Топология электрических цепей
К топологическим свойствам электрических цепей относятся те, которые никак не связаны с характеристиками пассивных и активных элементов, входящих в их состав. К ним относятся:
- Ветвь.
- Узел
- Контур.
Ветвь электрической цепи представляет собой участок, в котором все элементы расположены друг за другом последовательно.
Узлом электрической цепи называют точку, в которой соединяются несколько ветвей. Узел связывает ветви и является местом разветвления. Ветви считаются последовательно соединенными в том случае, если обтекаются одни и тем же током, и параллельно соединенными, если присоединены к одной паре узлов. Таким образом при параллельном соединении общим параметром элементов цепи является напряжение между узлами, а при последовательном соединении - электрический ток.
Контур электрической цепи - совокупность ветвей цепи, которые следуют друг за другом.
Электрическая цепь, в которой нет разветвлений, называется одноконтурной, а при их наличии - многоконтурной. Основной характеристикой многоконтурной электрической цепи является количество независимых контуров. Совокупность контуров определяется тем, что каждый последующий контур отличается от предыдущего минимум одной новой ветвью. Число независимых контуров рассчитывается по формуле Эйлера:
$р = m – n + 1$
где m - количество ветвей; n - количество узлов.
Количество ветвей всегда больше, чем количество узлов
Рассмотрим схему электрической цепи на рисунке ниже:
Рисунок 1. Схема электрической цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В данной цепи четыре узла (a,b,c,d) и шесть ветвей (ab, bd, bc, ad, dc, ac). Следовательно, количество независимых контуров будет равняться:
$p = 6 – 4 + 1 = 3$
Данными контурами могут быть: abd, dbc, adc, abcd, dbc, adc.
Расчет многоконтурной цепи постоянного тока
Благодаря законам Кирхгофа можно рассчитать любую многоконтурную электрическую цепь постоянного тока посредством составления систем уравнения. Для того, чтобы сформулировать данные законы, в электрической цепи выделяют контуры и узлы, при этом один проводник может входить в состав нескольких контуров. Знаки перед членами уравнений определяются двум правилам:
- Если направление электродвижущей силы совпадает с выбранным направлением обхода контура, то она положительна.
- Если направление тока в резисторе совпадает с направлением обхода, то падение напряжения на нем положительно.
Согласно первому закону Кирхгофа в любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равняется нулю, то есть:
$Ik = 0$
Согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура электрической цепи, который выделяется произвольно, равняется алгебраической сумме электродвижущих сил в данному контуре, то есть:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Где: k - количество источников электродвижущей силы; m - количество ветвей в одном замкнутом контуре; Ii - ток i-той ветви; Ri - сопротивление i - то ветви.
Рассмотрим схему многоконтурной электрической цепи постоянного тока, которая изображена на рисунке ниже.
Рисунок 3. Схема многоконтурной электрической цепи постоянного тока. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
До составления уравнений, согласно законам Кирхгофа, произвольно определяется направление, по которому ток обходит каждый контур рассматриваемой цепи. Цепь, представленная на рисунке выше разбита на два контура, направление обхода в первом контуре по часовой стрелке, а во втором против. На основании первого закона Кирхгофа для узла а можно составить следующее уравнение:
$I_2 + I_3 – I_1 = 0$
Согласно второму закону Кирхгофа для обоих контуров электрической цепи можно записать следующее уравнение:
$E_1 = I_1R_1 + I_2R_2$
$-E_2 = I_2R_2 – I_3R_3$
Таким образом, система уравнений, полностью описывающая рассматриваемую электрическую цепь будет иметь следующий вид:
$I_2 + I_3 – I_1 = 0$
$E_1 = I_1R_1 + I_2R_2$
$-E2 = I_2R_2 – I_3R_3$
Хорошим примером использования закона о падении напряжений (второй закон) является потенциальная диаграмма.
Потенциальная диаграмма – это график распределения потенциала в замкнутом контуре.
По оси абсцисс графика откладывается сопротивления вдоль контура, с произвольной точки, а по оси ордината - соответствующие этим точкам потенциалы. Рассмотрим контур Е1, R1, R3, E2, в качестве начальной точки выберем точку b. Для построения потенциальной диаграммы, сначала определяется падение напряжения на каждом сопротивлении, входящих в состав контура. Потенциал увеличивается на участке с сопротивлением увеличивается в том случае, когда обход производится против направления тока, и уменьшается при их несовпадении. На участке, где находится источник электродвижущей силы, потенциал увеличивается на ее величину, когда переход между точками осуществляется по направлению электродвижущей силы и становится меньше, когда переход осуществляется против направления электродвижущей силы. Готовая потенциальная диаграмма рассматриваемого контура изображена на рисунке ниже.
Рисунок 4. Потенциальная диаграмма. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
