Равносильные уравнения и неравенства, иррациональные уравнения

Пусть даны три уравнения: $f_{1} (x)=g_{1} (x)$(1) с областью определения $M_{1} $; $f_{2} (x)=g_{2} (x)$ (2) с областью определения $_{2} $; $f_{3} (x)=g_{3} (x)$с областью определения$_{3} $. И пусть $M\subseteq M_{1} \bigcap M_{2} \bigcap M_{3} $. Тогда, если уравнение (1) равносильно уравнению (2) на множестве $M$, уравнение (2) равносильно уравнению (3) на множестве $M$, то уравнение (1) равносильно уравнению (3) на множестве $A$.

Если одну или обе части данного уравнения тождественно преобразовать, то получим уравнение, Б-равносильное данному.

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же математическое выражение, то получим уравнение, Б-равносильное данному.$(f(x)=g(x))\mathop{\Leftrightarrow }\limits^{} (f(x)+\varphi (x)=g(x)+\varphi (x))$

Уравнения $f(x)=g(x)$(1) и $f(x)\varphi (x)=g(x)\varphi (x)$(2), где $\varphi (E)$не равно нулю в области определения уравнения (1), Б-равносильны.

Уравнение $f_{1} (x)f_{2} (x)...f_{n} (x)=0$(1) и совокупность уравнений

$\left[\begin{array}{l} {f_{1} (x)=0,} \\ {f_{2} (x)=0,} \\ {\cdots } \\ {f_{n} (x)=0} \end{array}\right. $ (2) Б-равносильны.

Уравнения $f(x)=g(x)$(1) и (2) $f^{2n+1} (x)=g^{2n+1} (x),$ где $n\in N$, Б-равносильны.

Уравнение $f(x)=g(x)$(1) равносильно уравнению (2) $f^{2n} (x)=g^{2n} (x),$где $n\in N$, на множестве решений неравенства $f(x)g(x)\ge 0$.

Следствие. Уравнение $\sqrt[{2n}]{f(x)} =g(x)$ Б-равносильно системе $\left\{\begin{array}{l} {f(x)=g^{2n} (x),} \\ {g(x)\ge 0.} \end{array}\right. $

Уравнение $f^{n} (x)=g^{n} (x),$ где $n\in N$, является следствием уравнения$f(x)=g(x)$.

Уравнение $a^{f(x)} =a^{g(x)} $, где $a>0,a\ne 1$, Б-равносильно уравнению $f(x)=g(x)$

Уравнение $\log _{a} f(x)=\log _{a} g(x),$ где $a>0,a\ne 1$, Б-равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.

Следствие 1. Уравнение $\log _{a} f(x)=\log _{a} g(x),$ где $a>0,a\ne 1$

Б-равносильно каждой из систем

$\left\{\begin{array}{l} {f(x)=g(x),} \\ {f(x)>0} \end{array}\right. $ и $\left\{\begin{array}{l} {f(x)=g(x),} \\ {g(x)>0.} \end{array}\right. $

Следствие 2. Уравнение $\log _{a} f(x)=b,$ где $a>0,a\ne 1$. Б-равносильно уравнению $f(x)=a^{b} $

Пусть даны три неравенства: (1) с областью определения $M_{1} $; (2) с областью определения $M_{2} $; (3) с областью определения $M_{3} $. И пусть $M\subseteq M_{1} \bigcap M _{2} \bigcap M_{3} $. Тогда, если неравенство (1) равносильно неравенству (2) на множестве $M$, неравенство (2) равносильно неравенству (3) на множестве $M$, то неравенство (1) равносильно неравенству (3) на множестве $M$.

Если одну или обе части данного неравенства тождественно преобразовать, то получим неравенство, Б-равносильное данному.

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же математическое выражение, то полученное неравенство того же смысла Б-равносильно данному.

Если обе части неравенства умножить на одно и то же выражение , принимающее в области определения данного неравенства только положительные (отрицательные) значения, то полученное неравенство того же (противоположного) смысла Б-равносильно данному.

Неравенство $f(x)\varphi (x) >0$ Б-равносильно совокупности двух систем