Существует несколько различных типов уравнений, описывающих кривую первого порядка, называемую прямой. Каждый из них оптимален для какой-то своей цели. Давайте познакомимся с ними поближе.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Канонический вид уравнения прямой в пространстве выглядит как следующее равенство:
$\frac{x – x_0}{α} = \frac{y – y_0}{β} = \frac{z – z_0}{γ}$,
где буквы $(x_0, y_0, z_0)$ используются для обозначения координат любой точки, возлежащей на данной прямой, а $(α, β, γ)$ — координаты направляющего эту прямую вектора, как несложно догадаться, они не могут быть нулевыми.
Не во всех случаях удобно и практично пользоваться каноническим уравнением, поэтому частенько возникает надобность использовать какое-то другое, например, можно прибегнуть к параметрическому.
Для каких прямых не представляется возможным или нельзя написать каноническое уравнение?
Глядя на это уравнение, видно, что его возможно использовать только в том случае, если координаты направляющих векторов исследуемых прямых не равны нулю, для таких прямых стоит воспользоваться параметрическими уравнениями.
Параметрический вид уравнений прямой в пространстве такой:
$\begin{cases} x = x_1 + α \cdot λ \\ y = y_1 + β \cdot λ \\ z = z_1 + γ \cdot λ \\ \end{cases}$,
где $x_1, y_1, z_1$ — координаты некоторой точки, находящейся на описываемой прямой, $α, β, γ$ — координаты параллельного или лежащего на данной прямой вектора, $λ$ — произвольное число-коэффициент, иногда для его обозначения используют слово “параметр”.
Параметрическое уравнение как раз удобно применять если одна из координат направляющего вектора равна нулю.
Чтобы произвести переход от параметрического вида уравнения к каноническому виду уравнения прямой в пространстве, осуществите вывод канонического уравнения прямой из параметрического.
Для этого следует в к каждом уравнении перенести $λ$ в левую часть, а затем приравнять уравнения. Никакой магии, а только самая что ни на есть пресловутая арифметика:
$\begin{cases} λ = \frac{x - x_1}{ α} \\ λ = \frac{y - y_1}{β} \\ λ = \frac{z - z_1}{γ} \\ \end{cases}$
$\frac{x – x_0}{α} = \frac{y – y_0}{β} = \frac{z – z_0}{γ}$
Уравнение прямой, образуемой пересечением двух плоскостей
Рисунок 1. Связь канонического и общего уравнения прямой
Для того чтобы составить каноническое уравнение прямой в пространстве, заданной пересечением плоскостей, необходимо познакомиться поближе с 2 исследуемыми плоскостями.
Любую плоскость, находящуюся в пространстве, можно описать с помощью равенства:
$Ax + By + Cz + D = 0$,
где $A, B, C$ и $D$ - постоянные, причём $A, B, C$ не могут быть одновременно все нулевыми.
Соответственно, не нужно быть гением, чтобы понять, что если две плоскости пересечены между собой, то на их общей части будет возлежать некая прямая. Чтобы её найти, нужно получить общее решение следующей системы уравнений:
$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \\ \end{cases}$
С помощью же частного решения этой системы уравнений можно узнать, принадлежит ли какая-либо точка трёхмерной системы координат описанным уравнениями плоскостям и, конечно же, нашей прямой. Для этого нужно просто подставить её икс, игрек и зет в систему.
Приведённая система уравнений является своеобразной “формулой”, служащей для нахождения общего уравнения прямой в пространстве.
Иногда в каких-либо практических задачах требуется получить из уравнения прямой в пространстве в общем виде параметрические или канонические уравнения, тогда в первую очередь вам стоит узнать координаты её направляющего вектора и какую-либо точку, находящуюся на изучаемой прямой.
Ну что ж, давайте решать нашу задачу. На первом этапе вычислим $x, y, z$ для направляющего вектора.
Найдём нормальные вектора для плоскостей. Если кто забыл, нормальный вектор — это такой вектор, который является перпендикулярным (ортогональным) к данной плоскости или прямой.
Для этого из нашего очаровательного примера системы уравнений необходимо взять коэффициенты из уравнений. В итоге для 1-ой плоскости вектор-нормаль будет выглядеть как $(A_1; B_1; C_1)$, а для второй как $(A_2; B_2; C_2)$.
Теперь необходимо перемножить оба вектора и получить их произведение, здесь $(i, j, k)$ - координаты единичного вектора.
$\overline{a} = [\overline{n} \cdot \overline{n}] = \left| \begin{array}{ccc} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ \end{array} \right| = \overline{i} \cdot \left| \begin{array}{cc}\\B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2\\ \end{array} \right| - \overline{j} \cdot \left| \begin{array}{cc}\\ A_1 & C_1 \\ A_2 & C_2 \\ \end{array} \right| + \overline{k} \cdot \left| \begin{array}{cc} \\ A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \\ \end{array} \right| $
$|\overline{n} \cdot \overline{n}| = \overline{i} \cdot (B_1 \cdot C_2 – C_1 \cdot B_2) - \overline{j} \cdot (A_1 \cdot C_2 – A_2 \cdot C_1) + \overline{k} \cdot (A_1 \cdot B_2 – A_2 \cdot B_1)$
Следующим этапом выполняем поиск координат точки, возлежащей на искомой прямой.
Для выполнения этого наиболее "сложного" пункта необходимо выбрать одну наиболее нравящуюся вам координату $x, y$ или $z$ и вместо неё подставить в систему уравнений, описывающую плоскости, нулевое значение.
Составьте каноническое уравнение прямой, получаемой из системы уравнений, описывающей пару пересечённых плоскостей:
$\begin{cases} 2x – y + 3z + 4 = 0 \\ x + 5y – 3z – 7 = 0 \\ \end{cases}$
Найдём направляющий вектор, для этого сначала запишем вектора нормалей плоскостей:
$\overline{n_1}(2;-1;3), \overline{n_2}(1;-5;-3)$
Ну а сейчас пора вычислить сам направляющий вектор:
$\overline{a} = \left| \begin{array}{ccc} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ \end{array} \right| = \overline{i} \cdot \left| \begin{array}{cc}\\ -1 & 3 \\ 5 & -3\\ \end{array} \right| - \overline{j} \cdot \left| \begin{array}{cc}\\ 2 & 3 \\ 1 & -3 \\ \end{array} \right| + \overline{k} \cdot \left| \begin{array}{cc} \\ 2 & -1 \\ 1 & 5 \\ \end{array} \right| $
$\overline{a} = (3 – 15) \cdot \overline{i} - (-6-3) \cdot \overline{j} + (10 +1) \cdot \overline{k} = -12 \overline{i} + 9 \overline{j} + 11 \overline{k}$
Найдём точку, находящуюся на нашей прямой, тут всё просто, приравняем $y$ к нулю и внедрим в нашу систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + 3z + 4 = 0 \\ x – 3z – 7 = 0 \\ \end{cases}$
Решение вышеприведённой системы уравнений будет: $x = 1, z = -2$, то есть координаты точки, возлежащей на нашей прямой, будут $(1; 0; -2)$.
Подставим все полученные нами цифры и получим следующее уравнение:
$\frac{x-1}{-12} = \frac{y}{9} = \frac{z+2}{11}$
Составление канонического уравнения прямой по координатам двух точек
На практике это очень распространённая и любимая во многих вузах и других учебных заведениях задача — нужно найти уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 точки. Примем заранее, что эти две точки не обладают одинаковыми $x, y, z$.
Для того чтобы написать уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 точки, воспользуйтесь координатами ваших точек и внедрите их в следующее уравнение:
$\frac{x – x_1}{x2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{z – z_1}{z_2 – z_1}$
Это уравнение можно вывести из параметрического уравнения прямой.
Допустим, у нас есть две точки с координатами $(x_1; y_1; z_1)$, и для второй $(x_2; y_2; z_2)$.
Найти направляющий вектор для изучаемой прямой при наличии пары точек несложно, вектор с координатами $(x_2 – y_1; y_2 – y_2;z_2 – z_2)$ и будет желаемой частью результата.
Придумаем точку, находящуюся на нашей прямой, пусть она будет обладать координатами $(x_1;y_1;z_1)$.
Помещаем обнаруженные нами координаты вектора и точки в каноничное уравнение прямой в пространстве и получим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Если же необходимо выразить именно параметрические уравнения из координат двух точек, через которые проведена некая одна прямая, то тут тоже всё довольно просто и без неожиданностей:
$\begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1) \cdot λ \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)\cdot λ \\ z = z_1 + (z_2 - z_1) \cdot λ \\ \end{cases}$
