Прохождение детерминированных сигналов через линейные цепи

Классификация сигналов. Детерминированные сигналы

Все существующие сигналы делятся на следующие категории:

1. Реальные и мнимые сигналы.
2. Непрерывные во времени и сигналы дискретного времени.
3. Недетерминированные и детерминированные сигналы.
4. Сигналы мощности и энергии.
5. Нечетные и четные сигналы.
6. Апериодические и периодические сигналы.

Классификация детерминированных сигналов основана на существенных признаках математических моделей сигналов, поэтому выделяют всего два класса данных сигналов: периодические и непериодические. К периодическим сигналам относятся полигармонические и гармонические сигналы. Пример гармонического сигнала и его амплитудно-частотная характеристика изображены на рисунке ниже.

Рисунок 1. Гармонический сигнал и его амплитудно-частотная характеристика. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Гармонические сигналы описываются следующим выражением:

$s(t) = Asin(2пF_0 + t + ф) = Аsin(Wot + ф)$

или

$s(t) = Аcos(Wot + F),$

где, F, Wo, ф, F, А - постоянные величины: А - амплитуда сигнала; Wo - угловая частота (в радиана); Fo - циклическая частота (в герцах); F - начальный фазовый угол (в радианах).

Полигармонические сигналы описываются следующей формулой:

$s(t)=y(t+-kTp),$

где, k = 1,2,3…; Тр - период одного полного колебания сигнала.

Полигармонические сигналы представляют собой сумму определенной составляющей, а также произвольного числа гармонических элементов с частотами, которые кратны фундаментальной частоте и с произвольными значениями фаз амплитуд. Таким образом частотный спектр полигармонических сигналов дискретен, поэтому широкое распространение получило представление сигналов при помощи ряда Фурье (в виде спектров).

К непериодическим сигналам апериодические и почти периодические сигналы. Почти периодические сигналы представляют собой сумму минимум двух гармонических сигналов с произвольными частотами, отношения которых не имеют отношения к рациональным числам, поэтому фундаментальный период суммарных колебаний бесконечно велик. У апериодических сигналов частотный спектр непрерывен, поэтому самым удобным способом их представления является в частотной области является интегральное представление Фурье. К апериодически сигналам также относятся импульсные сигналы, существующие в пределах конечных временных интервалов. В данном классе выделяют радиоимпульсы, уравнение которых выглядит следующим образом:

$s(t)=u(t)cos(2пFotFo),$

где, u(t) - видеоимпульс (огибающая радиоимпульса); cos(2пFotFo) - гармоническое колебание заполнения радиоимпульса.

Методы описания прохождения детерминированных сигналов через линейные цепи

Существует два основных метода описания процесса прохождения детерминированных сигналов через линейные цепи:

1. Метод спектрального разложения.
2. Метод интеграла наложения.

Метод суперпозиции или интеграла наложения основывается на том, что входной сигнал представляется в виде совокупности коротких импульсов, а выходной сигнал рассматривается, как сумма реакций на данные сигналы. Выходной сигнал при воздействии единичного импульса называется импульсной характеристикой системы, обозначается g(x). Так как спектр единичного импульса равен одному, то:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получается, что импульсная и частотная характеристика являются парой представления Фурье.

Функция K(j.w) определяется экспериментально посредством исследования реакции системы на единичный импульс. Например, на вход системы подается сигнал на вход системы подается короткий импульс, сигнал с выхода поступает на анализатор спектра, в результате чего и определяется частотная характеристика - K(j.w).

Предположим, что нам необходимо найти общее выражение сигнал uвых(х), при условии, что на вход линейной цепи поступает сигнал uвх(х), а импульсная характеристика нам известна (g(x)). Сначала разбиваем сигнал на элементарные импульсы и находим реакцию всей системы на любой из них. Пример разбивки показан на рисунке ниже.

Рисунок 3. Пример разбивки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Так как площадь одиночного импульса равна не единице, то выходная реакция будет иметь следующий вид - uвх(х1) Dx1(xi-x1). Теперь складываем реакции отдельных импульсов в точке xi и переходим к интегралу свертки:

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для системы, у которой g(x)=g(-x) и g(xi-x1)=g(x1-xi), вышепредставленное выражение можно переписать следующим образом:

Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Таким образом выходной сигнал представляет из себя функцию взаимной корреляции входного сигнала, а также функцию, которая комплексно сопряжена с импульсной реакцией. Данное явление очень часто применимо по отношению к оптическим системам.

Спектральный метод основан на использовании передаточной функции или частотной характеристики:

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Отсюда выходной сигнал:

Рисунок 7. Формуа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где,

Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

K(w) определяет вес отдельных спектральных составляющих входного сигнала в их вкладе вы выходной сигнала, j(w) - фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного