Подскажите, как нужно выражать на письме слово «по разному» через дефис, вместе или отдельно? Если можно, с объяснениями и конкретными примерами употребления.

По разному – не одинаково, не совпадая с... В русском языке различают несколько вариантов написания данного слова:

Раздельно: предлог + прилагательное. «По» пишется раздельно с прилагательным «разному», отвечающим на вопрос «какому?», «по какому?». Прилагательное «разному» определяет существительное с предлогом.

Рассмотрим несколько примеров: Орнитологи различают птиц по разному оперению. (По какому оперению? По разному.)

США и Россия живут по разному времени. (По какому времени? По разному.)

Через дефис - объясняется тем, что «по-разному» является наречием, отвечающим на вопрос «как?». Наречие образуется с помощью приставки «по-» и прилагательного с окончанием «-ому».

Пример: Несмотря на то, что Петр и я по-разному видим мир, мы остаемся друзьями.

По аналогичному принципу образуются и другие дефисные наречия, имеющие окончания «ему», «ьи», «ому», например:

Расстроиться по-настоящему.

Одеться по-летнему.

Создать по-другому.

Итог: «по разному» пишется как раздельно, так и через дефис. Написание зависит от того, какой частью речи слово выступает в предложении. Слитное написание «поразному» будет считаться орфографической ошибкой.