Функция $f(x)=|x|$
$|x|$ - модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.
Математически это можно записать следующим образом:
Исследуем и построим её график.
- $D\left(f\right)=R$.
- По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
- $f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
- При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ -- единственное пересечение с координатными осями.
- \[f'\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$
Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$
-
Значения на концах области определения.
\[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } y\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } y\ }=+\infty \]
Рисунок 1.
Статья: Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|
Функция $f(x)=[x]$
Функция $f\left(x\right)=[x]$ - функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».
Пример: $[2,6]=2.$
Исследуем и построим её график.
- $D\left(f\right)=R$.
- Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
- $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
- $(0,0)$ -- единственная точка пересечения с осями координат.
- $f'\left(x\right)=0$
- Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.
Рисунок 2.
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$
Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ -- функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.
$\{2,6\}=0,6$
Исследуем и построим график функции
-
$D\left(f\right)=R$.
-
Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$
-
$f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.
Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$
Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$
-
$f'\left(x\right)=0$
-
Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$
Рисунок 3.
Функция $f(x)=sign(x)$
Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ -- сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.
Математически это можно записать следующим образом:
Исследуем и построим график функции
- $D\left(f\right)=R$.
- Непосредственно из определения, получим
- \[\ E\left(f\right)=\left\{-1\right\}\cup \left\{0\right\}\cup \{1\}\]
-
$f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.
Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$
Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$
-
$f'\left(x\right)=0$
-
Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.
Рисунок 4.
