Степень статической неопределимости – это разность между количеством неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы.
Стержневые системы
Стержневая система с точки зрения строительной механики – это конструкция, воспринимающая нагрузки и состоящая из стержней, шарнирно или жестко сопряженных друг с другом. Если элементы такой конструкции работают только на растяжение или только на сжатие, то такую конструкцию называют фермой.
Ферма состоит из прямых стержней, шарнирно соединенных между собой. Для ферм характерно приложение внешних усилий в узлах (местах примыкания двух и более стержней).
Если какой-либо стержневой элемент конструкции работает в большей мере на изгиб, то такая система называется рамой.
Если все элементы шарнирно-стержневой системы, а также приложенные к ней нагрузки располагаются в одной плоскости, то такая система называется плоской.
Если элементы стержневой системы расположены в одной плоскости, а внешние усилия, включая реакции опор, приложены в перпендикулярной плоскости, то такая система называется плоскопространственной. Стержневые системы, не относящиеся ни к одной из вышеописанных категорий, называются пространственными.
Рисунок 1. Шарнирно-стержневые системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Любую шарнирно-стержневую систему принято разделять на статически определимую и статически неопределимую. Под статически определимой системой понимается такая система, в которой усилия во всех элементах могут определяться методом сечений с применением только уравнений равновесия. В случаях, когда выполнить подобный расчет невозможно – систему называют статически неопределимой.
Связи и статическая неопределимость
Под степенью статической неопределимости понимается разность между количеством неизвестных усилий (например, реакций опор или внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы.
Связи, наложенные на шарнирно-стержневую систему, могут быть внешними и внутренними. Внешние связи – это ограничения, накладываемые на абсолютные перемещения узлов или сечений системы. Внутренние же связи ограничиваются относительными перемещениями элементов системы. Отсюда следует, что статическая неопределимость системы может быть вызвана как внутренними, так и внешними связями.
Если речь идет о внешних связях, то положение жесткого тела в некоторой плоскости x, y может характеризоваться тремя независимыми параметрами (двумя координатами и углом поворота рассматриваемой плоскости). Следовательно, необходимое для равновесия системы число связей будет равно трём (исходя из количества уравнений равновесия: Σx = 0, Σy = 0 и Σm = 0).
Если некая плоская система состоит из D частей, каждая из которых может быть рассмотрена как жесткое тело, то количество параметров, необходимых для определения положения данной системы будет равно 3D. Каждый шарнир, соединяющий две части системы, разрешает только взаимный поворот этих двух частей. Как следствие, шарнир устраняет возможность взаимного смещения частей системы. Это значит, что введением шарнира можно уменьшить количество возможных перемещений системы на две единицы. Помимо этого, каждый опорный стержень устраняет возможность смещения системы в соответствующем направлении.
Анализируя вышеописанное, можно подсчитать степень статической неопределимости (определяемую внешними связями):
W = 3D – 2Ш – С
Здесь D – количество дисков (частей) анализируемой системы, каждый из которых может рассматриваться как абсолютно жесткое тело. Ш – количество шарниров в системе, соединяющих диски. С – количество опорных стержней. Статически определимой системой можно назвать такую, при которой W = 0. При W
На рисунке изображены наиболее характерные типы внешних связей и их схематичное изображение. В первом случае (а) плоская рама имеет три внешние связи, во втором (б) – пять. Это означает, что в первом случае шарнирно-стержневая конструкция имеет необходимое для статической определимости количество шарниров и стержней.
Во втором случае система имеет две дополнительные внешние связи. Интересно, что в обоих случаях рама будет статически неопределимой, поскольку ее конфигурация не позволяет определить усилия во всех стержнях с использованием уравнений статики. Поэтому для окончательного ответа на вопрос о статической определимости необходимо проанализировать совместно наложенные и внутренние связи системы.
Методики расчета статически неопределимых систем основываются на определении перемещений её узлов. Вышеизложенный метод также имеет свое название – метод начальных параметров. При всех достоинствах данного метода он обладает весьма существенным недостатком – в случае большого количества расчетных участков вычислительные формулы становятся очень громоздкими. Максимально отрицательно это сказывается на расчетах криволинейных стержневых систем.
В этой связи следует упомянуть более универсальный метод расчета статически неопределимых систем – метод Мора. Для определения линейного или углового перемещения он предполагает рассмотрение системы в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается путем удаления заданных нагрузок и приложения единичного усилия (F = 1) в том месте, где требуется определить перемещение. В местах, где требуется определить линейное перемещения (например, прогиб балки или элемента рамы) прикладывают сосредоточенную силу (F = 1). Если необходимо найти угол поворота узла, то прикладывать следует сосредоточенную пару сил (M = 0).
