Прежде чем познакомится с понятием натурального логарифма, рассмотрим понятие постоянного числа $е$.
Число $e$
Число $e$ – это математическое постоянное, которое является трансцендентным числом и равно $e \approx 2,718281828459045\ldots$.
Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.
Число $e$ является пределом выражения $(1+\frac{1}{k})^k$ при $k$, которое стремится к бесконечности:
$e = \lim_{k \to \infty} \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k$
Последней формулой описывается второй замечательный предел.
Число е также носит название числа Эйлера, а иногда и числа Непера.
Чтобы запомнить первые знаки числа $е$ зачастую пользуются следующим выражением: «$2$, $7$, дважды Лев Толстой». Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в $1828$ г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа $е$ после целой части $2$ и десятичной $7$.
Рассмотрение понятия числа $е$ при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма $\log_{e}a$, который принято называть натуральным и записывать в виде $\ln a$.
Натуральный логарифм
Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число $е$.
Логарифм с основанием $е$ называют натуральным.
Т.е. натуральный логарифм можно обозначить как $\log_{e}a$, но в математике принято использовать обозначение $\ln a$.
Свойства натурального логарифма
-
Т.к. логарифм по любому основанию от единицы равен $0$, то и натуральный логарифм единицы равен $0$:
$\ln 1=0$.
-
Натуральный логарифм от числа $е$ равен единице:
$\ln e=1$.
-
Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
-
Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:
$\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$.
-
Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Упростить выражение $\frac{2 \ln 4e-\ln 16}{\ln 5e-\frac{1}{2} \ln 25}$.
Решение.
Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:
$\frac{2 \ln 4e-\ln16}{\ln 5e-\frac{1}{2} \ln 25}=\frac{2(\ln 4+\ln e )-\ln 4^2}{\ln 5+\ln e-\frac{1}{2} \ln 5^2}=$
откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\ln e=1$:
$=\frac{2 \ln 4+2-2 \ln 4}{\ln 5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \ln 5}=\frac{2}{\ln 5+1-\ln 5}=2$.
Ответ: $\frac{2 \ln 4e-\ln 16}{\ln 5e-\frac{1}{2} \ln 25}=2$.
Найти значение выражения $\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}$.
Решение.
Применим формулу суммы логарифмов:
$\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=\ln 2e^2 \cdot \frac{1}{2e}=\ln e=1$.
Ответ: $\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=1$.
Вычислить значение логарифмического выражения $2 \lg 0,1+3 \ln e^5$.
Решение.
Применим свойство логарифма степени:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^{-1}+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+15=13$.
Ответ: $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{1}{8}-3 \ln 4$.
Решение.
Применим свойство логарифма степени:
$\ln \frac{1}{8}-3 \ln 4=\ln 2^{-3}-3 \ln 2^2=-3 \ln2-3 \cdot 2 \ln 2=-9 \ln 2$.
Ответ: $\ln \frac{1}{8}-3 \ln 4=-9 \ln 2$.
Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{e^4}{25}$.
Решение.
Применим свойство логарифма частного:
$\ln \frac{e^4}{25}=\ln e^4-\ln 25=$
во втором логарифме подлогарифмическое выражение запишем как число в степени:
$=\ln e^4-\ln 5^2=$
применим свойство логарифма степени к первому и второму логарифму:
$=4 \ln e-2 \ln 5=$
применив свойство $\ln e=1$, получим:
$=4-2 \ln 5$.
Ответ: $\ln \frac{e^4}{25}=4-2 \ln 5$.
Вычислить значение логарифмического выражения $3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln 27$.
Решение.
Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:
$3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln 27=3 \ln (\frac{3}{e})^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \frac{3}{e}-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac{3}{e}-6 \ln 3=$
применим к первому логарифму свойство логарифма частного:
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
откроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Ответ: $3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln 27=-6$.
