Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости.
Рассмотрим признаки делимости на ряд чисел.
Признак делимости на $2$
Если последняя цифра в записи числа четная или $0$, то число делится на $2$ без остатка.
Например,$4,130,1567890$ и т.д.
Признак делимости на $5$
Если последняя цифра в записи числа $5$ или $0$, то число делится на $5$ без остатка.
Например,$5,130,1567890$ и т.д.
Признак делимости на $10$
Если последняя цифра в записи $0,$ то число делится на $10$ без остатка.
Например,$500,1390,154320$ и т.д.
Признак делимости на $3$
Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3,$ то число делится на $3$ без остатка.
Например,$510,1380,154320$ и т.д.
Признак делимости на $9$
Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $9$, то число делится на $9$ без остатка.
Статья: Делимость целых неотрицательных чисел
Например,$5130,13860,1543230$ и т.д.
Признак делимости на $4$
Натуральное число делится на $4$, если оно заканчивается на два нуля, или на число, кратное $4$.
Например,$124,1000$ и т.д.
Признак делимости на $11$
На $11$ делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна $11$.
Например, $105787 \ (1 + 5 + 8 = 14 \ и \ 0 + 7 + 7 = 14); \ 9163627 \ (9 + 6 + 6 + 7 = 28 \ и \ 1 + 3 + 2 = 6; \ 28 - 6 = 22; \ 22 : 11 = 2)$
Признак делимости чисел на $25$
На $25$ делятся те натуральные числа, две последние цифры которых --- нули или составляют число, кратное $25$.
Например,$2 \ 300; 650, 1 \ 475$ и т.д.
Признак делимости на $7$
Чтобы узнать делится ли натуральное число $a$ на $7$,надо разбить его запись справа налево на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять с нечетными номерами со знаком минус а с чётными номерами со знаком плюс. Если значение получисшегося выражения делится на $7$, то и заданное число делится на $7$.
Например, число $459348965866$ (т.к. $459-348+965-866=210$) и т.д.
Определить делится ли число $12233344445550$ на $2,3,4,5,7,9,11$.
Решение. Для того чтобы это определить, мы воспользуемся приведенными признаками делимости.
Проверим, делится ли число на $2$ : рассмотрим последнюю цифру числа- это $0$. Согласно признаку делимости данное число будет делиться на $2$ без остатка.
Выясним делится ли число на $5$: рассмотрим последнюю цифру числа- это $0$. Согласно признаку делимости, данное число будет делиться на $5$ без остатка.
Чтобы проверить делится ли число на $3$ и $9$ найдем сумму цифр данного числа: $1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5=45$.
Число получилось двузначным, для упрощения найдем сумму его цифр, чтобы убедиться, что число делится на $3$ и $9$.
$4+5=9$, теперь нетрудно опираясь на признаки делимости убедиться, что число делится на $3$ и $9$ без остатка.
Выясним, делится ли число на $4$ : рассмотрим последнюю цифру числа- это $0$. Согласно признаку делимости на $4$ нам это не подходит, рассмотрим число, которым оканчивается искомое- это число $50$, оно так же не делится на $4$, значит не первое ни второе условие, при котором можно будет свидетельствовать, что число кратно $4$ не выполняется, значит наше число не делится на $4$ без остатка.
Чтобы проверить, делится ли число на $11$, найдем сумму цифр, стоящих на четных и нечетных местах в нашем числе. Сначала определим их.
$12233344445550$
На нечетных местах стоят цифры: $1,2,3,4,4,5,5$. Найдем их сумму $1+2+3+4+4+5+5=24$
На четных местах стоят цифры: $2,3,3,4,4,5,0$. Найдем их сумму
$2+3+3+4+4+5+0=21$
Мы видим, что суммы не равны, тогда проверим второе возможное условие: найдем разность сумм чисел, стоящих на четных и нечетных местах:
$24-21=3$, полученная разность $11$ не кратна, значит не одно из условий делимости на $11$ не выполняется, значит число на $11$ делится без остатка не будет.
Выясним, будет ли число делиться на $7$: для этого а надо разбить его запись справа налево на группы по три цифры в каждой ( самая левая группа может содержать две или одну цифру)
$12 \ 233 \ 344 \ 445 \ 550$
и взять с нечетными номерами со знаком минус, а с чётными номерами со знаком плюс.
$12-233+344-445+550=228$ значение получисшегося выражения не делится на $7$ значит и заданное число не делится на $7$.
Определить делится ли число $9234555$ на $2,3,4,5,7,9,11$
Решение. Для того чтобы это определить, мы воспользуемся приведенными признаками делимости.
Для того чтобы определить, делится ли число на $2$, рассмотрим последнюю цифру числа- это $5$. Данное число не четное, значит согласно признаку делимости данное число не будет делиться на $2$ без остатка.
Выясним, делится ли число на $5$: рассмотрим последнюю цифру числа- это цифра $5$. Согласно признаку делимости данное число будет делиться на $5$ без остатка.
Чтобы проверить, делится ли число на $3$ и $9$, найдем сумму цифр данного числа: $9+2+3+4+5+5+5=33$.
Число получилось двузначным, для упрощения найдем сумму его цифр, чтобы убедиться, что число делится на $3$ и $9$.
$3+3=6$, теперь нетрудно опираясь на признаки делимости убедиться, что число делится на $3$ без остатка, но не делится на $9$.
Выясним, делится ли число на $4$ : рассмотрим две последние цифры числа- это $55$, а не два $0$, значит по признаку делимости на $4$ нам это не подходит, рассмотрим число, которым оканчивается искомое- это число $55$, оно так же не делится на $4$, значит не первое ни второе условие, при котором можно будет свидетельствовать, что число кратно $4$ не выполняется, значит наше число не делится на $4$ без остатка.
Чтобы проверить делится ли число на $11$ найдем сумму цифр, стоящих на четных и нечетных местах в нашем числе. сначала определим их
$9234555$
На нечетных местах стоят цифры: $9,3, 5,5$. Найдем их сумму $9+3+5+5=22$.
На четных местах стоят цифры: $2,4,5.$ Найдем их сумму $5+4+2=11$.
Мы видим, что суммы не равны, тогда проверим второе возможное условие: найдем разность сумм чисел, стоящих на четных и нечетных местах:
$22-11=11$, полученная разность кратна $11$, значит одно из условий делимости на $11$ выполняется, значит число на $11$ делится без остатка.
Выясним будет ли число делиться на $7$: для этого а надо разбить его запись справа налево на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может содержать две или одну цифру)
$9 \ 234 \ 555$
и взять с нечетными номерами со знаком минус, а с чётными номерами со знаком плюс.
$9 -234+555=330$ значение получисшегося выражения не делится на $7$, значит, и заданное число не делится на $7$.
Определить, делится ли число $334552$ на $2,3,4,5 ,9,11$.
Решение. Для того чтобы это определить, мы воспользуемся приведенными признаками делимости.
Чтобы определить, делится ли число на $2$,обратим внимание, что число четное, значит, на $2$ оно будет делиться. Так как число оканчивается на цифру $2$, значит, ни на $5$, ни на $10$ оно делится не будет.
Найдем сумму цифр данного числа: $3+3+4+5+5+2=22$, теперь нетрудно, опираясь на признаки делимости, убедиться, что число не делится на $3$ без остатка и не делится на $9$.
Выясним, делится ли число на $4$ : рассмотрим две последние цифры числа- это $52$, оно делится на $4$, значит, что число кратно $4.$
Проверим, делится ли число на $11$.
Найдем сумму цифр, стоящих на четных и нечетных местах в числе $334552$.
На нечетных местах стоят цифры: $3,4,5.$ Найдем их сумму $3+4+5=12$
На четных местах стоят цифры: $3,5,2.$ Найдем их сумму $3+5+2=10$
Мы видим, что суммы не равны, тогда проверим второе возможное условие: найдем разность сумм чисел, стоящих на четных и нечетных местах:
$12-10=2$, полученная разность не кратна $11$, значит ни одно из условий делимости на $11$ выполняется, значит число на $11$ не делится без остатка.
