Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Зачастую нам приходится сталкиваться с довольно сложными и громоздкими уравнениями. Порой для их разрешения нам помогает сведение его к какому-либо квадратному уравнению (возможно не одному). Рассмотрим в данной статье примеры такого решения различных уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратному с помощью замены

Этот случай чаще всего используется в том случае, когда уравнение чем-то уже напоминает квадратное. Чаще всего оно имеет такой вид:

$α(Q(x))^2+βQ(x)+γ=0$

Здесь в свою очередь $Q(x)$ является не переменной в чистом виде, а каким либо выражением содержащем переменную. Такие уравнения сводятся к квадратным заменой $Q(x)=k$.

Рассмотрим пример решения такой конструкции:

Пример 1

Решить

$2(x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x)^2+x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x-7=0$

Решение.

Введем следующую замену:

$x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x=k$

Так мы приведем наше уравнение к квадратному

$2k^2+\sqrt{7} k-7=0$

Найдем для начала для нашего уравнения значение дискриминанта.

$D=(\sqrt{7})^2-4\cdot 2\cdot (-7)=7+56=63$

Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.

Первый корень:

$k=\frac{\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=0,5\sqrt{7}$

Второй корень:

$k=\frac{-\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{-4\sqrt{7}}{4}=-\sqrt{7}$

Вернемся к замене по первому корню:

$x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x-0,5\sqrt{7}=0$

Найдем значение дискриминанта

$D=2\sqrt{7}+2\sqrt{7}=4\sqrt{7} >0$

Тогда

$x_1=\frac{-\sqrt{2}\sqrt[4]{7}+2\sqrt[4]{7}}{2}=\frac{\sqrt[4]{7}(2-√2)}{2}$

$x_2=\frac{-\sqrt{2}\sqrt[4]{7}-2\sqrt[4]{7}}{2}=-\frac{\sqrt[4]{7}(2-√2)}{2}$

Вернемся к замене по второму корню:

$x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x+\sqrt{7}=0$

Найдем значение дискриминанта

$D=2\sqrt{7}-4\sqrt{7}=-2\sqrt{7}

Тогда это уравнение корней иметь не будет.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{7}(2-√2)}{2}, -\frac{\sqrt[4]{7}(2-√2)}{2}$

Также можно свести к квадратному когда переменная или выражение с переменной находится под чертой дроби в части уравнения, то есть имеет вид

$αQ(x)+\frac{β}{Q(x)}+γ=0$

Такие уравнения сводятся к квадратным заменой $Q(x)=t$ и умножением затем на него обоих частей уравнения. Приведем пример:

Пример 2

Решить

$y+4-\frac{2}{y+3}=0$

Решение.

Так как здесь у нас есть выражение в знаменателе сначала нам надо ввести область определения для этого уравнения. В нашем случае

ООУ: $(-∞,-3)∪(3,∞)$.

Для упрощения введем следующую замену.

$t=y+3$

Получим

$t+1-\frac{2}{t}=0$

Избавимся умножением на $t$ от знаменателя, тем самым сведя уравнение к квадратному.

$t^2+t-2=0$

Решая данное уравнение с помощью теоремы, обратной теореме Виета будем получать корни $1$ и $-2$. Вернемся к замене по обоим корням:

Вернемся к замене по первому корню, получим:

$y=-2$

Вернемся к замене по второму корню, получим:

$y=-5$

Ответ: $-2$ и $-5$.

Биквадратные уравнения

Классикой уравнений, которые решаются сведением их к квадратным являются биквадратные уравнения. Введем вначале определение таких уравнений.

Определение 1

Определение 1: Биквадратным будем называть уравнение, которое имеет вид $αx^4+βx^2+γ=0$, где $α≠0$, $γ$ и $β$ являются действительными числами.

Для того чтобы решить такое уравнение его нужно привести к квадратному с помощью замены $v=x^2$. Рассмотрим его решение на примере

Пример 3

Решить

$x^4+4x^2-21=0$

Решение.

Сделаем следующую замену:

Пусть $x^2=v$ (где $v>0$), получаем:

$v^2+4v-21=0$

Будем решать его с помощью дискриминанта:

$D=16+84=100=10^2$

Уравнение имеет два корня:

$v=\frac{-4-10}{2}=-7$ и $v=\frac{-4+10}{2}=3$

Вернемся к замене:

$\cases{x^2=-7,\\x^2=3}$

Первое решений иметь не будет, а из второго $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис