SYZ-гипотеза – это одна из теорий, которая пытается объяснить зеркальную симметрию, проводя разбиение исходного многообразия Калаби-Яу (сложного пространства) на менее сложные части (подмногообразия) с последующим соединением их в многообразие Калаби-Яу, которое является зеркально симметричным первоначальному.
SYZ-гипотеза считается попыткой интерпретации зеркальной симметрии с точки зрения геометрии.
Теория предложена Э. Строминджером, Ш. Яу и Э. Заслоу.
Теория струн
В теории струн полагается, что Вселенная обладает десятью измерениями. При этом только четыре измерения человек может воспринимать. Оставшиеся шесть измерения свернуты в некоторую структуру, которую назвали многообразием Калаби-Яу.
Статья: SYZ-гипотеза в физике
Ш. Яу, причастный к открытию данных пространств, полагает, что геометрия находится в основании природы Вселенной. Он и его сторонники считают геометрические фигуры и пространства столь же реальными, как физики - элементарные частицы, которые составляют вещество. Математиков приводит в восхищение мощь и красота абстрактных принципов, которые лежат в основе очертаний и форм объектов окружающего мира. Так, например, из общей теории Эйнштейна мы знаем, что искривление пространства приводит к гравитационным эффектам.
Ученые рассматривают теорию струн в качестве гипотезы, которая была бы способна объединить общую теорию относительности и квантовую механику. Некоторые физики считают, что все физические явления можно объяснить при помощи какого-то фундаментального принципа, включающего в себя закон, способный соединить все типы энергии.
Общая теория относительности описывает гравитацию.
Квантовая механика способна пояснить три других вида взаимодействия:
- сильное,
- электромагнитное,
- слабое.
Ученые показали, что любой природный процесс можно описать при помощи взаимодействия материи посредством данных сил.
Теоретики установили, что электромагнитные и слабые взаимодействия обладают общей природой, так сформировалось электрослабое взаимодействие.
Позднее к электрослабому взаимодействию добавили сильное взаимодействие (Теория Великого объединения).
Предполагается, что теория струн даст возможность соединить все четыре силы.
Основой теории струн стало уравнение Эйлера, которое ученый записал более 200 лет назад. В 1960 годах физик-теоретик Г. Венециано предпринимал поиски уравнения, которое было бы способно описать сильные взаимодействия в ядрах атомов. Он увидел, что уравнение, записанное Эйлером, для этого подходит.
Позднее это уравнение обнаружил Л. Саскинд, который понял, что формула описывает бесструктурные частицы, способные к вибрации. При этом поведение данных частиц говорило о том, что они отличаются от точечных. Ученый предположил, что уравнение Эйлера описывает нить, подобную упругой резинке. Данная резинка может:
- растягиваться,
- сжиматься,
- совершать колебания,
- извиваться.
Сделав описание своего открытия, Саскинд создал гипотезу струн. Основную идею этой теории можно сформулировать так: мир составлен не из частиц, а из вибрирующих нитей (струн).
Эти струны:
- не имеют толщины, но наделены длинной,
- могут быть открытыми (два свободных конца) или соединенными в кольцо.
Струна способна совершать свои колебания, при больших колебаниях энергия струны больше. Энергия струны отвечает за вид частицы, которую мы получим. Так, отдельные струны формируют частицы материи и все частицы взаимодействия.
Предполагается, что струна – это самая малая структура во Вселенной, ее размер порядка $10^{-33}$ см.
Многие ученые не принимают теорию струн.
Основной проблемой теории струн на сегодняшний момент считают невозможность доказательства их наличия. Возможно, что новые поколения ускорителей позволят выявить новые дополнительные измерения.
К середине восьмидесятых годов теория струн приобрела пять версий. Все эти теории строятся на наличии струн и присутствии дополнительных измерений, но они существенно различны в деталях.
Суть SYZ-гипотезы
Согласно гипотезе SYZ, многообразие Калаби-Яу представимо в виде пары трехмерных многообразий, которые переплетаются между собой.
Одно из таких пространств – это тор с тремя измерениями. Если этот тор отделить, обратить его (заменить радиус $R$ величиной $\frac{1}{R}$), и снова соединить частиц воедино, то будет получено многообразие, которое зеркально к исходному.
Так, по мнению одного из авторов гипотезы, можно получить простую физическую и геометрическую картину, соответствующую зеркальной симметрии.
В соответствии с данной гипотезой, основа в понимании зеркальной симметрии находится в подмногообразиях пространств Калаби-Яу и методах их организации.
Подмногообразия понимаются как отдельные объекты, которые обладают размерностью, меньшей, чем размерность многообразия.
Гипотеза SYZ дает новый взгляд на $K3$ поверхности, которые являются классом многообразий Калаби-Яу с четырьмя измерениями.
Допустим, что у нас имеется тор с двумя измерениями, которые описывает пространственно-временной континуум некоторой теории в физике. Основным объектом в этой теории станут струны, которые распространяются в пространстве и времени в соответствии с квантово-механическими законами.
Основной дуальностью в теории струн является T-дуальность. В соответствии с ней замкнутая струна, которая распространяется вдоль цилиндра с радиусом $R$, ставится в соответствие замкнутой струне, распространяющейся вдоль цилиндра с радиусом $\frac{1}{R}$. В этом смысле между всеми описаниями можно установить взаимное и однозначное соответствие.
Например, у рассматриваемой струны имеется импульс, при этом она способна наматываться около цилиндра несколько раз. Пусть эта струна, распространяясь вдоль цилиндра радиуса $R$, имеет импульс $p$, наматывается на цилиндр $N$ раз, тогда вдоль цилиндра с обратным радиусом импульс струны станет равен $N$, количество намоток равно $p$.
Использование T – дуальности относительно всех окружностей, на которые можно разбить рассматриваемый тор, даст обращение их радиусов. При этом будет получен новый тор, который обладает большим или меньшим радиусом, чем первый. Полученный тор станет зеркально-симметричным относительно исходного.
T-дуальность расширяют до случая тора с $n$ - измерениями, который возникает в разложении комплексного многообразия Калаби-Яу с $n$ - измерениями.
SYZ-гипотеза говорит о том, что зеркальную симметрию можно уподобить использованию T – дуальности к данным торам в один момент времени.
