Единичная импульсная функция
Единичная импульсная функция или дельта-функция – это обобщенная функция, позволяющая записать точечное воздействие и пространственную плотность физических величин (источник тепла, масса, заряд, сила и т. п.), которые сосредоточены или приложены в одной точке.
Например, плотность единичной точечной массы, которая находится в определенной точке одномерного евклидового пространства, при помощи дельта функции записывается следующим образом:
$mδ(х-а) $
где: m - единичная точечная масса; а - точка одномерного евклидового пространства.
Единичная импульсная функция может быть также использована для описания распределения массы, заряда и т. п. на линиях или поверхностях.
Евклидово пространство – это пространство, свойства которого могут быть описаны аксиомами евклидовой геометрии, в данном случае предполагается, что у пространства размерность равняется 3, то есть оно является трехмерным.
Дельта функция не является вещественной переменной и определяется, как обобщенная функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. Возможно ввести для дельта-функции производную, которая будет являться, а также интеграл, определяемый, как функция Хевисайда. Различают одномерные и многомерные дельта - функции. Многомерные функции могут быть представлены, как произведение одномерных функций в количестве, которое равно размерности пространства, где определена многомерная единичная импульсная функция.
Единичную импульсную функцию для одной вещественной переменной можно определить, как функцию δ(х), которая удовлетворяет следующим условиям:
Рисунок 1. Условия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Представленная выше функция не равна нулю только в точке х=0. В данной точке она обращается в бесконечность таким образом, чтобы интеграл по любой окрестности х=0 был равен единице. В этом случае понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечного заряда и точечной массы. Для понимания интеграла представляет некоторая фигура на плоскости с единичной площадью, например, треугольник. Если уменьшить основание этого треугольника и увеличить его высоту таким образом, чтобы его площадь не менялась, тогда в предельном случае получается треугольник с малым основанием и большой высотой. По предположению его площадь равняется единице, что и демонстрирует интеграл.
Вместо треугольника могут быть использованы любые геометрические фигуры
К основным свойствам единичной функции относятся следующие свойства:
- Дельта-функция является четной.
- Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, который содержит в себе ноль, то есть вида (-а1, а2), где а1 и а2 - действительные положительные числа, равен единице.
- хδ’(x) = -δ(x).
Рисунок 2.где xk - простые нули функции f(x).
Функция Хевисайда является первообразной одномерной дельта-функцией, то есть
.
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работФильтрующее свойство единичной импульсной функции выражается следующим образом:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Единичная ступенчатая функция
Единичная ступенчатая функция или функция Хевисайда – это кусочно-постоянная функция, которая равна нулю при отрицательных значениях аргумента и единице при положительных.
При нуле функция Хевисайда не определена, но на практике, как правило, доопределяется в данной точке некоторым числом, для того, чтобы в состав области определения функции входили все точки действительной оси. В большинстве случаев не неважно, какое значение принимает функция Хевисайда, поэтому могут быть использованы разнообразные определения функции, например:
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Единичная ступенчатая функция может быть записана с использованием скобки Айверсона.
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Единичная ступенчатая функция используется в математическом аппарате теории управления и теории управления процессом обработки сигналов для представления сигналов, которые в определенный момент времени переходят из одного состояния в другое. Например, в математической статистике, данная функция применяется для записи эмпирической функции распределения. Функция Хевисайда является первообразной для дельта-функции Дирака, что может быть записано следующим образом:
Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Функция Хевисайда является самой простой ступенчатой функцией. Дискретная функция Хевисайда может быть определена от целого аргумента.
Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где n - целое число.
Единичный дискретный импульс представляет собой разность дискретно функции Хевисайда, то есть:
Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Чтобы использование функции Хевисайда было более удобное ее можно аппроксимировать при помощи непрерывной функции следующим образом:
Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, к соответствует самому крутому подъему функции в точке х=0.
Если задать необходимую ширину области перехода функции Хевисайда, то значение к можно оценить следующим образом:
$к = 10/ Δ х$
где, Δ х - ширина области перехода функции.
