Общая теория решения задач при помощи уравнений
Перед тем, как перейти к конкретным видам задач приведем сначала общую теорию для разрешения различных задач с помощью уравнений. Прежде всего к уравнениям сводят задачи в таких дисциплинах как экономика, геометрия, физика и многих других. Общий порядок для решения задач при помощи уравнений заключается в следующем:
- Все искомые нами величины из условия задачи, а также какие либо вспомогательные обозначаются удобными для нас переменными. Чаще всего этими переменными выступают последние буквы латинского алфавита.
- Используя данные в задачи числовые значения, а также словесные соотношения составляется одно или несколько уравнений (в зависимости от условия задачи).
- Разрешают полученное уравнение или их систему и выкидывают «не логичные» решения. К примеру, если надо найти площадь, то отрицательное число, очевидно, будет посторонним корнем.
- Получаем окончательный ответ.
Далее будем рассматривать конкретные задачи, уравнения для которых получаются квадратными.
Пример задачи в алгебре
Здесь мы приведем пример задачи, сводящейся к квадратному уравнению без опоры на какую-либо конкретную область.
Найдите два таких иррациональных числа при сложении квадратов которых будет получаться пятерка, а при их обычном сложении друг с другом тройка.
Решение.
Обозначим эти числа буквами $x$ и $y$. По условию задачи довольно легко составить два уравнения $x^2+y^2=5$ и $x+y=3$. Видим, что одно из них является квадратным. Для нахождения решения нужно решить систему:
$\cases{x^2+y^2=5,\\x+y=3.}$
Вначале выражаем из второго $x$
$x=3-y$
Подставляя в первое и производим элементарные преобразования
$(3-y)^2 +y^2=5$
$9-6y+y^2+y^2=5$
$2y^2-6y+4=0$
$y^2-3y-2=0$
Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:
$D=9+8=17>0$
Первый корень
$y=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$
Второй корень
$y=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
Найдем вторую переменную.
Для первого корня:
$x=3-\frac{3+\sqrt{17}}{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
Для второго корня:
$x=3-\frac{3-\sqrt{17}}{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$
Так как последовательность чисел нам не важна получаем одну пару чисел.
Ответ: $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$ и $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.
Пример задачи в физике
Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в физике.
Вертолет, летящий равномерно в безветренную погоду имеет скорость $250$ км/ч. Ему необходимо со своей базы долететь до места пожара, которое находится в $70$ км от нее и вернуться обратно. В это время ветер дул в сторону базы, замедляя движение вертолета к лесу. Из-за чего обратно до базы он добирался на 1 час раньше. Найдите скорость ветра.
Решение.
Обозначим скорость ветра через $v$. Тогда мы получим, что в сторону леса вертолет будет лететь с реальной скоростью, равной $250-v$, а обратно его реальная скорость будет составлять $250+v$. Посчитаем время на путь туда и на путь обратно.
Туда:
$t_1=\frac{70}{250-v}$
Обратно:
$t_2=\frac{70}{250+v}$
Так как обратно до базы вертолет добирался на $1$ час раньше, будем иметь
$\frac{70}{250-v}-\frac{70}{250+v}=1$
Приведем левую часть к общему знаменателю, применим правило пропорции и произведем элементарные преобразования:
$\frac{17500+70v-17500+70v}{(250-v)(250+v)}=1$
$140v=62500-v^2$
$v^2+140v-62500=0$
Получили квадратное уравнение, для решения данной задачи. Решим его.
Будем решать его с помощью дискриминанта:
$D=19600+250000=269600≈519^2$
Уравнение имеет два корня:
$v=\frac{-140-519}{2}=-329.5$ и $v=\frac{-140+519}{2}=189.5$
Так как мы искали скорость (которая не может быть отрицательна), очевидно, что первый корень лишний.
Ответ: $189.5$
Пример задачи в геометрии
Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в геометрии.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, который удовлетворяет следующим условиям: его гипотенуза равняется $25$, а катеты по длине относятся как $4$ к $3$.
Решение.
Для того, чтобы найти искомую площадь нам нужно найти катеты. Отметим одну часть катета через $x$. Тогда выражая через эту переменную катеты получим что их длины равняются $4x$ и $3x$. Таким образом, из теоремы Пифагора мы можем составить следующее квадратное уравнение:
$(4x)^2+(3x)^2=625$
$25x^2=625$
$x=5$
(корень $x=-5$ можно не рассматривать, так как катет не может быть отрицателен)
Получили, что катеты равны $20$ и $15$ соответственно, то ест площадь
$S=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 15=150$
Ответ: $150$
