Численные методы решения нелинейного уравнения с одним неизвестным

Введение

Методики решения уравнений могут быть поделены на две группы:

1. Прямые методы.
2. Итерационные методы.

Прямые методы применяют законченные выражения, то есть формулы, для вычисления неизвестных. Они позволяют найти решение после осуществления заранее определённого количества операций. Они считаются относительно простыми и самыми универсальными, то есть являются пригодными для решения широкого класса линейных и нелинейных задач.

К недостаткам прямых методов следует отнести:

1. Необходимо сохранять в оперативной памяти компьютера сразу всю матрицу. При больших размерах матрицы требуется много места в памяти.
2. Накопление погрешности в процессе решения. Это может быть особенно опасным для больших систем, а также для плохо обусловленных систем, которые чувствительны к погрешностям.

Итерационными методами являются методы последовательных приближений. В этих методах следует задавать определённое приближённое решение, именуемое начальным приближением. Затем при помощи заданного алгоритма выполняется один цикл вычислений, который называется итерацией. Итогом итерации является нахождение нового приближения. Итерации осуществляются до тех пор, пока не будет получено решение с необходимой точностью.

К преимуществам итерационных, то есть численных методов, следует отнести:

1. Эти методы предполагают хранение в памяти компьютера не всей матрицы системы, а только нескольких векторов с n элементами.
2. Погрешность окончательного результата при использовании итерационных методик не может накапливаться, поскольку точность вычислений во всех итерациях должна определяться по итогам предыдущей итерации и фактически не зависти от ранее осуществлённых операций.

Численные методы решения нелинейного уравнения с одним неизвестным

Технологическая последовательность вычислительного процесса может состоять из следующих этапов:

1. Создание математической модели исследуемого объекта. Сюда же необходимо отнести и анализ модели, поверку корректности полученной математической задачи.
2. Создание алгоритма вычислений, то есть, методики приблизительного решения поставленной задачи.
3. Формирование программной реализации алгоритма на компьютере и её проверка.
4. Осуществление серии вычислений при варьировании основных параметров начальной задачи и алгоритма.
5. Осуществление анализа полученных результатов.

Все перечисленные этапы допускают возможность возврата к любому из предшествующих этапов для его уточнения и изменения. Иногда вычислительные алгоритмы разрешения непростых задач создаются из набора главных компонентов, представляющих собой алгоритмы решения некоторых типичных математических задач. Владение численными методами решения подобных задач считается необходимым условием использования передовых технологий математического моделирования.

Идеология модели лежит в основе того, что называется методами вычислительной математики. Как правило, алгоритм приблизительного решения базируется на том положении, что исходная математическая задача будет заменяться (аппроксимироваться) некоторой более простой задачей или даже совокупностью более простых задач.

Предположим, что существует непрерывная функция f(x) и необходимо определить корни уравнения f(x) = 0 численными методами, что, по сути, будет считаться постановкой задачи. Численное решение уравнения подразделяется на следующий набор подзадач:

1. Осуществление анализа числа, характера и расположения корней, как правило, путем формирования графика функции или на основе физического смысла исследуемой модели. При этом корень может быть единственным, корней может быть также бесконечное множество или не быть вовсе. Есть также вариант, когда существует несколько решений, как действительных, так и мнимых, к примеру, для полинома степени n. Корни четной кратности достаточно сложно выявить.
2. Осуществление локализации корней, то есть разбиение на интервалы, и выбор начального приближения к каждому корню. В простейшем случае можно выполнить табуляцию функцию с заданным шагом. Если в двух соседних узлах функция имеет различные знаки, то между этими узлами расположено нечетное количество корней уравнения (по крайней мере один).
3. Определение каждого (или того, который интересует) корня уравнения с необходимой точностью. Уточнение может осуществляться при помощи разных методов.

Одним из численных методов решения нелинейных уравнений является метод дихотомии (бисекций), который по-другому именуется методом половинного деления. Предположим, что имеется начальный интервал $[x_0, x_1]$, на котором $f(x_0)f(x_1) ≤ 0$, то есть внутри интервала расположен по крайней мере один корень.

График показан на рисунке ниже.

Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определим:

$x_2 = ½ (x_0 + x_1)$

А далее необходимо вычислить $f(x_2)$. В случае, если $f(x_0)f(x_2) ≤ 0$, следует использовать для последующего деления отрезок $[x_0, x_2]$. Если же функция больше нуля, то необходимо использовать для последующего деления отрезок $[x_1, x_2]$, и продолжить деление пополам.

Итерации должны продолжаться до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше $2ξ$, то есть меньше необходимой точности. В этом случае середина последнего отрезка даёт величину корня с необходимой точностью. В качестве другого критерия может быть принято следующее условие:

$| f(x)| ≤ ξy$

Скорость сходимости данной методики невелика, но она является достаточно простой и надёжной. Этот метод не может быть использован при наличии корней с четной кратностью. Когда на отрезке имеется несколько корней, то заранее нельзя предвидеть, к какому именно корню может сойтись данный процесс.

Когда на исследуемом интервале может быть больше одного корня, то имеется возможность поочерёдного исключения найденных корней из рассмотрения.