Исследование численных методов вычисления определенных интегралов — это методы, которые применяются для поиска численного решения и позволяют вычислить не точное, а приближенное решение.
Введение
Сегодняшний научно-технический прогресс тесно взаимосвязан с применением компьютерных технологий и компьютерного оборудования. В настоящее время компьютеры превратились в обычное оборудование для большинства институтов и конструкторских бюро. Это позволяет осуществить переход от самых простых расчетов и оценок разнообразных конструкций или процессов к новому формату работы, а именно, детальному математическому моделированию (вычислительным экспериментам), которое способно значительно сократить потребность в натурных экспериментах, а в большинстве случаев способно их заменить.
Сложные вычислительные задачи, которые возникают при изучении физических и технических проблем, могут быть поделены на ряд элементарных проблем, типа вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений и тому подобное. Большинство элементарных задач могут считаться относительно несложными и хорошо изученными. Для таких задач уже существуют методики численного решения, и довольно часто уже написаны типовые программные приложения по решению их на компьютере. Существуют и достаточно сложные, но элементарные задачи, методы решения которых, сейчас постоянно разрабатываются.
По этой причине современные специалисты, имеющие высшее образование, должны иметь не только высокий уровень подготовки по профилю своей специальности, но и отлично владеть математическими методами решения инженерных задач, быть ориентированными на применение вычислительной техники, на практике овладеть принципами работы на компьютере.
Для отдельных подынтегральных функций интеграл может быть вычислен аналитически или найден в справочниках. Тем не менее в общем случае первообразная может не определяться по следующим причинам:
- Первообразные не могут быть выражены через элементарные функции.
- Сами подынтегральные функции не могут считаться элементарными.
Это ведет к необходимости разрабатывать приближенные методы вычисления определенных интегралов.
Самыми широко распространенными приближенными методами расчетов одномерных определенных интегралов считается набор, так называемых, классических методов численного интегрирования, а именно:
- Метод прямоугольников.
- Метод трапеций.
- Метод парабол.
Все эти методы основаны на суммировании элементарных площадей, на которые должна быть разбита вся площадь под функцией. И хотя данные методы обычно являются предпочтительными при малых размерностях, но они практически непригодны при вычислении многомерных интегралов.
Исследование численных методов вычисления определенных интегралов
Предположим, что требуется осуществить вычисление определенного интеграла:
Рисунок 1. Интеграл. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Здесь f(x) является непрерывной на отрезке $[a, b]$ функцией.
С геометрических позиций интеграл (1) при f(x) > 0 равняется площади криволинейной трапеции, которая ограничена кривой y = f(x), осью Ox и прямыми x = a, x = b. Иными словами, интеграл равняется площади заштрихованной фигуры, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 2. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Осуществить вычисление определенного интеграла (1) возможно при помощи аналитической формулы Ньютона-Лейбница:
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Здесь F(x) является первообразной функцией для заданной функции f(x).
При этом в ряде случаев не представляется возможным найти никакой аналитической формулы по причине невозможности определения F(x).
Таким интегралом, в частности, может считаться следующий интеграл:
Рисунок 4. Интеграл. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В математическом анализе доказано, что для этой подынтегральной функции невозможно выразить первообразную F(x) при помощи элементарных функций. С другой стороны, площадь криволинейной трапеции, которая задается интегралом (3) существует. Значит, обязано существовать и значение интеграла, которое, тем не менее, не может быть найдено точно. В подобных случаях следует использовать методы численного интегрирования.
Основным принципом формирования всех приближенных формул численного интегрирования является использование того факта, что интервал интегрирования может быть разбит на совокупность меньших отрезков, внутри которых подынтегральная кривая y = f(x) может быть заменена с определенным уровнем точности более простыми функциями, интегралы от которых могут быть вычислены. С геометрических позиций исполняется следующее действие, искомая площадь криволинейной трапеции с некоторым приближением подменяется суммой площадей элементарных геометрических фигур.
Одним из таких численных методов является метод прямоугольников. Как было указано выше, вычисление интеграла аналогично вычислению площади некоторой фигуры, а именно, криволинейной трапеции с параллельными «основаниями» x = a, x = b и «боковыми сторонами» y = 0, y = f(x), как изображено на рисунке выше.
Необходимо разбить интервал интегрирования на n равных участков, каждый из которых имеет длину
h = (b – a) / n
Приближенное значение интеграла может быть получено как сумма площадей n прямоугольников, высота которых равняется величине f(x) на левом краю каждого под интервала, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 5. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Это означает, что формула численного интегрирования обладает следующим видом:
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
и она именуется формулой «левых» прямоугольников.
Когда в качестве приближенного значения площади для всех под интервалов принимается площадь прямоугольника, высота которого равняется значению f(x) на правом краю под интервала, то формула численного интегрирования приобретает следующий вид:
Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
и именуется формулой «правых» прямоугольников. На рисунке ниже показана геометрическая интерпретация метода «правых» прямоугольников:
Рисунок 8. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Известна и еще одна модификация метода прямоугольников, которая называется методом «средних» прямоугольников. В данном случае приближенным значением площади для каждого под интервала является площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) в средней точке под интервала. В этом варианте формула численного интегрирования приобретает следующий вид:
Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
