Классическое определение вероятности не всегда пригодно для изучение случайных событий. Это объясняется тем, реальные события не обязательно равновозможны. Например, игральный кубик невозможно изготовить абсолютно однородным и симметричным. Огнетушители должны срабатывать значительно чаще, чем не срабатывать. Поэтому используют статистическое определение вероятности.
Статистическое определение вероятности
Пусть в некоторой серии из $n$ испытаний случайное событие $A$ происходит $m$ раз. Постоянная величина $P\left(A\right)$, к которой стремится относительная частота $\frac{m}{n} $ при неограниченном увеличении количества испытаний $n$, называется статистической вероятностью события $A$, то есть $P\left(A\right)=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{m}{n} $.
Поскольку обеспечить $n\to \infty $ практически нереально, то относительную частоту $\frac{m}{n} $ называют эмпирической оценкой вероятности $P\left(A\right)$ события $A$.
Статья: Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности
Например, чтобы узнать, какова вероятность изготовления качественного прибора на данном рабочем месте, проверяют определенную партию приборов. Предположим, что при оценке партии из 400 приборов 380 оказались качественными. Относительная частота $\frac{380}{400} =0,95$ является эмпирической оценкой вероятности изготовления качественного прибора на данном рабочем месте.
Геометрические вероятности
В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновероятных исходов. На практике же очень часто встречаются испытания с их бесконечным числом. Здесь классическое определение вероятности неприменимо. Поэтому вводят понятие вероятности геометрического представления, то есть вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).
Пусть в область $D$ бросается наудачу точка. При этом брошенная точка может попасть в любую точку области $D$.
Вероятность попасть в какую-либо часть области $D$ пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.
Таким образом, если $d$ $-$ часть области $D$, то вероятность попадания в область $d$ по определению равна $P\left(d\right)=\frac{мера\left(d\right)}{мера\left(D\right)} $.
При этом считается, что попадание точки в область $D$ -- достоверное событие, а попадание в $d$ -- случайное.
В круг радиуса $R$ наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что это точка окажется:
а) внутри,
b) вне вписанного в круг правильного треугольника.
Вероятность попадания в область правильного треугольника ($d$), вписанного в круг ($D$), по геометрическому определению вероятности равна:
\[P\left(d\right)=\frac{мера\left(d\right)}{мера\left(D\right)} =\frac{S_{\Delta } }{S_{{\rm O} } } =\frac{3\cdot R^{2} \cdot \sqrt{3} /4}{\pi \cdot R^{2} } =\frac{3\cdot \sqrt{3} }{4\cdot \pi } \approx 0,41. \]В этом случае вероятность не попасть в область треугольника, как вероятность противоположного события, равна:
\[p=1-P\left(d\right)\approx 1-0,41=0,59.\]Восемь различных папок расставляются случайным образом на одном стеллаже. Найти вероятность того, что две определенные папки окажутся поставленными рядом.
Пусть событие $A$ -- две определённые папки оказались рядом на соседних позициях. Вероятность этого события $P(A)$ -- отношения числа благоприятных исходов $N1$ к общему числу исходов $N2$.
Общее число исходов -- это количество всех возможных перестановок папок. Так как число перестановок из n элементов равно $n!$, то $N2$ = $8!$
Рассматриваем число благоприятных исходов.
Пусть две определённые папки занимают в расстановке книг первые две позиции, то есть схема расстановки имеет вид: 1 2 3 4 5 6 7 8.
На первых двух позициях папки можно расположить 2! способами. На остальных шести позициях папки можно расположить 6! способами. Таким образом, такая схема расстановка папок может быть осуществлена $2!•6!$ способами.
Теперь сдвинем две наши определённые папки на одну правее и получим вторую схему расстановки папок: 1 2 3 4 5 6 7 8. Очевидно, что и такая схема расстановка папок может быть осуществлена $2!•6!$ способами.
Всего возможно семь вариантов схем расстановки папок: 12345678; 12345678; 12345678; 12345678; 12345678; 12345678; 12345678.
Таким образом, число благоприятных исходов расстановки папок $N1=7•2!•6!$
Искомая вероятность $P\left(A\right)=\frac{N_{1} }{N_{2} } =\frac{7\cdot 2!\cdot 6!}{8!} =\frac{7\cdot 2}{7\cdot 8} =\frac{1}{4} $.
Какова вероятность того, что два определенных стажера будут посланы на стажировку в Липецк, если предоставлено 6 мест в г. Липецк, 10 -- в г. Армавир и 4 -- в г. Тулу?
Пусть событие $A$ -- двум определенным стажерам достались места для прохождения практики в Липецке. Так как мест в Липецк предоставлено шесть, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию $A$, вычисляется как число сочетаний из шести элементов по два: $C_{6}^{2} =\frac{6!}{2!\cdot \left(6-2\right)!} =\frac{6!}{2!\cdot 4!} =\frac{5\cdot 6}{2} =15$.
Два любых места практики можно выбрать из общего их числа, равного $6+10+4=20$, количеством способов, вычисляемым как число сочетаний из двадцати элементов по два: $C_{20}^{2} =\frac{20!}{2!\cdot \left(20-2\right)!} =\frac{20!}{2!\cdot 18!} =\frac{19\cdot 20}{2} =190$.
Таким образом, искомая вероятность $P\left(A\right)=\frac{C_{6}^{2} }{C_{20}^{2} } =\frac{15}{190} =\frac{3}{38} $.
В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них -- 1-го сорта, 120 -- 2-го, а остальные -- 3-го сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?
Для решения задачи используем правило суммы, которое формулируется следующим образом: если элемент $A1$ может быть выбран $n_1$ способами, элемент $A2$ -- другими $n_2$ способами, то выбор одного из элементов или $A1$, или $A2$ может быть осуществлен $n_1$+$n_2$способами.
В соответствии с условием задачи деталь первого сорта может быть извлечена $n1$=$150$ способами, а деталь второго сорта может быть извлечена $n_2$=$120$ способами. Таким образом, существует $n_1$+$n_2$=$150$+$120$=$270$ способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта.
В цехе работает 27 станков одинаковой производи- тельности. Из них: 8 -- марки A; 7 -- марки B; 12 -- марки C. Вероятность того, что качество детали окажется хорошим, равна соответственно 0.81, 0.94, 0.87. Какой процент хороших деталей выпускает цех?
Цех выпускает в единицу времени $N$=$8$+$7$+$12$=$27$ деталей. При этом станки марки A выпускают 8•0,81 деталей хорошего качества, станки марки B выпускают 7•0,94 деталей хорошего качества, станки марки C выпускают 12•0,87 деталей хорошего качества. Всего в единицу времени выпускается $M$=$8•0,81$+$7•0,94$+$12•0,87$ деталей хорошего качества.
Получаем:
$M$=$23,56$; процент хороших деталей $k=\frac{23,56}{27} \cdot 100\% =87,25\% $.
