Напомним для начала определение решения системы уравнений с двумя переменными.
Пара чисел называется решением системы уравнений с двумя переменными, если при их подстановки в уравнение получается верное равенство.
В дальнейшем будем рассматривать системы из двух уравнений с двумя переменными.
Существуют четыре основных способа решения систем уравнений: способ подстановки, способ сложения, графический способ, способ ведения новых переменных. Рассмотрим эти способы на конкретных примерах. Для описания принципа использования первых трех способов будем рассматривать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Способ подстановки
Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$
Выразим из второго уравнения $y$ через $x$:
\[y=3x+9\]Подставим в первое уравнение, найдем $x$:
\[2x+9x+27=5\] \[11x=-22\] \[x=-2\]Найдем $y$:
\[y=-6+9=3\]Ответ: $(-2,\ 3)$
Способ сложения.
Рассмотрим данный способ на примере:
Умножим второе уравнение на 3, получим:
\[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {9x-3y=-27} \end{array} \right.\]Теперь сложим оба уравнения между собой:
\[2x+3y+9x-3y=5-27\] \[11x=-22\] \[x=-2\]Найдем $y$ из второго уравнения:
\[-6-y=-9\] \[y=3\]Ответ: $(-2,\ 3)$
!!! Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».
Графический способ
Графический способ заключается в следующем: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.
Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:
\[\left\{ \begin{array}{c} {y=\frac{5-2x}{3}} \\ {y=3x+9} \end{array} \right.\]Изобразим оба графика на одной плоскости:
Рисунок 1.
Ответ: $(-2,\ 3)$
Способ введения новых переменных
Этот способ рассмотрим на следующем примере:
Решение.
Данная система равносильна системе
\[\left\{ \begin{array}{c} {{2\cdot 2}^x-3^y=-1} \\ {3^y-2^x=2} \end{array} \right.\]Пусть $2^x=u\ (u>0)$, а $3^y=v\ (v>0)$, получим:
\[\left\{ \begin{array}{c} {2u-v=-1} \\ {v-u=2} \end{array} \right.\]Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:
\[2u-v+v-u=-1+2\] \[u=1\]Тогда из второго уравнения, получим, что
\[v=2+u=3\]Возвращаясь к замене, получим новую систему показательных уравнений:
\[\left\{ \begin{array}{c} {2^x=1} \\ {3^y=3} \end{array} \right.\]Получаем:
\[\left\{ \begin{array}{c} {x=0} \\ {y=1} \end{array} \right.\]Ответ: ($0,1$).
