Математическое описание САР: преобразование Лапласа

Классификация систем автоматического регулирования

В зависимости от основной цели управления системы автоматического регулирования делятся на:

1. Системы стабилизации, в которых регулируемая величина поддерживается постоянной во времени при постоянном задании.
2. Системы программного управления, в которых регулируемая величина изменяется во времени по известному закону, в соответствии с которым изменяется задание.
3. Следящие системы, в которых регулируемая величина изменяется во времени по неизвестному закону, определяемому каким-либо независимым внешним воздействием.

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа используется:

• для решение систем интегральных и дифференциальных уравнений;
• для расчета передаточных функций динамической системы;
• для расчета выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработки сигналов;
• для расчета электрических схем;
• для решения нестационарных задач математической физики.

Функция является отображением по Лапласу в том случае, если выполняется следующее равенство:

Рисунок 1.

В данном выражении функция f(t) является оригиналом для функции F(p). Преобразование Лапласа позволяет перейти от временной области определения переменной времени к области определения переменной р, которая может принимать комплексные значения. Такое преобразование обозначается через оператор Лапласа следующим образом:

Рисунок 2.

Преобразование Лапласа позволяет упрощать многие задачи математического описание автоматических систем регулирования благодаря своим свойствам. Во-первых, если

$f1(t)=f2(t)$

то

$F1(p)=F2(p)$

Во-вторых, преобразование Лапласа обладает свойством линейности, если

Рисунок 3.

где ci - постоянный коэффициент,

а

Рисунок 4.

где L - оператор Лапласа.

В-третьих, для производной n-го порядка:

Рисунок 5.

где

Рисунок 6.

В случае производной первого порядка выражение будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 7.

В случае нулевых начальных условий выражение будет иметь следующий вид:

Рисунок 8.

Преобразование по Лапласу может выполняться при помощи интегрирования по первому представленному выше выражению, но это может быть слишком трудоемко, к тому же для большинства типовых функций отображения давно получены и сведены в специальную таблицу. Главной динамической характеристикой системы автоматического регулирования является передаточная функция, которая представляет собой отношение отображения по Лапласу величины сигнала на выходе к отображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях, то есть:

Рисунок 9.

Преобразование по Лапласу позволяет перейти от дифференциального уравнения к алгебраическому, благодаря своим свойствам. Допустим, что дифференциальное уравнение объекта регулирования выглядит следующим образом:

Рисунок 10.

Благодаря преобразованию Лапласа получаем следующее:

Рисунок 11.

В итоге передаточная функция объекта регулирования будет иметь следующий вид:

Рисунок 12.

Согласно вышеприведенному уравнению можно сделать вывод, что передаточная функция зависит только от параметров системы регулирования - коэффициенты а и b и никак не зависят от входной величины. Передаточной функцией полностью определяются динамические свойства системы. Если знать передаточную функцию и внешнее воздействие, то можно определить функцию отклика объекта регулирования на воздействие:

Рисунок 13.

Если рассматриваемый объект регулирования будет иметь несколько выходных и/или входных величин, то его математическое описание будет представлять собой несколько передаточных функций. В данном случае одна передаточная функция будет соответствовать каналу объекта. Например, у объекта регулирования имеется одна регулируемая величина - х, а следовательно, и одно регулирующее воздействие - хр, а при его описании также рассматривается одно внешнее воздействие:

Рисунок 14.

В данном случае можно выделить два канала: канал регулирования и канал возмущения, то есть для описания системы необходимо определить две передаточные функции: Wp(p), Wв(p).