Для начала напомним следующее определение.
Выражения называются тождественно равными, если они равны при любых допустимых значениях входящих в нее переменных.
Преобразование выражений можно выполнять с помощью следующих законов:
- $a+b=b+a$
- $ab=ba$
- $\left(a+b\right)+c=a+(b+c)$
- $\left(ab\right)c=a(bc)$
- $a\left(b+c\right)=ab+ac$
Далее рассмотрим основные тождественные преобразования.
Раскрытие скобок
Если выражение в себе содержит скобки, то мы можем его привести к тождественно равному выражению с меньшем количеством скобок или к выражению, которое не будет содержать их совсем.
Преобразовать выражение: $5\left(x+1\right)+\left(3+y\right)(4+z)$
Для преобразования данного выражения будем пользоваться 5 законом:
\[5\left(x+1\right)+\left(3+y\right)\left(4+z\right)=5x+5+\left(3+x\right)\cdot 4+\left(3+x\right)\cdot z=\] \[=5x+5+12+4x+3z+xz\]В результате получили тождественно равное выражение, не содержащее скобок.
Вынесение общего множителя за скобки
Наряду с раскрытием скобок можно применять обратную операцию -- выносить общий множитель за скобки.
Разложить на множители $5x+z+xz+5$.
Сгруппируем слагаемые:
\[\underline{\underline{5x}}+\underline{z}+\underline{xz}+\underline{\underline{5}}=5x+5+xz+z\]Вынесем общие множители за скобки:
\[5\left(x+1\right)+z\left(x+1\right)=\left(x+1\right)(5+z)\]Приведение подобных слагаемых
Если выражение содержит одинаковые слагаемые или слагаемыми, у которых отличается только числовой коэффициент, то их можно преобразовывать в одно слагаемое. Тоже самое можно делать и с самими числами, входящими в выражение. Вернемся к предыдущему примеру.
\[\underline{\underline{5x}}+\underline{5}+\underline{12}+\underline{\underline{4x}}+3z+xz=9x+17+3z+xz\]Замена чисел и выражений тождественно равными выражениями
Одними из основных тождеств являются свойства степеней, корней, логарифмов, а также тригонометрические тождества.
Упростить выражение ${(sinx+cosx)}^2$
\[{(sinx+cosx)}^2=\left(sinx+cosx\right)(sinx+cosx)\]Раскроем скобки:
\[\left(sinx+cosx\right)\left(sinx+cosx\right)={sin}^2x+sinxcosx+cosxsinx+{cos}^2x\]Приведем подобные слагаемые:
\[{sin}^2x+\underline{sinxcosx}+\underline{cosxsinx}+{cos}^2x={sin}^2x+{cos}^2x+2sinxcosx\]Используем основное тригонометрическое тождество ${sin}^2x+{cos}^2x=1$ и формулу синуса двойного угла $sin2x=2sinxcosx$, получим:
\[{sin}^2x+{cos}^2x+2sinxcosx=1+sin2x\]Формулы сокращенного умножения
Довольно часто для преобразования выражений пользуются формулами сокращенного умножения. Выведем некоторые из них.
- Разность квадратов двух выражений равна произведению их разность на их сумму: \[\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2\]
- Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с удвоенным произведением первого выражения на второе и квадратом второго выражения: \[{(a+b)}^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\]
- Квадрат разности двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с квадратом второго выражения без удвоенного произведения первого выражения на второе: \[{(a-b)}^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2\]
- Сумма кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы: \[\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3\]
- Разность кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности: \[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3\]
- Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого выражения с утроенным произведением квадрата первого выражения на второе, с утроенным произведением первого выражения на квадрат второго с квадратом третьего выражения. \[{(a+b)}^3=(a+b){(a+b)}^2\]
- Куб разности двух выражений равен сумме куба первого выражения с утроенным произведением первого выражения на квадрат второго, без суммы утроенного произведение квадрата первого выражения на второе с квадратом третьего выражения. \[{(a-b)}^3=(a-b){(a-b)}^2\]
Применим 2 формулу сокращенного умножения:
\[{(a+b)}^3=\left(a+b\right){\left(a+b\right)}^2=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)=\] \[=a^3+{2a}^2b+{ab}^2+a^2b+2{ab}^2+b^3=a^3+{3a}^2b+{3ab}^2+b^3\]Применим 2 формулу сокращенного умножения:
\[{(a-b)}^3=\left(a-b\right){\left(a-b\right)}^2=\left(a-b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)=\] \[=a^3-{2a}^2b+{ab}^2-a^2b+2{ab}^2-b^3=a^3-{3a}^2b+{3ab}^2-b^3\]Примеры на преобразование выражений
Упростить выражения:
- $\left(\frac{3}{2x-y}-\frac{2}{2x+y}-\frac{1}{2x+5y}\right):\frac{4y^2}{4x^2-y^2}$
- $\sqrt{{sin}^2\alpha \left(1+ctg\alpha \right)+{cos}^2\alpha \left(1+tg\alpha \right)}$
- \[\left(\frac{3}{2x-y}-\frac{2}{2x+y}-\frac{1}{2x+5y}\right):\frac{4y^2}{4x^2-y^2}=\] \[=\left(\frac{\left(6x+3y\right)\left(2x+5y\right)-\left(4x-2y\right)\left(2x+5y\right)-(4x^2-y^2)}{\left(4x^2-y^2\right)(2x+5y)}\right)\cdot \frac{4x^2-y^2}{4y^2}=\] \[=\frac{12x^2+30xy+6xy+15y^2-8x^2-20xy+4xy+10y^2-4x^2+y^2}{4y^2(2x+5y)}=\] \[=\frac{20xy+26y^2}{4y^2(2x+5y)}=\frac{10x+13y}{4xy+10y^2}\]
- Воспользуемся формулами $\ tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha },\ ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$ \[\sqrt{{sin}^2\alpha \left(1+ctg\alpha \right)+{cos}^2\alpha \left(1+tg\alpha \right)}=\] \[=\sqrt{{sin}^2\alpha +sin\alpha cos\alpha +{cos}^2\alpha +sin\alpha cos\alpha }=\sqrt{{sin}^2\alpha +2sin\alpha cos\alpha +{cos}^2\alpha }\]
- Используем основное тригонометрическое тождество ${sin}^2x+{cos}^2x=1$ и формулу синуса двойного угла $sin2x=2sinxcosx$, получим: \[\sqrt{{sin}^2\alpha +2sin\alpha cos\alpha +{cos}^2\alpha }=\sqrt{1+sin2\alpha }\]
