Конспект лекции по дисциплине «Прямая сумма представлений», pdf
Файл загружается
Благодарим за ожидание, осталось немного.
Конспект лекции по дисциплине «Прямая сумма представлений», текстовый формат
ПРЯМАЯ СУММА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 1. Прямая сумма представлений Определение 1.1. Прямой суммой векторных пространств U и V называется векторное пространство W вместе с линейными отображениями ϕ : U −→ W ψ : V −→ W такими, что для любых базисов u1 , . . . , um v1 , . . . , vn Гў U and V множество векторов ϕ(u1 ), . . . , ϕ(um ), ψ(w1 ), . . . , ψ(wn ) является базисом в пространстве W . Обозначается V = U ⊕ W . Аналогичное определение справедливо для любого числа подпространств. Определение 1.2. Прямой суммой векторных пространств V1 , . . . , Vn называется векторное пространство V . вместе с линейными отображениями ϕ1 : V1 −→ V, . . . , ϕn : Vn −→ V такими, что для любых базисов u11 , . . . , u1m1 , un1 , . . . , un,mn в V1 , . . . Vn множество векторов ϕ1 (u11 ), . . . , ϕ1 (u1m1 ), . . . , ϕn (un1 ), . . . , ϕn (unmn ) является базисом в пространстве V . Следствие 1.3. dim W = dim U + dim V Лемма 1.4. Векторное пространство V является прямой суммой своих одномерных подпространств V1 =< v1 >, . . . , Vr =< vr > тогда и только тогда, когда векторы v1 , . . . , vn являются базисом в V . Задача 1.5. Пусть W =< v1 , v2 , v3 , v4 > 1) U =< v1 , v3 >, V =< v2 , v4 > 2) U =< v1 , v2 , v3 >, V =< v2 , v4 > 3) U =< v1 , v3 >, V =< v2 , v4 > 4) U =< v1 , v2 + v3 >, V =< v2 , v3 + v4 > Отображения ϕ, ψ являются тождественными. Проверить в каждом случае верность равенства W = U ⊕ V . 1 Задача 1.6. Пространство V является прямой суммой своих подпространств V1 , V2 (обозначение V = V1 ⊕V2 ) если любой вектор из V единственным образом предтавляется в виде суммы векторов из V1 , V2 . Задача 1.7. Показать, что достаточно потребовать, чтобы нулевой вектор единственным образом представлялся в виде суммы векторов из V1 , V2 . Задача 1.8. Пусть A : V → V - линейный оператор такой, что A2 = 1. Определим два подпространства V+ = {v ∈ V | Av = v}, V− = {v ∈ V | Av = −v}, Доказать, что V = V+ ⊕ V− . Задача 1.9. Пространство V является прямой суммой своих подпространств V1 , V2 тогда и только тогда, когда V1 ∩ V2 = 0 V = V1 + V2 , Задача 1.10. Пространство V является прямой суммой своих подпространств V1 , V2 , V3 тогда и только тогда, когда любой вектор из V единственным образом представляется в виде суммы векторов из V1 , V2 , V3 2. Прямая сумма представлений Лемма 2.1. Предположим, что U, V - представления алгебры sl(2), тогда U ⊕ V также является представлением, если положить x(u + v) = xu + xv для любого x ∈ sl(2). Доказательство. Пусть x ∈ sl(2). Oпределим на базисе в V x(ui + vj ) = xui + xvj Легко показать, что это представление. Лемма 2.2. Неприводимое представление содержит единственный вектор такой, что Hv = λv, Xv = 0. Доказательство. Пусть v ∈ L(n) такой, что Xv = 0. Тогда X X v= ci vi , Xv = ci i(n − i + 1)ei−1 i i Отсюда для i > 0 получаем ci i(b − i + 1) = 0. Следовательно ci = 0 для i > 0 и v = c0 e0 . Основная Теорема. 2 Теорема 2.3. Пусть V конечномерное представление алгебры sl(2). Тогда оно эквивалентно прямой сумму простых представлений. V = k M L(ni ) i=1 Следствие 2.4. Набор чисел (n1 , . . . , nk , ) определен однозначно, с точностью до перестановки. Доказательство. Так как каждый неприводимый модуль имеет единственный вектор старшего веса, то множество векторов старшего веса совпадает с подпространством V X = {v ∈ V | Xv = 0} Это пространство инвариантно относительно оператора H. Поэтому набор чисел (n1 , . . . , nk , ) совпадает, с набором собственных значений оператора H в этом подпространстве. Пример 2.5. Рассмотрим L(1) ⊗ L(1). Как мы видели существует два старших вектора v1 = e0 ⊗ f1 − e1 ⊗ f0 и v2 = e0 ⊗ f0 . При этом Hv1 = 0, Hv2 = 2v2 . Поэтому L(1) ⊗ L(1) = L(2) ⊕ L(0) Теорема 2.6. Имеет место равенство min(m,n) L(n) ⊗ L(m) = M L(m + n − 2i) i=0 Доказательство. Пусть n ≤ m. Сначала выделим подпространства на которых H действует как скаляр V0 =< e0 ⊗f0 >, V1 =< e0 ⊗f1 , e1 ⊗f0 >, V1 =< e0 ⊗f2 , e1 ⊗f1 , e2 ⊗f0 >, то есть Vk - это линейная оболочка векторов ei ⊗ fj таких, что i + j = k. По предыдущей Теореме можно считать k неотрицательным. Пусть X v= aij ei ⊗ fj ∈ VkX i+j=k тогда 0 = Xv = X aij [i(n − i + 1)ei−1 ⊗ fj + j(m − j + 1)ei ⊗ fj−1 ] = i+j=k = X [(i)(n − i)ai,j + (j + 1)(m − j)ai−1j+1 ] ei−1 ⊗ fj i+j=k Обозначим λi = i(n − i + 1), µj = j(m − j + 1), тогда получаем систему уравнений λi ai,j + µj+1 ai−1,j+1 = 0, i + j = k, i = 1, 2, . . . , n 3 Например k = 1 λ1 a10 + µ1 a01 = 0 Например k = 2 ( λ2 a20 + µ1 a11 = 0 λ1 a11 + µ2 a02 = 0 и так далее. Для любого k λk ak,0 + µ1 ak−1,1 = 0 ... ... ... λ1 a1,k−1 + µk a0,k = 0 Покажем, что если k > n, то VkX = 0. По нашим предположениям для k > n λk = 0, ak,j = 0. В предыдущей системе рассмотрим уравнение для i = n + 1 λn+1 an+1,k−n−1 + µk−n an,k−n = 0 Отсюда µk−n an,k−n = 0. Если k − n > m, то опять по нашим предположениям an,k−n = 0. Если k − n ≤ m, то µk−n 6= 0 и потому an,k−n = 0. Рассмотрим теперь уравнение с номером n λn an,k−n + µk−n+1 an−1,k−n+1 = 0 Отсюда µk−n+1 an,k−n+1 = 0. Рассуждая как прежде получим an−1,k−n+1 = 0 и так далее. Следовательно предыдущая система имеет только нулевое решение. Пусть теперь k ≤ n. Тогда в рассматриваемой системе все λi , µj 6= 0. Поэтому полагая ak,0 = t, получим µk µk−1 µ k . . . µ1 µk t, . . . , ak,0 = − t a1,k−1 = − t, a2,k−2 = − λ1 λ1 λ2 λ1 . . . λk Теорема доказана. 4
