Зачастую нам приходится сталкиваться с довольно сложными и громоздкими уравнениями. Порой для их разрешения нам помогает сведение его к какому-либо квадратному уравнению (возможно не одному). Рассмотрим в данной статье примеры такого решения различных уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратному с помощью замены
Этот случай чаще всего используется в том случае, когда уравнение чем-то уже напоминает квадратное. Чаще всего оно имеет такой вид:
$α(Q(x))^2+βQ(x)+γ=0$
Здесь в свою очередь $Q(x)$ является не переменной в чистом виде, а каким либо выражением содержащем переменную. Такие уравнения сводятся к квадратным заменой $Q(x)=k$.
Рассмотрим пример решения такой конструкции:
Решить
$2(x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x)^2+x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x-7=0$
Решение.
Введем следующую замену:
$x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x=k$
Так мы приведем наше уравнение к квадратному
$2k^2+\sqrt{7} k-7=0$
Найдем для начала для нашего уравнения значение дискриминанта.
$D=(\sqrt{7})^2-4\cdot 2\cdot (-7)=7+56=63$
Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.
Первый корень:
$k=\frac{\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=0,5\sqrt{7}$
Второй корень:
$k=\frac{-\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{-4\sqrt{7}}{4}=-\sqrt{7}$
Вернемся к замене по первому корню:
$x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x-0,5\sqrt{7}=0$
Найдем значение дискриминанта
$D=2\sqrt{7}+2\sqrt{7}=4\sqrt{7} >0$
Тогда
$x_1=\frac{-\sqrt{2}\sqrt[4]{7}+2\sqrt[4]{7}}{2}=\frac{\sqrt[4]{7}(2-√2)}{2}$
$x_2=\frac{-\sqrt{2}\sqrt[4]{7}-2\sqrt[4]{7}}{2}=-\frac{\sqrt[4]{7}(2-√2)}{2}$
Вернемся к замене по второму корню:
$x^2+\sqrt{2}\sqrt[4]{7} x+\sqrt{7}=0$
Найдем значение дискриминанта
$D=2\sqrt{7}-4\sqrt{7}=-2\sqrt{7}
Тогда это уравнение корней иметь не будет.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{7}(2-√2)}{2}, -\frac{\sqrt[4]{7}(2-√2)}{2}$
Статья: Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям
Также можно свести к квадратному когда переменная или выражение с переменной находится под чертой дроби в части уравнения, то есть имеет вид
$αQ(x)+\frac{β}{Q(x)}+γ=0$
Такие уравнения сводятся к квадратным заменой $Q(x)=t$ и умножением затем на него обоих частей уравнения. Приведем пример:
Решить
$y+4-\frac{2}{y+3}=0$
Решение.
Так как здесь у нас есть выражение в знаменателе сначала нам надо ввести область определения для этого уравнения. В нашем случае
ООУ: $(-∞,-3)∪(3,∞)$.
Для упрощения введем следующую замену.
$t=y+3$
Получим
$t+1-\frac{2}{t}=0$
Избавимся умножением на $t$ от знаменателя, тем самым сведя уравнение к квадратному.
$t^2+t-2=0$
Решая данное уравнение с помощью теоремы, обратной теореме Виета будем получать корни $1$ и $-2$. Вернемся к замене по обоим корням:
Вернемся к замене по первому корню, получим:
$y=-2$
Вернемся к замене по второму корню, получим:
$y=-5$
Ответ: $-2$ и $-5$.
Биквадратные уравнения
Классикой уравнений, которые решаются сведением их к квадратным являются биквадратные уравнения. Введем вначале определение таких уравнений.
Определение 1: Биквадратным будем называть уравнение, которое имеет вид $αx^4+βx^2+γ=0$, где $α≠0$, $γ$ и $β$ являются действительными числами.
Для того чтобы решить такое уравнение его нужно привести к квадратному с помощью замены $v=x^2$. Рассмотрим его решение на примере
Решить
$x^4+4x^2-21=0$
Решение.
Сделаем следующую замену:
Пусть $x^2=v$ (где $v>0$), получаем:
$v^2+4v-21=0$
Будем решать его с помощью дискриминанта:
$D=16+84=100=10^2$
Уравнение имеет два корня:
$v=\frac{-4-10}{2}=-7$ и $v=\frac{-4+10}{2}=3$
Вернемся к замене:
$\cases{x^2=-7,\\x^2=3}$
Первое решений иметь не будет, а из второго $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$
Ответ: $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$
