Уже в двадцатом веке на основе математической логики была создана теория алгоритмов.
Логика высказываний
Под высказыванием понимается некоторое утверждение или предложение, про которое возможно говорить, что оно является ложным или истинным.
Приедём некоторые примеры:
А = “Значение √2 будет иррациональным”.
Б = “Неправильно, что значение √2 будет иррациональным”.
В = “Величина √2+1 будет иррациональной”.
Г = “Если величина √2 будет иррациональной, то значение √2 +1 тоже будет иррациональным”.
Д = “Значение х считается иррациональным”.
Е = “Сколько времени?”
Ж = “Иванов! Вызываю вас к доске для решения задачи!”
Из приведённых выше примеров, А, Б, В и Г считаются высказываниями, остальные не являются таковыми. Предложения Е и Ж не повествовательные, а истинность или ложность предложения Д, которое является повествовательным, находится в прямой зависимости от полученного переменной х значения. Высказывания А, В и Г являются истинными, а высказывание Б является ложным. Точнее, значение истинности А, В и Г равно величине истина, соответственно о же само для Б это ложь. Истинные высказывания принято обозначать единицей (1), а ложные нулём (0). Высказывания А и В называются простыми, а высказывания Б и Г называются составными, так как они получены из простых высказываний А и В. Из этого примера можно видеть, что в языковых формах есть методы выстраивания высказываний из набора других высказываний. Эти методы называются операциями. В обычных разговорных языках можно выделить большое количество подобных операций.
В математической логике можно выделить следующие основные операции. Предположим Х и Y определённые выказывания, тогда:
А) Выражение «Х и Y» определяется как конъюнкция Х и Y.
Б) Выражение «Х или Y» определяется как дизъюнкция Х и Y.
В) Выражение «не Х» определяется как отрицание Х.
Г) Выражение «если Х, то Y» определяется как импликация Х и Y.
Д) Выражение «Х тогда и только тогда, когда Y» определяется как эквиваленция высказываний Х и Y.
В приведённом выше примере высказывание Б будет отрицанием высказывания А.
Основные пять вышеперечисленных операций имеют следующие символьные обозначения:
- & обозначает конъюнкцию.
- ∨ обозначает дизъюнкцию.
- ¬ обозначает отрицание.
- → обозначает импликацию.
- ↔ обозначает эквиваленцию.
Эти знак &, ∨, ¬, →, ↔ принято называть связками. Связь определения истинности вновь образованных высказываний от величин истинности их начальных составляющих моет быть определена таблицей истинности связок.
Логические формулы высказываний
Выше высказывания определялись как некие предложения разговорного языка в повествовательной форме, то есть как объекты лингвистики. Для представления таких объектов методами математики применяется термин логические формулы высказываний. Атомарными логическими формулами высказываний являются заданные символы латинского алфавита с индексацией или без неё. Такими символами могут быть следующие знаки: U, V, W, X, Y, Z.
Логическими формулами высказываний являются:
- Атомарные выражения.
- Символика обозначения истинности 1 и ложности 0.
- Формулы типа (F)&(G), (F)∨(G), ¬(F), (F)→(G), (F)↔(G).
Здесь F и G являются формулами логики высказываний. Может сложиться ощущение, что в этом определении есть некий «порочный круг», то есть определение логической формулы высказываний определено посредством самой себя. Но фактически такое определение можно отнести к разряду индуктивных определений. Определения этого типа дают вначале основные объекты, то есть в данном случае это атомарные выражения и символика единица и нуль, и методика формирования вновь создаваемых объектов из имеющихся в наличии. К примеру, символы X, Y, Z являются атомарными формулами. Тогда на основании первого определения эти символы считаются логическими формулами высказываний, а по второму пункту формулами будут выражения типа (X)&(Y), ((X)&(Y)) → (Z).
