Арифметические основы вычислительной техники — это набор правил записи чисел и выполнения арифметических операций в вычислительной технике.
Введение
В своей каждодневной работе люди могут использовать разные системы счисления, например, десятичную, римскую, систему отсчёта временных интервалов и так далее. Все системы счисления делятся на:
- Позиционные системы счисления.
- Непозиционные системы счисления.
При использовании непозиционных систем вес цифры в записанном числе не имеет зависимости от расположения этой цифры в записанном отображении данного числа. Стандартным примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления. В этой системе применяется следующая система обозначений:
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
При выполнении количественной оценки числового значения необходимо просуммировать значения цифр, находящихся в записи числа. Исключением являются пары, состоящие из цифры меньшего веса, которая предшествует цифре, имеющей больший вес. Это значение вычисляется вычитанием из цифры с большим весом меньшего веса.
В позиционной системе счисления количественная оценка числа выполняется суммированием произведений цифр, записанных в числе, на веса позиций, где расположены цифры. Десятичная система счисления считается системой с равномерным распределением весов, что означает, что соотношение весов всех соседствующих разрядов одинаковы по величине. Данное соотношение именуется основанием системы счисления и может быть обозначено символом q. Запись числа в общем виде в системах с равномерным распределением весов может быть представлена так:
$N_q = A_n A_{n–1} ... A_2 A_1 A_0$
Значение этого числа может быть определено по следующей формуле:
$N_q = A_n ⋅q_n + А_{n–1} ⋅ q_{n–1} + А_{n–2} ⋅ q_{n–1} + … А_2 ⋅q_2 + А_1 ⋅ q_1 + А_0 ⋅ q_0$
Где $A_i $ является цифрой записи числа, которая удовлетворяет условию:
$0 ≤ A_i ≤ (q – 1)$
Здесь $q$ является основанием системы счисления и для десятичной системы счисления А может меняться от нуля до девяти.
Помимо десятичной системы счисления в вычислительной технике могут использоваться:
- Двоичная система счисления.
- Восьмеричная система счисления.
- Шестнадцатеричная система счисления.
Арифметические основы вычислительной техники
В разных системах счисления применяются цифровые обозначения, используемые в десятичной системе, то есть от нуля до девяти, а для систем счисления, где основание больше десяти, введены для цифр больше девяти буквенные обозначения. К примеру, в шестнадцатеричной системе счисления это начальные буквы латинского алфавита, а именно,А, В, C, D, E, F, соответствующие числам 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Люди в своей повседневной жизни чаще всего пользуются десятичной системой счисления, а в вычислительной технике наиболее удобна для информационной обработки двоичная система счисления. Промежуточным вариантом между этими системами является двоично-десятичная система счисления, которая по своей сути десятичная, но все десятичные разряды в ней представлены как набор двоичных разрядов.
При осуществлении каждой операции итоговый результат определяется в соответствии определёнными правилами, удобно отображаемыми в табличном формате. В таблице для всех допустимых вариантов операндов, имеющих один разряд, отображаются итоговые результаты. Ниже приведены правила суммирования в бинарной системе счисления.
Рисунок 1. Правила суммирования в бинарной системе счисления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Все допустимые значения для первого слагаемого приведены во второй и третьей строчках в первой колонке. Все допустимые значения второго слагаемого приведены во второй и третьей колонках первой строчки. В пересечении заданных строчек и колонок расположены итоги суммирования. Значком «*» помечен вариант, когда в рассматриваемом разряде сумма равняется нулю и присутствует единица переноса в следующий разряд.
В общем случае при определении величины суммы в текущем разряде необходимо два раза использовать данную таблицу сложения:
- Сначала при суммировании текущих разрядов операндов для формирования так называемой поразрядной суммы.
- Выполнение суммирования найденной поразрядной суммы и единицы переноса, образованной в ближайшем младшем разряде.
При компьютерном осуществлении операции суммирования вначале определяется поразрядная сумма операндов, где не учтены переносы. Затем выполняется формирование кодов переноса и далее при помощи специализированных логических цепочек осуществляется учёт возникших переносов. Следует заметить, что перенос, появившийся в каком-то разряде, способен поменять помимо ближайшего старшего разряда, ещё и целый набор старших разрядов.
При определении поразрядных сумм и учёте появившихся переносов применяется специальная классификация разрядов суммируемых операндов:
- Разряд, который генерирует перенос, то есть два операнда этого разряда равны единице.
- Разряд, который пропускает перенос, то есть операнды данного разряда обладают разными значениями.
- Разряд, который блокирует распространение переноса, то есть операнды данного разряда обладают одинаковыми значениями.
Правила вычитания в двоичной системе изображены в таблице ниже.
Рисунок 2. Правила вычитания в двоичной системе. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Набор всех возможных значений вычитаемого представлен во второй и третьей строчках первой колонки. Набор всех возможных значений уменьшаемого представлен во второй и третьей колонках первой строчки. В пересечении помеченных значениями операндов строчек и колонок расположен итоговый результат вычитания из первого второго операнда. Знаком «*» в таблице помечен вариант, когда в данном разряде в итоге получается единица при заимствовании из ближнего старшего разряда.
Как следует из таблицы, выполнение операции вычитания не является более сложной процедурой, чем сложение. При компьютерной реализации обычно в списке осуществляемых операций арифметического устройства нет одновременно и операции суммирования, и операции вычитания. Практически всегда есть только операция сложения, а операция вычитания выполняется путём суммирования уменьшаемого и вычитаемого, но имеющего противоположный знак.
