Простые и составные числа
Натуральное число $p$ называется простым числом, если у него только $2$ делителя: $1$ и оно само.
Делителем натурального числа $a$ называют натуральное число, на которое исходное число $a$ делится без остатка.
Найти делители числа $6$.
Решение: Нам надо найти все числа, на которые заданное число $6$ делится без остатка. Это будут числа: $1,2,3,6.$ Значит делителем числа $6$ будут числа $1,2,3,6.$
Ответ: $1,2,3,6$.
Значит, для того, чтобы найти делители числа надо найти все натуральные числа, на которые данное делится без остатка. Нетрудно заметить, что число $1$ будет являться делителем любого натурального числа.
На сколько равных кучек можно разделить $15$ орехов?
Решение. Нам необходимо разделить поровну нацело $15$ орехов, т.е. найти делители числа $15$.Найдем числа, на которые число $15$ делится без остатка.
Это числа:$1,3,5,15$. Значит $15$ орехов можно разделить на $1,3,5,15$ равных кучек.
Ответ: на $1,3,5,15$ кучек.
Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.
Примером простого числа может являться число $13$, примером составного число $14$.
Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.
Взаимно простыми числами называются те, у которых НОД равен $1$.Значит для выяснения будут ли являться числа взаимно простыми необходимо найти их НОД.
Наибольший общий делитель
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:
- Разложить числа на простые множители
- Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
- Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
Найти НОД чисел $63$ и $81$.
Решение: Найдём НОД чисел $63$ и $81$
-
Разложим числа на простые множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
-
Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
-
Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
$НОД=3\cdot 3=9$
Свойство составных и простых чисел
Любое составное число можно разложить на $2$ множителя, каждый из которых больше единицы. Простое число так представить нельзя.
Действительно, простое число $17$ можно представить в виде произведения множителей только так: $17=1\cdot 17$, а составное число $18=1\cdot 2\cdot 9$. У составного числа $18$ три множителя, два из которых больше единицы.
Всякое составное число можно разложить на простые множители и представить в виде произведения множителей, которые являются простыми числами.
Свойства простых чисел
-
Если простое число $p$ делится на простое число $q$, то эти числа равны $(p=q)$. Действительно, если $p$ - простое число, то оно по определению имеет только два делителя, а именно $1$ и $p$. Но т.к. по условию $р\vdots q$, значит $q$ равно либо $1$, либо $p$. Т. к $q≠1$, значит $p=q$.
-
Если $p$- простое число, то любое натуральное число либо делится на $p$, либо взаимно простое с $p$.
В самом деле, допустим, что $p$ и $n$- не взаимно простые. И либо опровергнем, либо убедимся в этом. Если указанные числа не взаимно простые, то у них должен быть хотя бы один общий делитель, отличный от $1$, обозначим его $d$. Но по условию $p$- простое число, значит имеет по определению, всего два делителя-$1$ и $p$.Поскольку $d≠1$, то $d=p$, и поэтому $n$ делится на $p$.
-
Произведение натуральных чисел $a$ и $b$ делится на простое число $p$ в том случае, когда хотя бы одно из этих чисел делится на $p$.
Данное утверждение верно для произведения нескольких множителей- если такое произведение делится на простое число $p$, то хотя бы один из множителей делится на $p$.
-
Любое натуральное число, отличное от $1$, является либо простым, либо произведением простых чисел
-
Если натуральное число m делится на простое число $p$, то в любом разложении этого числа на простые множители хотябы один из множителей равен $p$.
Действительно, пусть $m=p_{1\dots \dots .}p_k$-разложение на множители.Так как $m\vdots p$, то по утверждению,данному в п.3 хотя бы один из множителей делится на $p$.Пусть, например $р_1\vdots p$.Тогда по утверждению , данному в п.1 выполняется равенство $р_1=p$
-
Любые два разложения составного числа отличаются друг от друга только порядком множителей.
Из простых чисел с помощью умножения можно постоить все натуральные числа.
Свойства простых чисел
-
Среди простых чисел нет наибольшего
-
Если $n$-составное натуральное число, то среди его простых делителей есть хотя бы один делитель $p$, такой , что $р^2\le n$.
Второе свойство можно успешно использовать при разложении числа на множители или при проверке его на простоту. Достаточно ограничиться проверкой делимости числа $n$ на простые делители p,для которых будет выполняться $р^2\le n$.
Проверить, является ли число $91$ составным.
Решение: Так как $7^2
