Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1} $ или $i^{2} =-1$.
Выделяют три формы представления (записи) комплексных чисел:
- алгебраическая;
- тригонометрическая;
- показательная.
Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:
- $a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
- $b$ - мнимая часть, обозначение $Imz=b$.
Комплексное число вида $\overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.
Статья: Формы записи комплексных чисел
Действительное число в алгебраической форме записывается как $z=a+0\cdot i$, чисто мнимое - $z=0+b\cdot i$.
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
Решение:
Алгебраическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=\sqrt{2} ,b=-\sqrt{3} $.
Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом
2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления:
Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
Решение:
Алгебраическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=\sqrt{2} ,b=0$.
Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом
2) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=0,b=3$.
Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом
Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.
Представить в тригонометрической форме заданные комплексные числа, для которых:
Решение:
Тригонометрическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.
Для $r=2,\varphi =\pi $ получаем комплексное число $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.
Для $r=0,\varphi =\frac{3\pi }{2} $ получаем комплексное число $z=0\cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right)$.
Представить заданное комплексное число в тригонометрической форме: $z=\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot i$.
Решение:
Тригонометрическая форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.
По условию $a=\frac{\sqrt{2} }{2} ,b=\frac{\sqrt{2} }{2} $.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
Подставим полученные значения и получим:
Следовательно, $z=1\cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} )$ - искомая запись исходного комплексного числа.
Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.
Представить в показательной форме заданные комплексные числа, для которых:
Решение:
Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r\cdot e^{i\varphi } $.
Для $r=3,\varphi =2\pi $ получаем комплексное число $z=3\cdot e^{i\cdot 2\pi } $.
Для $r=0,\varphi =\frac{\pi }{6} $ получаем комплексное число $z=0\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6} } $.
Представить заданные комплексные числа в показательной форме:
Решение:
Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r\cdot e^{i\varphi } $.
Запись исходного числа в показательной форме имеет вид: $z=\sqrt{3} \cdot e^{\frac{\pi }{6} \cdot i} $.
Запись исходного числа в показательной форме имеет вид: $z=1\cdot e^{\frac{2\pi }{3} \cdot i} $.
Представить заданные комплексные числа в показательной форме:
Решение:
Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет вид $z=r\cdot e^{i\varphi } $.
1) По условию $a=4,b=0$.Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
Подставим полученные значения и получим:
Следовательно, $z=4\cdot e^{i\cdot 0} $ - искомая запись исходного комплексного числа.
2) По условию $z=\sqrt{2} +\sqrt{2} \cdot i$.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
Подставим полученные значения и получим:
Следовательно, $z=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } $ - искомая запись исходного комплексного числа.
Чтобы комплексное число $z$, записанное в тригонометрической форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:
- подставить в запись числа соответствующие значения для $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ (использовать таблицы Брадиса);
- преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
Решение:
Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
1) По таблице косинусов и синусов $\cos 2\pi =1;\sin 2\pi =0$.
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
Следовательно, $z=3+0\cdot i$ - искомая запись комплексного числа.
2) По таблице косинусов и синусов $\cos \frac{\pi }{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} ;\sin \frac{\pi }{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} $.
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
Следовательно, $z=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.
