Анализ линейной цепи

Линейные электрические цепи. Методы анализа линейных электрических цепей

Линейная электрическая цепь состоит из пассивных и активных составляющих. К активным составляющим относятся источники электроэнергии, а к пассивным:

1. Электрические конденсаторы.
2. Катушки индуктивности.
3. Резисторы.

При помощи пассивных линейных элементов осуществляется фильтрация сигналов, деление и суммирование их мощности, а также согласование между различными каскадами, звеньями и цепями. Активные линейные элементы используются для усиления мощности сигналов, находящихся в пределах характеристик электронных приборов - от низких до сверхчастотных.

К основным методам анализа линейных электрических цепей относятся:

1. Метод наложения.
2. Метод эквивалентного источника.
3. Метода уравнения Кирхгофа.
4. Метод контурных токов.
5. Метод узловых напряжений.

Метод уравнений Кирхгофа

Универсальным методом, который используется для анализа линейной электрической цепи, является применение законов Кирхгофа.

Первый закон Густава Кирхгофа устанавливает связь между токами любого узла. В любой электрической цепи, состоящей из определенного числа узлов и ветвей, число независимых узлов находится по формуле:

$m = q - 1$

где, q - число узлов.

Таким образом, число независимых уравнений по закону Кирхгофа также равно m.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями в любом контуре электрической цепи. Количество независимых контуров определяет число независимых уравнений, которые составляются по двум законам Кирхгофа:

$p = m + n$

где, n - число независимых контуров; m - число независимых узлов.

Исходя из особенностей исследуемой электрической цепи, количества узлов, контуров, ветвей и т.п. составляются системы уравнений. Затем, применяя закона Ома становится возможным определить напряжения и токи во всех ветвях.

Метод контурных токов и узловых потенциалов

В методе контурных токов используется следующее уравнение:

$n = p-m,$

где n - число независимых контуров; p - число линейно зависимых уравнений, которые составлены по второму закону Кирхгофа; m - число независимых узлов. Если в электрической цепи присутствуют идеальные источники тока, то ее анализ существенно упрощается, так как наличие данного источника определяет соответствующий контур.

Для анализа методом контурных токов сначала выбирают определенное количество независимых контуров и обозначают направление контурных токов и токов ветвей. При этом идеальный источник тока может входить в состав только одного контура (так как он определяет величину контурного тока). Затем записываются стандартные линейные уравнения для всех выбранных независимых контуров, рассчитываются взаимные и собственные сопротивления и контурные электродвижущие силы для исследуемой электрической цепи. Затем система уравнений решается по методу Крамера или при помощи электронно-вычислительной машины в матричной форме. Последним этапом реализации метода контурных токов является определение токов ветвей методом наложения.

Метод узловых потенциалов представляет собой расчетный метод для анализа электрических цепей при помощи системы уравнений, в которой неизвестными являются потенциалы в узлах цепи. Данный метод используется для нахождения потенциала во всех узлах электрической цепи, а также силы тока во всех ветвях. До начала расчета выбирается базовый узел, в котором потенциал равен 0. Затем узлы пронумеровываются и составляется система уравнений для каждого узла, за исключением базового. Пример исследуемой схемы изображен на рисунке ниже

Рисунок 1. Исследуемая схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, ф - потенциал; Y - проводимость; R - сопротивление; Е - электродвижущая сила; J - ток.

Система уравнений для вышеуказанной электрической цепи (узлов 1, 2 и 3) будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 2. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Слева от знака равенства записан потенциал угла, который умножен на сумму проводимостей ребер, примыкающих к нему (проводимости ребер не принимаются в расчет, если содержат источник тока). Также справа записываются минусы потенциалов узлов, которые примыкают к нему и помноженные на проводимости соединяющих ребер. Справа записываются сумма всех источников тока и сумма произведений всех электродвижущих сил, умноженные на проводимость ребер. Если источник тока направлен в сторону противоположную от исследуемого узла, то он записывается со знаком минус, если к нему со знаком плюс.