Численные методы

Введение

Зачастую у ученых возникает необходимость решения математических задач в числовом формате. Для отображения решения в графическом формате также необходимо сначала определять его значения. Причём для большинства задач может быть известным только факт существования решения, но нет определённой формулы, которая способна представить ее решение. Но даже, когда имеется такая формула, её применение с целью получения конкретных значений решения может быть малоэффективным. В конце концов, всегда присутствует необходимость в решении и таких математических задач, для которых строгие доказательства наличия решения на текущий момент отсутствуют.

Во всех подобных случаях применяются методики приближенного, и, прежде всего, численного решения. Методы численного решения математических задач всегда были неотъемлемой частью математики, а также естественно-математического и инженерного образования. В качестве самостоятельной математической дисциплины вычислительная математика сформировалась ещё в начала двадцатого века. К этому времени главным образом были выработаны различные, достаточно эффективные и надежные алгоритмы приближенного разрешения обширного круга математических задач, который включал в свой состав типовой набор задач из алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений.

Прогресс в развитии численных методов содействовал непрерывному расширению области использования математики в разных научных дисциплинах и прикладных разработках, откуда в свою очередь приходили запросы на разрешение новых задач, что явилось стимулом дальнейшего прогресса вычислительной математики. Методики математического моделирования, которые базируются на формировании и изучении математических моделей разных объектов, процессов и явлений, а также получении информации о них из решения сопряжённых с данными моделями математических задач, превратились в один из главных методов исследований в науках, называемых точными.

Современным форматом метода математического моделирования, основанным на мощной вычислительной базе в виде электронных вычислительных машин (ЭВМ) и программного обеспечения, которое способно реализовать алгоритмы численного решения, считается вычислительный эксперимент, выступающий в качестве нового теоретического метода изучения разных явлений и процессов. Данный теоретический метод включает основные черты методики экспериментальных исследований, но эксперименты осуществляются не над реальным объектом, а над его математической моделью, а экспериментальной установкой считается ЭВМ.

Численные методы

Ход осуществления вычислительного эксперимента включает следующие этапы:

1. Формирование математической модели изучаемого объекта. Сюда же следует отнести и анализ модели, определение корректности сформированной математической задачи.
2. Формирование вычислительного алгоритма, то есть, методики приближенного решения поставленной задачи и его обоснование.
3. Реализация программной версии алгоритма на ЭВМ и её тестирование.
4. Выполнение серии вычислений при варьировании главных параметров исходной задачи и алгоритма.
5. Выполнение анализа полученных результатов.

Все эти этапы предполагаю возможность возврата к любому из предшествующих этапов для его уточнения и корректировок. Часто вычислительные алгоритмы решения сложных задач формируются из совокупности основных элементов, которые представляют собой алгоритмы решения определённых типовых математических задач. Знание численных методов решения таких задач является необходимым компонентом овладения передовыми технологиями математического моделирования.

Причём идеология модели заложена в основу того, что именуется методами вычислительной математики. Обычно, алгоритмы приближенного решения основываются на том факте, что исходная математическая задача должна быть заменена (аппроксимирована) определённой более простой задачей или чаще набором более простых задач. Решение данных более простых задач может трактоваться как приближенное решение исходной задачи. То есть практически применяется некоторая модель исходной задачи.

В большинстве научных и инженерных задач появляется необходимость в решении уравнений следующего вида:

$F(x,p_1,p_2,...,p_n) = 0$

Здесь:

• $F$ является заданной функцией,
• $х$ является неизвестной величиной,
• $p_1, p_2,...,p_n$ являются параметрами задачи.

Решениями или корнями данного уравнения считаются такие значения х, которые при подстановке в уравнение способны обратить его в тождество.

Только для простейших уравнений возможно определить решение в аналитической форме, то есть найти формулу, которая выражает искомую величину х в явной форме. В большинстве же случаев приходится решать приведённое выше уравнение при помощи численных методов. Правда иногда, даже если есть аналитическое решение, имеющее сложный вид, оказывается более простым выполнить численное решение по определённому алгоритму, чем осуществлять программирование громоздкой аналитической формулы.

Численное решение приведённого выше уравнения, как правило, выполняется в два этапа:

1. На первом этапе следует найти интервал изменения переменной х, в котором расположен один корень или, что означает то же самое, найти достаточно точное приближение окрестности данной точки.
2. На втором этапе при помощи тех или иных численных методов следует определить величину х, которая соответствует корню уравнения с допустимой погрешностью.

Для разрешения второй задачи известно большое количество методов, из которых основными являются следующие:

• Метод половинного деления.
• Метод Ньютона.
• Метод секущих.