В этой статье мы рассмотрим примеры решения таких систем уравнений с одной и двумя переменными, которые сводятся к решению квадратных уравнений. Существует множество видов таких систем. Охватить все виды таких систем уравнений в рамках одной статьи нельзя. Мы не будем вдаваться здесь в терминологию самих уравнений, а просто на примерах рассмотрим решения некоторых из них.
Системы с одной переменной
Классическим случаем систем, которые сводятся к квадратным можно непосредственно считать системы, которые и состоят из квадратных уравнений. Приведем такой пример.
Решить
$\cases{2x^2+\sqrt{7}x-7=0,\\x^2+\sqrt{7}x=0.}$
Решение.
Решим первое уравнение с помощью формул.
Найдем для начала для нашего уравнения значение дискриминанта.
$D=(\sqrt{7})^2-4\cdot 2\cdot (-7)=7+56=63$
Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.
Первый корень:
$x=\frac{\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=0,5\sqrt{7}$
Второй корень:
$x=\frac{-\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{-4\sqrt{7}}{4}=-\sqrt{7}$
Решим второе уравнение вынесением общего множителя (как частный случай квадратного уравнения).
$x(x+\sqrt{7})=0$
Корни: $0$ и $-\sqrt{7}$.
Выбирая общий корень, получим
Ответ: $-\sqrt{7}.$
Системы с двумя неизвестными
Рассмотрим систему с двумя уравнениями, которая имеет в своем составе одно уравнение первой степени, а второе уравнение второй степени. Для ее решения нам нужно будет из линейного уравнения выразить одну из переменных и подставить в другое, тем самым и получив квадратное уравнение. Далее решение уже очевидно. Рассмотрим пример:
Решить
$\cases{x^2+y^2=5,\\\sqrt{3} x+y=3.}$
Решение.
Вначале выражаем из второго $x$
$x=\frac{3-y}{\sqrt{3}}$
Подставляя в первое и производим элементарные преобразования
$(\frac{3-y}{\sqrt{3}})^2 +y^2=5$
$\frac{9-6y+y^2}{3}+y^2=5\cdot 3$
$9-6y+y^2+3y^2=15$
$4y^2-6y-6=0$
$2y^2-3y-3=0$
Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:
$D=9+24=33 >0$
Первый корень
$y=\frac{3+\sqrt{33}}{4}$
Второй корень
$y=\frac{3-\sqrt{33}}{4}$
Найдем вторую переменную.
Для первого корня:
$x=\frac{3-\frac{3+\sqrt{33}}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{9-\sqrt{33}}{4\sqrt{3}}$
Для второго корня:
$x=\frac{3-\frac{3-\sqrt{33}}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{9+\sqrt{33}}{4\sqrt{3}}$
Ответ: $(\frac{9-\sqrt{33}}{4\sqrt{3}},\frac{3+\sqrt{33}}{4})$ и $(\frac{9+\sqrt{33}}{4\sqrt{3}},\frac{3-\sqrt{33}}{4})$
Рассмотрим теперь систему в которой оба уравнения имеют вторую степень и покажем немного другой ход его приведения к решению квадратного уравнения.
Решить
$\cases{x^2+y^2=5,\\3x^2+5xy+2y^2=0.}$
Решение.
Разделив на $y^2$ второе уравнение, получим
$3(\frac{x}{y})^2+5\cdot \frac{x}{y}+2=0$
Сделаем в нем следующую замену $\frac{x}{y}=q$, получим квадратное уравнение
$3q^2+5q+2=0$
Решая его с помощью формул, будем получать
$D=25-24=1$
Первый корень:
$q=\frac{-5-1}{6}=-1$
Второй корень:
$q=\frac{-5+1}{6}=\frac{-2}{3}$
Используя первый корень, получим $x=-y$, подставим в первое
$y^2+y^2=5$
$y=±\sqrt{2.5}$
$x=∓\sqrt{2.5}$
Используя второй корень, получим $x=\frac{-2}{3} y$, подставим в первое
$\frac{4}{9} y^2+y^2=5$
$y=±3\sqrt{\frac{5}{13}}$
$x=∓2\sqrt{\frac{5}{13}}$
Так же нужно не забыть, что мы делили на $y^2$ и, поэтому, проверить, нет ли решения при $y=0$:
$\cases{x^2=5,\\3x^2=0.} - решения нет.$
Ответ: $(\sqrt{2.5},-\sqrt{2.5})$, $(-\sqrt{2.5},\sqrt{2.5})$, $(-2\sqrt{\frac{5}{13}},3\sqrt{\frac{5}{13}})$, $(2\sqrt{\frac{5}{13}},-3\sqrt{\frac{5}{13}})$
