Устойчивость систем: критерий Рауса

Формулировка критерия Рауса. Правила составления таблицы Рауса

Важная задача анализа динамической системы управления - решение вопроса об ее устойчивости. Технически понятие устойчивости системы отражает свойство технической системы стабильно работать в нормальных режимах и не выходить из строя в случае отклонения любого из параметров от номинального значения и воздействия на систему дестабилизирующих влияний, то есть способность системы возвращаться к равновесному состоянию, из которого она была выведена в результате различных воздействий.

Почти одновременно с Гурвицем английский математик Раус предложил собственный алгебраический критерий устойчивости системы автоматического управления, который описывается дифференциальными уравнениями n-го порядка. Данный критерий сформулирован следующим образом:

Система является устойчивой в том случае, если все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса больше нуля. Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система является неустойчивой, а число положительных корней характеристического уравнения равняется количеству перемен знаков в первом столбце таблицы Рауса.

При составлении таблицы Рауса применяются следующие правила:

1. В первой строке таблицы Рауса должны быть записаны коэффициенты характеристического уравнения с четными индексами в порядке их возрастания.
2. Во второй строке таблицы Рауса должны быть записаны коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами в порядке их возрастания.
3. Следующие строки таблицы Рауса заполняются по формуле: ck,i = ck + 1,i - 2 - ri ck + 1, i – 1 , где ri = c1 ,i – 2 / c1,i – 1 , i >=3 - номер строки,

Строк в таблице Рауса на одну больше, чем порядок характеристического уравнения, пример заполнения такой таблицы представлен на рисунке ниже.

Рисунок 1. Пример заполнения таблицы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Главное достоинство критерия Рауса заключается в простоте его использования вне зависимости от порядка характеристического уравнения. Главный недостаток данного критерия - малая наглядность, трудность определения степени устойчивости, насколько далеко она находится от границы устойчивости.

Определение устойчивости системы автоматического управления с помощью критерия Рауса

Допустим, что необходимо определить устойчивость системы автоматического управления, структурная схема которой изображена на рисунке ниже.

Рисунок 2. Схема системы автоматического управления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Здесь:

• Кизм - передаточный коэффициент измерительного устройства, равный 15;
• Кфчв - передаточный коэффициент фазочувствительного выпрямителя, равный 1;
• Тф - постоянная времени фазочувствительного выпрямителя, равная 0,004;
• Ку - коэффициент усиления электронного усилителя, равный 100;
• Кэму - коэффициент передачи электромашинного усилителя, равный 2;
• Тэ - постоянная времени электромашинного усилителя, равная 0,015;
• Кд - коэффициент передачи электродвигателя, равный 2,15;
• Тд - постоянная времени электродвигателя, равная 0,3;
• Кред - коэффициент передачи редуктора, равный 0,003.

Передаточная функция рассматриваемой системы автоматического управления определяется следующим образом:

$W(s) = (Кизм*Кфчв*Ку*Кэму*Кд*Кред) / ((ТфS+1)*(TэS+1)*((ТдS+1)*s))$

Подставляя числовые значения коэффициентов передачи и постоянный времени получаем:

Рисунок 3.

Затем получаем представление характеристического полинома в следующем виде.

Рисунок 4.

Характеристическое уравнение будет выглядеть следующим образом.

Рисунок 5.

Составляя таблицу Рауса в соответствии с правилами получаем:

Рисунок 6. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Так как коэффициенты первого столбца получившейся таблицы больше нуля, можно сделать вывод, что рассматриваемая система автоматического управления является устойчивой.

Допустим, что необходимо определить устойчивость системы автоматического управления по критерию Рауса по характеристическому уравнению, представленному ниже:

Рисунок 7.

Для начала вычисляется третья строка таблицы Рауса

Рисунок 8.

После этого рассчитывается четвертая строка таблицы.

Рисунок 9.

После этого рассчитываются пятая и шестая строки таблицы Рауса.

Рисунок 10.

Рисунок 11.

В конечном итоге таблица Рауса будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 12. Таблица Рауса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ