Основные величины и методы расчета электрической цепи переменного синусоидального тока
Переменный электрический ток — это электрический ток, который изменяется по направлению и величине в течении времени (в некоторых случаях изменяется только его величина).
В быту для электроснабжения используется переменный синусоидальный ток.
Синусоидальный электрический ток — это электрический ток, который изменяется во времени по синусоидальному закону.
Графически синусоидальный закон изображен на рисунке ниже.
Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$I = Imsin * ((2пt / T) + ф) = Imsin * (wt + ф)$
где: Im – максимальное значение амплитуды электрического тока; T – время, за которое совершается одно полное колебание (период); f – количество колебаний за одну секунду(частота); w – угловая частота; п = 3,14; - ф — начальная фаза
Частота колебаний рассчитывается по следующей формуле:
$f = 1 / Т$
Угловую частоту рассчитывают следующим образом:
$w = 2п * f = 2п / Т$
Любая синусоидальная функция определяется следующими величинами, которые являются основными характеристиками переменного синусоидального тока:
- Угловая частота.
- Начальная фаза.
- Амплитуда.
Для расчета электрических цепей переменного синусоидального тока могут быть использованы следующие способы:
- Операции с синусоидами.
- Метод проводимостей.
- Символический метод.
- Метод узловых потенциалов.
- Метод контурных токов.
- Метод эквивалентного генератора.
- Метод векторных диаграмм.
Операции с синусоидами и метод векторных диаграмм
Рассмотрим узел электрической цепи, который изображен на рисунке ниже.
Рисунок 2. Узел цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Допустим, что нам известны i1 и i2 и необходимо рассчитать значение i3. Данная задача может быть решена при помощи сложения синусоид, то есть:
$i3 = i1 + i2$
Сумма двух синусоид с одинаковой частотой тоже является синусоидой такой же частоты. Таким образом ее начальная фаза и амплитуда могут быть определены следующим образом:
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$tgф3 = (Im1sinф1 + Im2sinф2) / (Im1cosф1 + Im2cosф2)$
Подставляя численные значения можно определить ф3
Рассмотрим решение данной задачи методом векторных диаграмм. В соответствии с первым законом Кирхгофа:
$Im3 = Im2 + Im1$
В прямоугольной системе координат строятся векторы I1m и I2m, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 4. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Так как в получившемся треугольнике 0аб сторона аб равняется Im2, то
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Когда треугольник получается не прямоугольным, то используется теорема косинусов. Начальная фаза третьего тока равняется углу наклона вектора Im3 горизонтальной оси, то есть:
$ф3 = ф1 + а + arctg(Im2 / Im1)$
Метод проводимостей
Расчет цепей переменного синусоидального тока методом проводимостей заключается в замене участков цепи, содержащих только последовательно или параллельно соединенные двухполюсники, эквивалентными им двухполюсниками. В случае параллельного соединения двухполюсников каждый из них представляет собой схему замещения из параллельно соединенных реактивной и активной проводимостей. Реактивную и активную проводимости эквивалентной схемы получают благодаря суммированию отдельно реактивных и активных проводимостей. Когда двухполюсники соединены последовательно, каждый из них представляет собой схему замещения из последовательно соединенных реактивного и активного сопротивлений. Реактивное и активное сопротивления получают в результате суммирования отдельно реактивных и активных сопротивлений.
При суммировании реактивных проводимостей или сопротивлений для индуктивных составляющих берется знак минус, а для емкостных элементов знак плюс
После замены всей рассматриваемой цепи одним эквивалентным двухполюсником рассчитывается его фазовый угол и полное сопротивление.
$фэ = arctg(хэ / Rэ)$
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где: фэ - фазовый угол эквивалентного двухполюсника; хэ - сумма реактивных сопротивлений эквивалентного двухполюсника; Rэ - сумма реактивных сопротивлений эквивалентной схемы; Zэ - полное сопротивление эквивалентного двухполюсника.
Рассмотрим схему, представленную на рисунке ниже.
Рисунок 7. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Допустим, что нам известна электродвижущая сила, которая действует в данной схеме:
$e(t) = Emsin(wt + ш)$
где ш - начальная фаза
Необходимо определить входной электрический ток i1
Рассчитываем активную и реактивную проводимости на вторых сопротивлениях и емкостях:
Рисунок 8. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где: g - активная проводимость; b - реактивная проводимость; w - угловая частота
На третьем элементе R3, активная и реактивная проводимости будут равняться:
$g3 = 1/R3$
$b3 = 0$
Таким образом получается:
$g23 = g2 + g3$
$b23 = b2 + b3 = b2$
Теперь необходимо рассчитать суммарное активное сопротивление R23 и реактивное сопротивление х23
Эквивалентное активное сопротивление рассчитывается следующим образом:
$R23 = R1 + R23$
Реактивное эквивалентное сопротивление рассчитывается следующим образом:
$хэ = w*L1 + x23$
Формула для расчета фазового угла эквивалентного двухполюсника выглядит следующим образом:
$фэ = arctg(xэ / Rэ)$
Отсюда максимальное значение амплитуды электрического тока рассчитывается по формуле:
$Im = Em / Zэ$
Начальная фаза:
$шi = ш - шэ$
Таким образом входной ток равен:
$i1(t) = Imsin(wt + шi)$
