Численные методы в инженерных задачах

Введение

Инженерные и научные проблемы иногда могут привести к необходимости решения разных уравнений или систем уравнений, которые описывают поведение параметров объекта, к примеру, динамические нагрузки на строительные конструкции или тепловой поток через стены дома. Набор всех уравнений и дополнительных условий, которым обязано удовлетворять решение, принято называть математической моделью. Простая математическая модель является совокупностью алгебраических формул, по которым можно в явной форме вычислить необходимые величины. Тем не менее часто поведение параметров можно описать дифференциальными уравнениями в частных производных. Определить решение таких сложных задач удается лишь с применением современного быстродействующего компьютерного оборудования. Решение сложных математических задач на компьютерах состоит из следующих необходимых этапов:

1. Выбор методики решения.
2. Формирование алгоритма.
3. Создание программы и ее тестирование.

А далее можно использовать сформированный программный пакет для решения поставленной задачи. Но даже для того, чтобы можно было использовать стандартную, то есть, уже готовую программу, необходимо иметь представление о существующих методах решения, их преимуществах, недостатках и особенностях применения. Все математические задачи классифицированы, то есть, объединены в определенные группы. Для каждой группы задач известна совокупность стандартных методик, которые изучает специальный раздел математики, а именно, «Вычислительная математика» или «Методы вычислений».

Сегодня самое широкое распространение получили персональные компьютеры и программные средства, в частности математические пакеты, которые способны предоставить возможность решения многих трудоемких и сложных задач. Но имеющиеся готовые программные средства не только не могут снять проблему обучения специалистов методикам решения задач и обработки данных, а сделали подготовку специалистов в данном направлении еще более актуальной.

Это можно объяснить тем, что применение готовых программных средств, может потребовать от специалиста грамотной математической постановки задачи, выбора эффективной методики решения и умения правильно оценивать погрешность результата. Когда решаются реальные инженерные задачи, то специалист может использовать не только приближенные результаты, но он также имеет дело и с приближенными исходными данными. В этом случае актуальными становятся не точные, а приближенные (численные) методы, часто позволяющие найти решение даже в тех случаях, когда другие методики могут оказаться бессильными.

Численные методы в инженерных задачах

Точное значение чисел обычно не подлежит сомнению, то есть, когда рассматриваются целые величины данных, например, два карандаша или сто деревьев. Тем не менее практически всегда, когда точные значения чисел определить нельзя, к примеру, при измерениях предметов при помощи линейки, снятии показаний со стрелочных приборов и тому подобное, приходится иметь дело с приближенными значениями.

Приближенным значением именуется такое число, которое имеет незначительное отличие от точного значения и способно заменить его в вычислениях. Отличие приближенного значения числа от его точной величины может характеризоваться погрешностью. Следует выделить следующие главные источники погрешностей:

1. Погрешности, связанные с постановкой задачи, которые возникают в результате приближенных описаний реальных явлений в математической терминологии.
2. Погрешности методики, которые связаны со сложностью или невозможностью решить поставленную задачу, что вынуждает заменить ее на подобную. То есть, на такую задачу, которая позволяет использовать известные и доступные методы решения и найти результат, приближенный к искомому.
3. Совокупность неустранимых погрешностей, которая связана с приближенными значениями начальных данных и обусловлена исполнением вычислений над приближенными числами.
4. Погрешности округления, которые связаны с округлением значений начальных данных, промежуточных и конечных итоговых результатов, полученных с использованием вычислительных средств.

Одной из главных задач теории погрешностей может считаться оценка точности итогового результата, полученная на базе точности исходных данных.

Предположим, что А является точным значением некоторой величины, a «a» является приближенным значением (числом), заменяющим А в вычислениях. Абсолютной погрешностью (ошибкой) числа может считаться следующее выражение:

$∆(a) = │A – a │≤ ∆ \bar a$ (1).

Здесь:

$∆ \bar a$ является предельной абсолютной погрешностью, то есть, всякое число, не меньшее абсолютной погрешности числа.

Таким образом, точное число А находится в следующих границах:

$a - ∆(a) ≤ A ≤ a + ∆(a), A = a ± ∆(a)$ (2).

Абсолютная погрешность является недостаточной, для того чтобы характеризовать точность вычислений, поскольку здесь сильно влияет величина точного значения числа. Например, если измеряется длина:

L = 10 ± 0,1 м и L = 1000 ± 0,1 м

Относительная погрешность числа определяется следующим выражением:

$ẟ(a) = ∆(a)/│A│≤ ẟ \bar a$ (3)

Здесь:

$ẟ \bar a$ является предельной относительной погрешностью, не меньшей относительной погрешности числа.

Как правило, относительную погрешность принято определять в процентах, то есть:

$ẟ*100$%

Точное значение числа равно:

A = a(1± ẟ(a)) (4).

Для того чтобы оценить погрешности результатов арифметических операций, следует использовать существующие теоремы. Рассмотрим некоторые из них. Первая теорема гласит, что абсолютная погрешность суммы или разности приближенных чисел равняется сумме абсолютных погрешностей чисел.

∆(a ± b) =∆(a) + ∆(b) (5)

Вторая теорема гласит, что относительная погрешность произведения или частного двух приближенных чисел, отличных от нуля, не может превысить сумму относительных погрешностей данных чисел.

ẟ(ab) = ẟ(a) + ẟ(b) (6)