График функции и его построение
Графиком функции $f(x)$ будет называться множество точек координатной плоскости, которые имеют вид $(x,\ f\left(x\right))$.
Схема для построения графиков функций:
- Найти $D(f)$ и $E(f)$.
- Исследовать на свойство четности и нечетности, а также на свойство периодичности.
- Найти пересечение с координатными осями и промежутки, на которых $f\left(x\right) >0$ и $f\left(x\right)
- Найти промежутки где функция возрастает и убывает, найти экстремумы.
- Найти интервалы выпуклости $и$ вогнутости функции.
- Вычислить пределы на границах $D(f)$.
- Найти дополнительные точках при необходимости.
- Изобразить график.
Четность и нечетность функции
Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться
\[f\left(x\right)=f(-x)\]График этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).
Рисунок 1.
Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться
\[f\left(-x\right)=-f(x)\]График этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).
Рисунок 2.
Для исследования функции в её аналитической записи заменяют переменную $x$ на переменную $-x$, производят, при необходимости элементарные преобразования, и проверяют условия определений 2 и 3.
Возрастание и убывание функции
Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть возрастающей, если подставив любые две точки получим, что$''$ будет верно $f(x')
Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть убывающей, если подставив любые две точки получим, что будет верно $f\left(x'\right) >f(x'')$.
Чаще всего функции исследуют на возрастание и убывание с помощью средств математического анализа, а именно производной.
Приведем схему для такого исследования.
- Найти $D(f)$;
- Найти $f'(x)$;
- точки, когда $f'\left(x\right)=0$;
- точки, когда $f'(x)$ не будет существовать;
- Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные выше точки;
- знак $f'(x)$ на всех получившихся промежутках;
- Сделать вывод: там, где $f'\left(x\right)0$ функция будет возрастать.
Выпуклость и вогнутость функции
Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$ будет называться выпуклой, если подставив любые две точки получим, что неравенство
\[f\left(\frac{x'+x''}{2}\right)\le \frac{f(x')+f(x'')}{2}\]верно.
Функция $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$ будет называться вогнутой, если подставив любые две точки получим, что неравенство
\[f\left(\frac{x'+x''}{2}\right)\ge \frac{f(x')+f(x'')}{2}\]верно.
Схема исследования:
Найти
- $D(f)$;
- $f''(x)$;
- точки, когда $f''\left(x\right)=0$;
- точки, когда $f''(x)$ не будет существовать;
- знак $f''(x)$ на каждом из найденных промежутков;
- если $f''\left(x\right)0$ то вогнутой.
Пример исследования и построения функции
Исследовать данную функцию и построить график:
\[f\left(x\right)=sinx-cosx\]-
$D\left(f\right)=R$
\[\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,+\infty ).\] - \[f\left(-x\right)=-cosx-sinx\]
Следовательно, данная функция -- общего вида.
- \[sinx-cosx=0\] \[x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\]
Пересечение с осью $Ox$: $\left(\frac{\pi }{4}+\pi n,0\right)$
Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,-1\right)$
На интервале $x\in \left(\frac{\pi }{4}+2\pi n,\frac{5\pi }{4}+2\pi n\right)$ функция будет принимать положительные значения, на интервале $x\in \left(-\frac{3\pi }{4}+2\pi n,\frac{\pi }{4}+2\pi n\right)$ функция будет принимать отрицательные значения.
- \[y'=sinx+cosx\] \[sinx+cosx=0\] \[x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\]
Функция возрастает на $\left(-\frac{\pi }{4}+2\pi n,\frac{3\pi }{4}+2\pi n\right)$ и убывает на$\left(\frac{3\pi }{4}+2\pi n,\frac{7\pi }{4}+2\pi n\right)$.
- \[y^{''}=cosx-sinx\] \[-sinx+cosx=0\] \[x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\]
На интервале $\left(\frac{\pi }{4}+2\pi n,\frac{5\pi }{4}+2\pi n\right)$ функция вогнута, на интервале $\left(-\frac{3\pi }{4}+2\pi n,\frac{\pi }{4}+2\pi n\right)$ функция выпукла.
Рисунок 3.
