Ступенчатая и единичная импульсная функция

Единичная импульсная функция

Например, плотность единичной точечной массы, которая находится в определенной точке одномерного евклидового пространства, при помощи дельта функции записывается следующим образом:

$mδ(х-а) $

где: m - единичная точечная масса; а - точка одномерного евклидового пространства.

Единичная импульсная функция может быть также использована для описания распределения массы, заряда и т. п. на линиях или поверхностях.

Статья: Ступенчатая и единичная импульсная функция

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти решение задачи

Дельта функция не является вещественной переменной и определяется, как обобщенная функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. Возможно ввести для дельта-функции производную, которая будет являться, а также интеграл, определяемый, как функция Хевисайда. Различают одномерные и многомерные дельта - функции. Многомерные функции могут быть представлены, как произведение одномерных функций в количестве, которое равно размерности пространства, где определена многомерная единичная импульсная функция.

Единичную импульсную функцию для одной вещественной переменной можно определить, как функцию δ(х), которая удовлетворяет следующим условиям:

Рисунок 1. Условия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Представленная выше функция не равна нулю только в точке х=0. В данной точке она обращается в бесконечность таким образом, чтобы интеграл по любой окрестности х=0 был равен единице. В этом случае понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечного заряда и точечной массы. Для понимания интеграла представляет некоторая фигура на плоскости с единичной площадью, например, треугольник. Если уменьшить основание этого треугольника и увеличить его высоту таким образом, чтобы его площадь не менялась, тогда в предельном случае получается треугольник с малым основанием и большой высотой. По предположению его площадь равняется единице, что и демонстрирует интеграл.

К основным свойствам единичной функции относятся следующие свойства:

1. Дельта-функция является четной.
2. Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, который содержит в себе ноль, то есть вида (-а1, а2), где а1 и а2 - действительные положительные числа, равен единице.
3. хδ’(x) = -δ(x).

4. 
   
   Рисунок 2.

   где xk - простые нули функции f(x).

5. Функция Хевисайда является первообразной одномерной дельта-функцией, то есть

   
   
   Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

   .

6. Фильтрующее свойство единичной импульсной функции выражается следующим образом:

   
   
   Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Единичная ступенчатая функция

При нуле функция Хевисайда не определена, но на практике, как правило, доопределяется в данной точке некоторым числом, для того, чтобы в состав области определения функции входили все точки действительной оси. В большинстве случаев не неважно, какое значение принимает функция Хевисайда, поэтому могут быть использованы разнообразные определения функции, например:

Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Единичная ступенчатая функция может быть записана с использованием скобки Айверсона.

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Единичная ступенчатая функция используется в математическом аппарате теории управления и теории управления процессом обработки сигналов для представления сигналов, которые в определенный момент времени переходят из одного состояния в другое. Например, в математической статистике, данная функция применяется для записи эмпирической функции распределения. Функция Хевисайда является первообразной для дельта-функции Дирака, что может быть записано следующим образом:

Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Функция Хевисайда является самой простой ступенчатой функцией. Дискретная функция Хевисайда может быть определена от целого аргумента.

Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где n - целое число.

Единичный дискретный импульс представляет собой разность дискретно функции Хевисайда, то есть:

Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Чтобы использование функции Хевисайда было более удобное ее можно аппроксимировать при помощи непрерывной функции следующим образом:

Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, к соответствует самому крутому подъему функции в точке х=0.

Если задать необходимую ширину области перехода функции Хевисайда, то значение к можно оценить следующим образом:

$к = 10/ Δ х$

где, Δ х - ширина области перехода функции.