Таблица производных

Вычислить по таблице производную функции

\[y=2x^{3} -2x^{2} +4x-1\]

Решение.

\[y`=2\cdot 3x^{2} -2\cdot x^{1} +4=6x^{2} -2x+4\]

Применили свойства 2 и 4 таблицы 1.

Вычислить по таблице производную функции

\[y=\frac{1}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \]

Решение.

\[y`=\left(x^{-\frac{2}{3} } \right)^{{'} } =-\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} -1} =-\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} -\frac{3}{3} } =-\frac{2}{3} x^{-\frac{5}{3} } =-\frac{2}{3x\sqrt[{3}]{x^{2} } } \]

Применили свойство 4 таблицы 1.

Вычислить по таблице производную функции

\[y=\sin ^{2} x\]

Решение.

\[y`=2f(x)*f(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x\]

Применили свойство 4, 7, 19 таблицы 1.

Вычислить по таблице производную функции

\[y=\sin x^{2} \]

Решение.

\[y`=\cos (\sin x)sin'x=2x\cos x^{2} \]

Применили свойство 4, 7, 19 таблицы 1.

Вычислить по таблице производную функции

\[y=\log (x+\sqrt{x^{2} +1} )\]

Решение.

Полагая, в первом случае, что u = $x+\sqrt{x^{2} +1} $, а во втором, что u = х2 + 1, дважды применим свойство 19, а затем 21, 15, 4.

\[y`=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} +1} } \left(x+\sqrt{x^{2} +1} \right)^{{'} } =\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} +1} } \left[1+\left(\sqrt{x^{2} +1} \right)^{{'} } \right]=\] \[=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} +1} } \left[1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2} +1} } \left(x^{2} +1\right)^{{'} } \right]=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} +1} } \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } \right)=\] \[=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} +1} } \cdot \frac{x+\sqrt{x^{2} +1} }{\sqrt{x^{2} +1} } =\frac{1}{\sqrt{x^{2} +1} } \]

Вычислить по таблице производную функции

\[y=x^{x} \]

Решение.

Применим правило 18.

\[y'=x^{x-1} \cdot x+x^{x} \log x=x^{x} \left(1+\log x\right)\]