Линейное программирование Maple

Введение

Задачи, решаемые в линейной алгебре, являются наиболее распространёнными в научных и технических сферах, а также в сфере образования. Решение этих задач можно осуществить при помощи программного приложения Maple. Приведём основные определения и термины, с которыми работает программа:

• Матрицей (m×n) называется прямоугольная двумерная таблица, которая содержит m строчек и n столбиков компонентов. Все ее компоненты могут быть представлены в разных форматах, то есть в числовой форме, в виде константы, переменной, а также в символьном виде или как математическое выражение.

• Квадратной матрицей называется матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов.

• Определителем матрицы называется многочлен от компонентов квадратной матрицы, каждый элемент которого определяется как произведение n компонентов, берущихся по одному из всех строк и столбцов. Знак этого произведения определяется чётностью перестановок.

• Сингулярной или вырожденной матрицей называется квадратная матрица, имеющая определитель равный нулю. Такую матрицу нельзя упростить при выполнении символьных вычислений. Линейные уравнения с матрицами, близкими к сингулярным, способны дать значительные погрешности при их разрешении.

• Единичной матрицей называется квадратная матрица, имеющая диагональные компоненты равные единице, а другие компоненты равные нулю.

• Транспонированной матрицей называется матрица, у которой строки заменены столбцами и наоборот, то есть компоненты транспонированной матрицы отвечают условию $A^T(i,j) = A(j,i)$. Например, имеется исходная матрица:

  
  
  Рисунок 1. Матрица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

  Тогда транспонированная матрица будет:

  
  
  Рисунок 2. Матрица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

• Рангом матрицы называется самый большой из порядков, отличающихся от нуля миноров квадратной матрицы. Следом матрицы является сумма компонентов в диагонали матрицы.

Системы линейных уравнений в матричной форме

Стандартная система линейных уравнений может быть представлена следующим образом:

Рисунок 3. Стандартная система линейных уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В этих уравнениях:

$а_{1,1}, а_{1,2}, …, a_{n,n}$ являются коэффициентами, образующими матрицу A, которые могут быть действительными или комплексными.

$х_1, х_2, …, х_n$ являются неизвестными, которые образуют вектор X.

$b_1, b_2, …, b_n$ являются свободными членами, действительными или комплексными, которые образуют вектор B.

Такую систему уравнений можно представить в матричной форме таким образом:

$AX = B$.

Где А является матрицей коэффициентов этих уравнений, X является искомым вектором неизвестных, а B является вектором свободных членов.

Такое представление системы линейных уравнений предполагает разные методы её решения:

$X = В / А$

С использованием методик деления матриц.

$X = А^{-1}В} X = А^{-1}В}

С методом инвертирования матрицы А и тому подобное.

Компоненты векторов и матриц

В программе Maple компоненты векторов и матриц определяются как индексированные переменные, то есть расположение всех компонентов вектора задаётся его индексом, а для матрицы это будут два индекса. Как правило, они имеют обозначение i, то есть номер матричной строки или номер векторного компонента, и j, обозначающий нумерацию матричного столбца. Возможны процедуры по вызову требуемого компонента и задания ему нужного значения:

• V[i] — операция вызова i-го компонента вектора V;
• M[i,j] — операция вызова элемента матрицы М, расположенного на i-й строке в j-м столбце.
• V[i]:=x — операция присваивания новой величины х i-му компоненту вектора V;
• M[i,j]:=x — операция присваивания новой величины компоненту х матрицы М.

Преобразование списков в векторы и матрицы

Следует отметить, что матрицы и векторы, имеют аналогии со списками, но не являются таковыми. Приведём конкретный пример, где функция type применяется, чтобы контролировать типы множественных объектов (это векторы и матрицы):

Рисунок 4. Машинный код. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что применение функции обработки информационных данных convert, можно выполнить преобразование одномерных списков в векторы, а двумерных списков в матрицы. Функция type может быть использована в разных форматах:

• type(V,vector) — выполняет тестирование аргумента V и возврат true, если V является вектором, и false если это не так;
• type(M.matrix) — выполняет тестирование аргумента М и возврат true, если М является матрицей, и false если это не соответствует действительности.

В данном случае, параметры vector и matrix применяются для того, чтобы указать какой объектный тип подвергается проверке. Отображение матриц выполняется не так, как двумерных списков, а именно не нужны двойные квадратные скобки. Отображение векторов выполняется аналогично одномерным спискам, но необходимо контролировать типы данных.

Операции с векторами

Основным преимуществом системы компьютерной алгебры Maple является возможность осуществления операций аналитики в символьной форме над матрицами и векторами. Прежде чем начать выполнение символьной операции с векторами и матрицами необходимо выполнить очистку памяти от предыдущих определений при помощи команды restart. Если отдельные компоненты вектора или матрицы определялись раньше, то это способно вызвать значительные изменения вида итоговых результатов. При предварительной очистке памяти вероятность таких ошибок полностью исключается.

Главным достоинством системы компьютерной алгебры Maple считается способность решать задачи линейной алгебры с использованием символьного формата. Но следует заметить, что решение в таком виде используется больше в теории, чем при решении практических задач, так как даже если матрицы имеют незначительные размеры, итоги в символьном формате получаются достаточно громоздкими и трудно воспринимаемыми. Они могут быть полезными при работе со специфическими задачами аналитики, к примеру, с матрицами, значения большинства компонентов которых равняются нулю.

По этой причине проектировщики Maple реализовали в своей программе числовые методики решения задач линейной алгебры, повсеместно применяемые в математическом моделировании, электротехнических расчётах и так далее.