Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Решение квадратных уравнений. Теорема Виета

Содержание статьи

Для начала введем непосредственно определение квадратного уравнения.

Определение 1

Квадратным будем называть уравнение, которое имеет вид $αx^2+βx+γ=0$ (1), где $α≠0,γ \ и \ β$ являются действительными числами.

Рассмотрим далее два различных способа решения такого уравнения. В этой статье мы приведем метод его решения через формулы, а также с применением теоремы, приведенной Франсуа Виетом.

Решение с помощью формул

Рассмотрим

$αx^2+βx+γ=0$

Для начала умножим его обе части на $4α$, будем иметь

$4α^2 x^2+4αβx+4αγ=0$

Преобразуем его левую часть так, чтобы можно было использовать формулу суммы квадрата

$4α^2 x^2+4αβx+β^2-β^2+4αγ=0$

После этого будем получать

$(2αx+β)^2-β^2+4αγ=0$

$(2αx+β)^2=β^2-4αγ$

Теперь в этом полученном равносильном уравнении количество и вид корней зависит от значения его правой части. Введем следующее определение

Определение 2

Значение $β^2-4αγ$, составленное из коэффициентов уравнения (1) будем называть дискриминантом этого уравнения.

Обозначение: $D$

Теперь далее возможны три случая. Рассмотрим их по отдельности.

  1. $D >0$

    При таком случае наше уравнение будет иметь два корня. Чтобы разрешить этот случай сделаем такую замену:

    $2αx+β=y$

    Тогда

    $y^2=D$

    $y=±\sqrt{D}$

    Возвращаясь

    $2αx+β=±\sqrt{D}$

    $x=\frac{±\sqrt{D}-β}{2α}$

  2. $D=0$

    Тогда, при той же замене

    $y^2=0$

    $y=0$

    Возвращаясь

    $2αx+β=0$

    $x=\frac{-β}{2α}$

  3. $D

    В этом случае $y^2

Замечание 1

Данный способ также верен и для случаев, когда коэффициент при x или свободный коэффициент равняются нулю, то есть уравнение является неполным.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 1

Решить

$2x^2+\sqrt{7} x-7=0$

Решение.

Найдем для начала для нашего уравнения значение дискриминанта.

$D=(\sqrt{7})^2-4\cdot 2\cdot (-7)=7+56=63$

Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.

Первый корень:

$x=\frac{\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=0,5\sqrt{7}$

Второй корень:

$x=\frac{-\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{-4\sqrt{7}}{4}=-\sqrt{7}$

Ответ: $0,5\sqrt{7} \ и \ -\sqrt{7}$.

Теорема Виета

Приведем и докажем здесь теорему Франсуа Виета.

Теорема 1

Для приведенного квадратного уравнения сумма его корней равняется числу, противоположному второму коэффициенту этого уравнения, а их произведение равняется свободному коэффициенту этого же уравнения.

Для уравнения (1) математически это можно записать так:

$α=1, x_1+x_2=-β, x_1 x_2=γ$

Доказательство.

Так как корней два, то они будут иметь следующий вид (выведенный нами ранее):

$x_1=\frac{\sqrt{D}-β}{2}$

$x_1=\frac{-\sqrt{D}-β}{2}$

с учетом того, что α равняется единице.

Найдем их сумму:

$x_1+x_2=\frac{\sqrt{D}-β}{2}+\frac{-\sqrt{D}-β}{2}=\frac{-2β}{2}=-β$

Теперь найдем их произведение:

$x_1 x_2=\frac{\sqrt{D}-β}{2} \frac{-\sqrt{D}-β}{2}=-\frac{(\sqrt{D}-β)(\sqrt{D}+β)}{4}=-\frac{D-β^2}{4}$

Введем значение дискриминанта

$x_1 x_2=-\frac{β^2-4γ-β^2}{4}=\frac{4γ}{4}=γ$ Теорема доказана.

Решение с помощью теоремы Виета

Для теоремы 1 также справедлива и обратная теорема. Введем ее (без доказательства).

Теорема 2

Если сумма двух чисел равняется $–β$, а их же произведение равняется γ, то они будут являться корнями уравнения, имеющего вид $x^2+βx+γ=0$

С помощью этой теоремы мы может решать квадратные уравнения, при условии, что первый коэффициент равняется 1.

Пример 2

Решить

$x^2+3x-4=0$

Решение.

Обозначим корни нашего уравнения через $x_1$ и $x_2$. Тогда для его решения нам нужно разрешить следующую систему:

$\cases{x_1+x_2=-3,\\x_1 x_2=-4.}$

Чаще всего решения таких систем находим в уме. В этом и смысл применения обратной теоремы Виета для разрешения таких уравнений – как более рационального способа, чем использование формул.

В нашем случае получаем

Ответ: $1$ и $-4$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис