Используя уравнения можно решать разнообразные задачи, к которым приводят самые многочисленные вопросы физики, экономики, механики и многих других прикладных наук. Для начала повторим порядок решения задач с помощью уравнений.
- Вводят переменные, используя буквы $x,\ \ y,\ \ z$ обозначающие неизвестные величины, которые либо требуются найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
- Используя данные в задаче числа и их соотношения и введенные переменные составляют одно уравнение или систему уравнений.
- Решают составленное уравнение или систему уравнений и из полученных решений выбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
- Если с помощью букв $x,\ \ y,\ \ z$ обозначили те искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.
Света задумала число. Если к этому числу добавить 43 и полученную суму отнять от числа 96, то получим 25. Какое число задумала Света?
Решение. Пускай Света задумала число $x,$ тогда добавив к этому числу 43, получим суму $\left(x+43\right),$ а если отнять эту суму от числа 96, получим $96-\left(x+43\right),\ $что по условию задачи равнется 25. Составим уравнение.
\[96-\left(x+43\right)=25;\] \[96-x-43=25;\] \[x=96-43-25;\] \[x=28.\]Ответ. Света задумала число 28.
Дмитрий решил в 3 раза больше задач по алгебре, чем по геометрии. Сколько задач по геометрии решил Дима, если известно, что их было на 18 задач меньше, чем по алгебре?
Решение. Пускай Дима решил $x,\ $задач по геометрии, тогда по алгебре он решил $3x$ задач. По геометрии было решено на $\left(3x-x\right)$ задач меньше, чем по алгебре, эта разница составляет 18 задач. Составим уравнение.
\[3x-x=18;\] \[2x=18;\] \[x=9.\]Значит, Дмитрий решил 9 задач по геометрии.
Ответ. 9 задач.
На трех полках стоит 129 книг, причем на второй полке на 15 книг больше, чем на первой, а на третей -- на 12 книг меньше, чем на первой. Сколько книг стоит на каждой из полок?
Решение. Пускай на первой полке стоит $x$ книг, тогда на второй -- $\left(x+15\right)$ книг, а на третьей -- $\left(x-12\right)$ книг. На трех полках стоит $x+\left(x+15\right)+\left(x-12\right)$ книг, что по условию равняется 129 книг. Составим уравнение.
\[x+\left(x+15\right)+\left(x-12\right)=129;\] \[x+x+15+x-12=129;\] \[x+x+x=129-15+12;\] \[3x=126;\] \[x=42.\]Значит на первой полке стоит 42 книги, на второй 42+15=57 книг, а на третьей 42 -- 12 =30 книг.
Проверка. На трех полках есть 42+57+30=129 книг, что соответствует условию задачи.
Ответ. 42, 57 и 30 книг.
Для того что б перевести 60 т груза из одного места в другое необходимо некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было необходимо первоначально?
Решение. Через $x$ обозначим количество машин, необходимых первоначально. Тогда на самом деле было затребовано $\left(x+4\right)$ машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину погрузят $\frac{60}{x}$ тони груза, а на самом деле загрузили $\frac{60}{x+4}$ тони груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось ранее. В результате мы приходим к уравнению
\[\frac{60}{x}-\frac{60}{x+4}=0,5.\]Общим знаменателем имеющихся дробей является $x\left(x+4\right).$ Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей.
\[\frac{60\left(x+4\right)-60x-0,5x\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)}=0;\] \[60x+240-60x-0,5x^2-2x=0;\] \[0,5x^2+2x-240=0;\] \[5x^2+20x-2400=0;\] \[x^2+4x-480=0;\] \[D=b^2-4ac=4^2-4\cdot \left(-480\right)=1936;\] \[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm 44}{2}=-2\pm 22;\]Данное уравнение имеет два корня: 20 и --24. Очевидно, что по условию задачи --24 не подходит, так как количество машин не может быть отрицательным. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.
С пункта А в пункт B выехал грузовой автомобиль. Через 30 минут навстречу ему с пункта B выехал легковой автомобиль, скорость которого на 15 км/час больше, чем грузового. Когда легковой автомобиль приехал к пункту А, грузовому осталось проехать еще 3 км. Найти расстояние между городами, если на путь от B до A легковой автомобиль потратил 2,2 часа.
Решение. Пускай скорость легкового автомобиля равняется $x$ км/час, тогда скорость грузового -- $x-15$ км/час.
За 2,2 час легковой автомобиль проехал $2,2x$ км. $2,2x$ км -- это расстояние между пунктами А и B. В момент приезда легкового автомобиля в пункт А грузовой автомобиль был в пути 30 мин +2,2 часа=0,5 часа+2,2 часа=2,7 часа. За это время он проехал $2,7\left(x-15\right)$ км. Добавив еще 3 км, получим расстояние между пунктами: $\left(2,7\left(x-15\right)+3\right)\ $км. Составим уравнение.
\[2,7\left(x-15\right)+3=2,2x;\] \[2,7x-40,5+3=2,2x;\] \[2,7x-2,2x=40,5-3;\] \[0,5x=37,5;\] \[x=75.\]Значит, скорость легкового автомобиля 75 км/час. Умножив эту скорость на время движения легкового автомобиля, получим расстояние между городами:
$75\cdot 2,2=165$ (км).
Ответ. 165 км.
